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摘 要：概念学习是数学学习中至关重要的组成部分．本文以古典概型的概念教学为例，探究 概念辨析的闭环教学方法．具体以抽签问题和掷骰子问题为例，在样本空间的不同选取方法下阐述 了古典概型概念的学习过程，不断检验条件，不断辨析，从而达到闭环教学效果.
关键词：概念学习；试错教学方法；古典概型；抽签问题；掷骰子问题
1 数学概念的传统教学方式
数学概念的传统教学方法，主要采取“ 教师讲 解”的教学模式，学生主要采取“ 听课—练习”的 模式．这样，教师和学生可以快速高效地完成教和学 的任务．就古典概型这一概念来说，课堂讲解的时 候，有经验的教师会强调“ 等可能性”这 一前提条 件，然后就是举例讲解．但是在教师讲解例题的过程 中，容易忘记强调“ 等可行性”；学生在做题的过程 中，更容易忘记检验“等可能性”这一条件.
2“ 试错法”教学方式
“ 试错法”的根本原则是以学生为主体．学生根 据数学问题，用概念自行尝试、自行分析，教师对学 生的学习情况起引导作用，这样可以提高学生的自 主思考能力和自学能力.
具体就古典概型的概念教学来说，概念学习的 一般过程为课前导学（ 预习）、课堂概念讲解、试错 式解题、错误分析（ 寻求帮助）、获取正确解题方法、 分析总结、课后练习等环节．当选取不同的样本空间 时，可能会得到错误结果．对错误原因进行分析，产 生有效提问，教师进行引导；然后找到一种或多种正 确做法；最后完成练习，形成一个闭环过程，如图 1 .
下面以古典概型的概念教学为案例，具体阐述 教学活动中的概念学习的试错教学方法.
3 教学案例
3 . 1 第一步：教师引导学生学习初始概念，即样本空 间和古典概型的概念
随机试验中的每一种可能出现的结果称为样本 点．所有样本点组成的集合称为样本空间，记为 Ω .
在中学概率中，古典概型是一种非常重要的概 率模型．如果每次试验的结果只有有限多个，并且每 个试验结果发生的可能性是相同的，那么称这种概 率模型为古典概率模型，简称古典概型．设古典概型 中样本点总数为 n , 事件 A 含有其中的 m 个样本点， 则定义事件 A 的概率为 P( A) = m/n.
3 . 2 教师引导学生辨析概念条件
在解决概率问题时，分析问题的角度不同会导 致选取的随机试验的样本空间的不同．在不同的样 本空间下，是否都能通过古典概型来计算同一个事件的概率呢？这就要看样本空间中每个样本点的发 生是否是等可能的．有的学生在解决问题的时候，以 为找到了样本空间，就可以直接利用古典概型的计 算公式来计算概率，而忽略了古典概型的概念中 “ 样本点发生的等可能性”这一前提条件.
3 . 3 第三步：学生应用概念做题
教学活动中，全班学生按小组进行讨论，提出解 题方法，写出解题过程．将有代表性的小组结论进行 展示和讨论.
3 . 3 . 1 提出数学问题
掷骰子问题：同时掷两颗骰子，求出现的点数和 为 7 的概率.
3 . 3 . 2 找样本空间并计算概率
首先，由生活经验知道，每颗骰子都有 6 个面， 分别标有数字 1 、2 、3 、4 、5 、6. 当同时掷两颗骰子时， 每颗骰子出现各个数字是等可能的．记事件 A 表示 两颗骰子点数和为 7 .
小组成果展示 1 :
考虑骰子的顺序，第一颗骰子出现的点数有 6 种不同情况，第二颗骰子出现的点数有 6 种不同情 况，因此样本空间含有 6 × 6 = 36 个样本点，具体为：
Ω 1 = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , (1 , 6) , (2 , 1) , (2 , 2) , (2 , 3 ) , (2 , 4 ) , (2 , 5 ) , ( 2 , 6) , (3 , 1) , (3 , 2) , (3 , 3 ) , (3 , 4 ) , (3 , 5 ) , (3 , 6 ) , (4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3 ) , (4 , 4 ) , (4 , 5 ) , (4 , 6) , ( 5 , 1) , (5 , 2) , (5 , 3 ) , (5 , 4 ) , (5 , 5 ) , (5 , 6) , (6 , 1 ) , (6 , 2) , (6 , 3) , (6 , 4) , (6 , 5) , (6 , 6) } ,
A = {(1 ,6) , (2 ,5) , (3 ,4) , (4 ,3) , (5 ,2) , (6 , 1)} .
根据题意可知样本空间 Ω1 中的 36 个样本点是 等可能发生的，所以在此样本空间下，可以用古典概型来计算事件 A 的概率，并且概率为 P(A) =
=
.
教师点评：此处的分析非常好，检验了概念的适 用条件，正确使用概念解决问题.
小组成果展示 2 :
不考虑骰子的顺序，样本空间含有 21 个样本 点，具体为：
Ω2 = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , (1 , 6) , (2 , 2) , (2 , 3 ) , (2 , 4 ) , (2 , 5 ) , (2 , 6) , ( 3 ,3) , (3 , 4 ) , (3 , 5 ) , (3 , 6) , (4 , 4 ) , (4 , 5 ) , (4 , 6 ) , (5 , 5) , (5 , 6) , (6 , 6) } ,
A = { (1 , 6) , (2 , 5) , (3 , 4) } .
此时概率为 P( A) =
=
.
教师点评：注意到样本空间 Ω2 中的每个样本 点都可以用 Ω1 中的样本点来表示，由此可知这 21 个样本点不是等可能发生的，所以在此样本空间下 不能用古典概型来计算事件 A 的概率.
小组成果展示 3 :
直接考虑两颗骰子点数和的不同情况，样本空 间含有 11 个样本点，具体为：
Ω3 = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12} , A = {7} .
此时概率为 P( A) =
.
教师点评：注意到样本空间 Ω3 中的每个样本 点都可以用 Ω1 中的样本点来表示，由此可知这 11 个样本点不是等可能发生的，所以在此样本空间下 不能用古典概型来计算事件 A 的概率.
3 . 3 . 3 教师总结
只有严谨地验证古典概型的前提条件，确保样 本空间中样本点的等可能性，才能找到符合要求的 样本空间，计算出正确的概率.
3 . 4 第四步：学生自主完成练习
抽签问题：袋中有 a 根红签，b 根白签，它们除 颜色不同外，其他方面没有差别．现有 a + b 个人依 次无放回地去抽签，求第 k 个人抽到红签的概率.
学生们认真思考，经过小组讨论，得到了如下几 种解决问题的方法.
根据题意，抽到每根签都是等可能的，因此这是 一个古典概型问题，并且问题等价于把签一根一根 抽出来排成一列，求第 k 次抽到红签的概率．记事件 A 表示第 k 个人抽到红签.
方法 1 把 a 根红签和 b 根白签看作是不同 的，那么 a + b 根不同签的所有全排列种数为( a + b) ! , 即样本空间 Ω1 含有( a + b) ! 个样本点．根据 题意可以判断每个样本点是等可能发生的，符合古 典概型的前提条件．事件 A 可以理解为：在第 k 个位置上排列的一定是红签，有 a 种排法；在其他 a + b- 1 个位置上的签的排列种数为( a + b - 1) ! . 因此，事件 A 含有 a ( a + b - 1) ! 个样本点．由古典概型公式可得
方法 2 把 a 根红签看作是没有区别的，把 b 根白签也看作是没有区别的，仍把抽出的签依次排 列成一列，这是含有相同元素的全排列．此时 a + b根签的所有全排列种数为
，即样本空间
含有
个样本点．根据题意可以判断每个样本点是等可能发生的，符合古典概型的前提条件．事件 A 可以理解为：在第 k 个位置上放红签，只有 1 种放法；在其他 a + b - 1 个位置上放余下的 a + b - 1根签，其中 a - 1 根是没有区别的红签，b 根是没有区别的白签，共有
种方法，即事件 A 含有
个 样 本 点．由 古 典 概 型 公 式 可 得
方法 3 根据题意知，第 k 次抽到红签仅与前面 k - 1 次所取的签的情况有关，而与以后抽签的情况无关．因此只需要研究前面 k 次抽签情况．把各签 看作不同，前 k 次的每一种抽签情况相当于从 a + b根不同的签中任取 k 根的全排列，共有
种方法，即样本空间 Ω3 含有
个样本点．根据题意可以判断每个样本点是等可能发生的，符合古典概型的前提条件．事件 A 可以理解为：在第 k 次取红签，有a种取法；在其他k-1次,是从a+b-1根不同的签中任取k-1根的全排列，共有
种方法，即事件A含有
个样本点，由古典概型公式可得；
教师点评：从三种角度寻找生活中最常见的抽 签问题的样本空间，并发现样本空间中的样本点都 符合等可能性的，因此均可以使用古典概型公式计 算概率．这三种方法中，方法 1 是最常规的最容易想 到的，方法 2 和方法 3 的技巧性都要强一点. 完成练习后，仍然有“ 爱思考”的学生提出如下 质疑：
学生说：老师，第一个人抽签后，还剩下( a + b- 1) 根签．如果第一个人抽到红签，那么第二个人 抽到红签的概率就变小了；如果第一个人没有抽到红签，那么第二个人抽到红签的概率就变大了．因 此，第二次抽签的概率会受到第一次抽签结果的影 响，从而抽签问题不是公平的.
此时很多学生也深以为然．这样，就产生了冲突. 教师引导：我们后面会学习条件概率的概念.
“ 如果第一个人抽到红签，那么第二个人抽到红签 的概率就变小了”，这里的概率实际上是条件概率 了，与我们题目中的概率是不同的概率．请同学们接 下来预习条件概率并用条件概率来分析抽签问题的 公平性.
4“ 试错法”教学效果提升
传统教学中教师是主体，主导学生的概念学习； “ 试错法”教学中学生为主导，学生自主探索解决问 题．试错教学方法，让数学课堂更真实，更有趣，学生 参与度更大．缺点是会有不自觉的学生出现“ 浑水 摸鱼”现象，没有进行比较有效的思考和学习，这就 需要教师及时地观察和督促以及帮助.
一次课的教学方法的改变可能不容易区分两种 教学方式的差异，但是若长期坚持“ 试错法 ”教学 方式，学生能自主思考，提出更有深度的问题，能 更清晰正确地使用概念解决问题，那么 一 定能更 有效地培养和提升学生的自主学习能力、创新思 考能力，提升学生的数学素养.
参考文献：
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