高中数学直线与圆锥曲线位置关系的解题方法论文

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　　摘  要：直线与圆锥曲线位置关系涉及到的问题较为抽象，计算过程繁琐且复杂，包含的知识 点较多，需要学生具备较强的应用能力，思路要清晰，才能正确解答，从学生的角度来看难度较大.  本文在对人教版高中数学直线与圆锥曲线位置关系的学情、重难点、教学目标、方法等进行分析的 基础之上，重点探讨具体的解题方法与思路，仅供参考与借鉴.

　　关键词：高中数学；直线与圆锥曲线位置关系；解题方法

　　圆锥曲线位置关系作为高中数学教学中的重要 知识点，是高考必考知识点之一．但是因为涉及到的 内容较多，而且多为抽象图形，学生很难较好地理解 与掌握．本文重点针对高中数学直线与圆锥曲线位 置关系的解题方法进行了分析，旨在为学生良好解 题思路的培养，帮助其掌握此类型题目的解题方法 提供有价值的参考与借鉴.

　　1  学情分析

　　学生已经掌握了直线的基本知识点、圆锥曲线  定义、标准方程、简单几何性质，这都在很大程度上  为本节课的讲解打下了基础．由于学生逻辑思维已  有较好的基础，学习目标较为明确，基于建构主义理  论，采用启发式教学法，师生间进行探讨、总结与归  纳．站在学生认知视角下，充分考虑到学生的认知规  律，坚持循序渐进的启发式教学原则，强化复习与训  练，帮助学生克服对解析几何的恐惧心理，鼓励学生  做一些常见题目，熟悉一般解答模型，引导学生掌握  解题思路，使学生能够解决的问题的难度逐步提高， 解题更灵活，综合性更强．由于本节课的运算量相对  较大，解题中主要采用思路点拨、思维发散、分类探讨的方法.

　　2 教学重难点

　　重点：理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的  位置关系的方法；感悟方程组的解的个数等于直线  与圆锥曲线公共点的个数．充分运用新旧知识迁移， 从数与形两个层面对相关结论进行深层次理解，形  成系统化的知识体系；掌握共性（ 方程法）的基础之  上，注意个性（ 距离法），避免负迁移，能够做到学以  致用，举一反三，特殊问题特殊对待.

　　难点：采用代数方法（ 对方程组解的探讨）研究 直线与圆锥曲线的公共点问题，判断直线与圆锥曲 线的位置关系，学会应用弦长公式、直线与圆锥曲线位 置关系的判断方法，重视数形结合思想的有效渗透.

　　3 教学目标

　　知识目标：直线与圆锥曲线位置关系的判定方 法，其中包括几何法（ 数形结合）与代数法；掌握弦 的概念、弦长公式以及弦中点的问题.

　　能力目标：结合直线与圆锥曲线位置关系的判 断方法，感受如何使用代数方法将几何问题进行有效处理的思想，能够使用数形结合法处理直线与圆 锥曲线相关问题．同时在解题时体会数形结合、转 化、类比、归纳等数学思想，提升发现、分析以及解决 问题的能力.

　　情感目标：激发学生探索数学的兴趣，使学生在 亲身体验中获取知识，体验乐趣，通过数形统一与对 立的分析，强化辨证思维的培养.

　　4 解题方法

　　4. 1  点差法

　　点差法运用的解题思想为设而不求、整体换代， 特别是在直线与圆锥曲线位置关系类型题目的解答  中，思路的呈现较为清晰，而且易于被学生接受，主  要解决的是垂直平分线、弦中点轨迹、中点弦等问  题，学生能够将点差法不等价性特点体现出来，在具  体应用时，可对判别式 Δ > 0 是不是成立给予充分考虑.

　　采用点差法解决此类型的选择题是有效的，不  仅能够在很大程度上节省计算时间，而且更加快捷，准确率非常高.

　　4. 2 数形结合思想

　　数形结合思想能够直观呈现数学问题，化难为 简，通过形象思维使复杂问题迎刃而解，引导学生寻 找规律与特点，进而更好地分析、解决问题.

　　对此类型题目进行解答的过程中，如果需要将 方程变形，那么要关注到范围的变化，只有这样才会 降低出错率．运用数形结合思想解决此问题，解题思路 直观且清晰，更易于学生接受.

　　4. 3 方程与函数思想

　　最近几年高考命题中，对学生数学思想方法的 考查高度重视，方程与函数思想是基本数学思想方 法之一，目的是通过知识间的相互关联性引导学生 解决数学问题.



　　通过分析以上例题，进而启发学生思维，得出直 线与圆锥曲线公共点问题相关结论：

　　如果将直线方程分别代入到以上三个曲线方程，进行整理以后得出以下公式：

　　直线与圆锥曲线的位置关系在解析几何数学教 学中是重中之重，同时也是考试难点，学生在此类型 的题目解答中极易失分，所以掌握解题方法便成为 了关键所在．而本文基于教材、学生学情、教学重难 点、教学目标，从点差法、数形结合思想以及方程与 函数思想三个层面分析了具体的解题方法，以便于 学生能够对解题技巧充分掌握，深刻了解各个知识 点间存在的内在关联性，从而可以做到熟练运用不 同的解题方法，对数学知识有一个深层次的认知.

　　参考文献：

　　[1]  张方磊．高中数学直线与圆锥曲线位置关系解 题方法探讨[ J] . 年轻人，2020(43) : 135 .

　　[2]  黄如炎．走出直线与圆锥曲线位置关系的教学困境[ J] . 中学数学研究，2018(5) : 1 - 3 .

　　[3]  张师可．一 线定乾坤— 直线与圆锥曲线位置关系问题的解答[ J] . 高中数理化，2018 (13 ) :31 - 32 .

　　[4]  蔡海涛．几类直线与圆锥曲线位置关系问题[ J] . 高中数学教与学，2019(8) : 38 - 41 .

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