平面向量的工具性及解题应用论文

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　　摘要:向量是集数与形于一身的数学研究工具，具有表示形式多样、运算法则丰富、思想深刻、应用广泛的特点，为处理代数、几何、三角、不等式等各领域数学问题提供基础工具和方法，在解决各类问题中发挥重要作用.

　　关键词:平面向量;几何与代数;工具性

　　课程标准指出:向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景．向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁．《普通高中数学课程标准》(2017年版)首次设置了“几何与代数”内容主线，一是为线性代数的学习建立几何直观，二是学习用代数方法解决几何问题．向量概念的建立，使我们有了集数与形于一身的数学研究工具.高中阶段，学习向量法解决几何问题是基本任务，具体而言是几何对象的抽象与表示、图形性质的内涵与发现等，通过向量基本定理及其坐标表示研究几何图形组成元素的相互关系．向量作为代数对象，具有丰富的运算形式和运算法则，通过加、减、数乘，特别是数量积的运算研究数量和数量关系．向量的工具性可以描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题，这使得向量应用范围非常广泛，也使得向量可以交汇几何、代数、三角、不等式等综合问题.

　　1向量是描述几何图形的工具

　　几何对象是图形(点、线、面、体)和图形的关系，用向量的语言可以表示空间图形的概念、性质、关系和变换等．如向量的加法及运算律、向量的数乘及运算律、向量的数量积和运算律、向量基本定理等，这几个一般定理对最基本的几何图形性质作出了向量表达.

　　2向量是代数运算的对象

　　向量的特殊性在于它既有“大小”，又有“方向”，我们用集大小和方向于一身的数学符号表示向量，当然，我们也可以将它的要素拆解开来，向量的概念与表示，相伴相随的是大小、方向、投影，这些量又可以单纯地作为代数内容研究，从而与函数、方程、不等式、三角等知识交汇综合.

　　解读尽管向量也是几何研究对象，但对它的研究是按代数对象的研究路径展开的．向量的几何表示可以用有向线段来表示，涉及的几何意义除了有大小和方向，还有三角形法则、平行四边形法则、平行共线、三点共线、平面向量基本定理、投影、垂直、长度、夹角等，这些几何关系都可以通过向量转化为代数运算．代数运算是程序化的，如求函数的最值问题，可以化为一元函数求最值，也可以利用二元变量的不等式性质求最值.

　　3向量是数形结合的有力工具

　　向量是数形结合的强有力工具，用向量研究图形位置关系和数量关系有天然的优势，向量有加、减、数乘、数量积等运算，有符号表示和坐标表示两套系统，向量基本定理处于向量理论与应用的联结点位置，以此为基础，可以进行“图形运算”和“代数运算”．用向量解决几何问题，对象是几何图形及其关系，方法是代数运算，用代数运算论证几何关系，其中的桥梁就是向量．从这个角度来讲，向量是一种有用的数学语言，通过向量语言、方法，表述和解决平面几何问题、力学问题、三角问题及其它实际问题.

　　解读向量几何是不依赖于坐标系的解析几何，向量法是利用运算律解决几何问题，而运算过程实际上就是利用基本几何图形性质的过程．在向量运算中尤其特殊的是数量积的运算，不仅可以解决几何中的平行、垂直关系的判定，还可以进行长度、角度的计算，自然地将代数、几何、三角等不同的内容或方法结合在一起.

　　另外，向量的深刻性是建立了基底的思想，平面作为二维空间，将平面所有向量可以用一组基底线性表示，起到“书同文、车同轨”的作用，又可以类比为颜色中的“三原色”，将所有运算转化为基底上的系数运算或坐标运算，向量代数是空间结构的全面而且美妙的代数．以单位正交向量为基底，建立了向量与点的坐标之间一一对应的关系，利用向量的坐标运算，可以把向量运算化归为其分量的运算，这样就实现了用向量表示几何基本元素，通过实数运算研究几何图形和图形关系，从而也就彻底实现了几何对象的代数化，也就是解析法.

　　总之，向量计算不仅提供了表达各种各样基本几何量的有效公式，而且其运算律本身其实就是空间本质的一种至精至简的表达．对于平面向量的综合应用问题，应深刻理解向量的本质与特征，用好这个数形融合的工具，用向量去表达和计算．当然也可以充分利用化归与转化思想，将向量语言翻译和转化为代数、三角、平面几何、解析几何等熟悉的问题来进行求解.

　　参考文献:

　　［1］章建跃．核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］．上海:华东师范大学出版社，2021.

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