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摘 要 : 针对 2021 年全国高考解三角形题进行方法探究，并且溯源人教 A 版新教材，既能在探究思路的过程中一题多解、发散思维，又能深入研究教材，在教授新课中注重基础知识与实际运用的综合.
关键词 : 一题多解; 回本溯源; 思维发散
1 试题呈现
题目 记ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 b2 = ac，点 D 在边 AC 上，BDsin ∠ABC =asinC.
( 1) 证明 : BD = b ;
(2) 若 AD = 2DC，求 cos∠ABC.
本题第一问比较简单，直接用正弦定理得证，我们着重围绕第二问展开探究.
这是一道解三角形的综合题，本题以三角形为 载体，常见问题为基础，常用方法为手段来设计问 题，叙述简单清楚，呈现了新高考突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则.
本题求 cos∠ABC，事实上就是求∠ABC 在三角 形中求角的值，一般会想到正弦定理和余弦定理.正 弦定理和余弦定理是解三角形中两个重要定理，揭 示了一般三角形中的边角关系.根据本题的条件 AD= 2DC 及第( 1) 问的结论可知，任意一个三角形中的边均可表示出来，而ΔABC 的角都是未知的，所以本题从余弦定理的角度求解∠ABC.
2 试题解析
3 解法比较
在数学解题教学中，有效选择和运用“一题多 解”“一题优解”教学是数学教师必备的基本功，教 师通过指导学生加强不同解法之间的比较研究，引导学生发现本质特征，掌握解题方法.
纵观以上五种解法，不难看出 : 前三种解法虽然 出发点不同，但都采用了互补的余弦值互为相反 数进行求解.解法 1 相对 简 单，解法 2 和解法 3 略显繁琐，增加运算量，解法 4 巧用初中所学相 似处理问题，将初高中知识很好地融合起来，解 法 5 采用向量等式数量化解决问题，解法相对简单，解题思路明朗.
上述解法都有效渗透转化与化归、数形结合、方 程等思想，数学思想是数学知识在更高层次上的抽 象和概括，是对数学规律的理性认识，是知识转化为 能力的桥梁，教师必须揭示其中蕴含的数学思想，无时无刻地渗透数学思想.
遇到“解三角形”问题时，首先依据题目中的条 件和熟知的结论，在理解题意的过程中捕捉题目中 的有用信息，搞清楚“有什么”“求什么”的基本问 题 ; 其次，根据题目中的有用信息( “有什么”和“求 什么”) ，从记忆中提取解题经验，结合实际情况选择恰当的定理或结论进行解题.
4 启发与建议
4.1 回归教材
教材中定理和例习题具有典型性、示范性和关 联性，它们或是渗透某些教学方法，或是体现某种数学思想.在教学中通过挖掘教材中定理、例题、习题所隐含的数学思想方法，使学生了解到高考中所用 的一些解题思想方法并非是无源之水、无本之木，而 是来源于教材，从而使学生更易掌握数学思想方法.
4.2 构建知识网络
在教学中，教师应关注对一个问题从不同角 度的研究，将分散在教材各章节中有联系的知识 灵活串联起来，构建知识 网络，进而掌握不同知 识，提高运用知识解题的能力，培养学生的数学 归纳、推理 的 思维 能力，有利于提高学生的数学核心素养.
4.3 优化解题方法
章建跃教授在《数学教育随想录》( 下卷) 中 曾提到 : 数学知识的意蕴只有在领悟数学知识的 本质、解决数学问题中才能得 以理解，但“解决数 学问题”不等于“解数学题 ”，我们应该从培养创 新人才的 需要 出发，从而使学生做到知其然，知 其所以然，最终解决何由以知其所以然.其 实数 学教师，要通过不同阶梯方法之间的深度比较研 究，指导学生实现从“一题 多解”到“一题优解 ”的思维进阶.
4.4 强化探究能力
在教学中教师精心选择好的素材和试题，适时 让学生自主或师生合作进行解法的探究及知识的引 申拓展，这不仅不会影响进度，还会使课堂更充满活 力，有利于促进学生思维的发展，培养学生的创新精神和实践能力，提高课堂教学的效率.
参考文献 :
[1]谢福瑞.例谈高中数学三角形试题的一题多解 [J].试题与研究，2022 (02) : 18 -19 .
[2]李春光.论高中数学解三角形问题[J].中学生 数理化(教与学) ，2021 (03) : 93 .
[3] 张朋举.例谈高中数学解三角形中的核心素养 [J].教学考试，2020(29) : 65-67 .
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