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摘 要 : 极值点偏移问题综合性较强，难度较大，经常作为压轴题出现在高考试卷中．解决此类 问题主要有以下几种方法 : 辅助函数法、对称函数法、对数均值不等式法、差比换元法.
关键词 : 极值点偏移; 构造; 换元
极值点偏移就是函数在极值点左右的增减速度 不一样，导致函数的图象不具有对称性，从问题设置 分类，极值点偏移问题主要有加法型、减法型、平方 型、乘积型和商型［1］．每种类型的试题都有通解和 特殊解法，本文通过探析 2022 年全国甲卷理科数学 第 21 题的多种解法介绍处理极值点偏移问题的几种解题策略.
1 试题呈现及分析
题目 (2022 年全国高考甲卷理科数学 21 题)
已知函数f( x) =
－lnx + x－a.
( 1) 若f( x) =0，求 a 的取值范围 ;
(2) 证明 : 若f( x) 有两个零点 x1 ，x2 ，则 x1 x2 ＜1.
试题分析 试题中函数f(x) 解析式以指数函 数、对数函数和幂函数通过加法、减法、乘法和除法 运算构成，第( 1) 问考查恒成立问题求解参数的取 值范围 ; 第(2) 问在第( 1) 问的基础上，考查乘积型 的极值点偏移问题，极值点偏移问题的解答方法多 样，但每种方法都要求学生有极高的变形技巧，下面 对第(2) 问一一介绍各种解答方法.
2 多解探究
2．1 第(1) 问解法
2．2 第(2) 问解法
分析 1 由第( 1 ) 问知g (x) =
－lnx + x 在(0，1) 上单调递减，在( 1，+ ∞ ) 上单调递增，由于 f(x) 的单调性与 g(x) 相同，所以f(x) 的两零点 x1 ， x2 分别在 x = 1 两侧，不妨设 0 ＜x1 ＜ 1 ＜x2．要证x1 x2 ＜ 1，即证 0 ＜x1 ＜
＜ 1，只 需证 明 f (x1 ) ＞f(
) ，即证f(x2 ) ＞f(
)．可以构造辅助函数 F(x)=f(x) －f(
) (x ＞1) 直接证明
点评 构造辅助函数是处理极值点偏移问题的 通法，此方法的重点在于将证明多元变量不等式x1 x2 ＜1 转化为证明单元变量不等式f(x2 ) ＜f(
) ，进而可以构造辅助函数直接证明.
分析 2 令 h(t) = et + t －a，t(x) = x －lnx，易 知 t(x) 在(0，1) 上单调递减，在( 1，+ ∞ ) 上单调递 增，h(t) 在 ( 1，+ ∞ ) 单调递增，因此，由 f ( x1 ) = f( x2 ) 可得 t(x1 ) = t(x2 ) ，即 x1 －lnx1 = x2 －lnx2．要 证 x1 x2 ＜1，需证 lnx1 + lnx2 ＜0．令 u = lnx，m( u) = eu －u，则原问题转化为若 eu1 －u1 = eu2 －u2 ，即 m(u1 ) = m(u2 ) ，证明 u1 + u2 ＜0，可构造对称函数 H(u) = m(u) －m( －u) (u＞0) 加以证明.
解法 2 ( 构造对称函数) 由f ( x1 ) =f ( x2 ) 可 得 t(x1 ) = t(x2 ) ，即 x1 －lnx1 = x2 －lnx2 成立．假设 0＜x1 ＜1＜x2 ，要证 x1 x2 ＜1，需证 lnx1 + lnx2 ＜0.
令 u = lnx，m ( u ) = eu － u，所 以 m ( u1 ) = m(u2 ) ，下证 u1 + u2 ＜0.
构造对称函数 H( u) = m( u) －m( －u) ( u ＞ 0) ，H ' (u) = m ' (u) －m ' ( －u) = eu + e－u －2＞0.
所以 H( u) 在(0，+ ∞ ) 上单调递增，H ( u) ＞ H(0) = 0.
当 u ＞0 时，m ( u) －m ( －u) ＞0，即 m ( u) ＞ m( －u) ，所以 m(u2 ) ＞m( －u2 ) .
又因 为 m ( u1 ) = m ( u2 ) ，所 以 m ( u1 ) ＞ m( －u2 ) .
由于 m(u) = eu －u 在( - ∞ , 0) 上单调递减，所 以 u1 ＜－u2 ，即 u1 + u2 ＜0．得证.
点评 构造对称函数也是处理极值点偏移问 题的通法，本题中由f ( x1 ) =f ( x2 ) 可得 x1 －lnx1 = x2 －lnx2 成 立，再 将 证 明 x1 x2 ＜ 1 转 化 为 证 明 lnx1 + lnx2 ＜0，进而可以通过构造对称函数进行证 明．需要注意的是，构造对称函数法若找不到极值点将失效，需要寻找其他解法.
分析 3 由解法 2 可知 x1 －lnx1 = x2 －lnx2 成立，即
成立．要解决此类双变量不等式问题，可以尝试从不等式的角度出发，本题可以考虑 对数均值不等式．如果令 u = lnx，则 eu1 －u1 = eu2 - u2 ，要证 u1 + u2 ＜0，此时还可以尝试运用指数均值 不等式证明.
解法 4 ( 指数均值不等式) 要证 x1 x2 ＜1 ，需 证 lnx1 + lnx2 ＜0 ，令 u1 = lnx1 ，u2 = lnx2 ，即证 u1 + u2 ＜0 .
点评 在处理原函数中同时含有幂指对的极 值点偏移问题时，可以通过幂指对互化的方法将原 函数形式进行适当变化，将其转化为常见不等式的 模型，并运用不等式进行证明，这样可以将不同的题型转化为同一类型，简化解题过程.
分析 4 对于极值点偏移问题，可以依据已知 条件f(x1 ) =f(x2 ) ，得到关于 x1 、x2 的等式，再利用比值换元
或差值换元( 即 x1 －x2 = t) 将x1 、x2 替换为含 t 的函数加以证明.
点评 以上两种解法均是从处理多变量函数问 题的角度入手，引入参数 t 将多元函数问题转化为 一元函数问题，即在得到 x1 、x2 关于 t 的等量关系 后，直接证明 x1 x2 ＜1.
突破极值点偏移问题，不仅要掌握每种类型试 题的通用解法，更要掌握常见解法所蕴含的数学思 想，如转化思想、数形结合思想、消元思想等［2］．另 外需要掌握一些常见不等式放缩，如对数不等式、基 本不等式、切线不等式、糖水不等式等．在教学中，还 要立足教材，注重通性通法.
参考文献 :
［1］王丽君．再谈极值点偏移问题［J］．理科考试研 究，2019，26(05) : 9 －10 .
［2］ 胡贵平．2021 年全国新高考 I 卷导数题的几种 解法［J］．理科考试研究，2021，10(01) : 2－4 .
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