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摘要 : 2022 年高考全国乙卷第 25 题的已知条件: “0 ～t0 时间内，物块 A 运动的距离为 0. 36v0 t0 ”其实是一附加条件，本文对这一附加条件进一步探究，阐释命题者的出题意图 : 为考查微元 累积思想，特设定了这一附加条件．从这一点可看出命题者是非常严谨的，充分体现了高考命题的科学性，同时，也体会到命题者的良苦用心。
关键词 : 动量守恒; 机械能守恒; 微元累积法; 质心系; 简谐运动对原题的分析与解答
1 对原题的分析与解答
(2022 年高考全国乙卷第 25 题) 如图 1( a) ，一 质量为 m 的物块 A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水 平面上，物块 B 向 A 运动，t = 0 时与弹簧接触，到 t = 2t0 时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B 的 v －t 图象如图 1 ( b ) 所示．已 知 从 t = 0 到 t = t0 时 间 内，物块 A 运动的距离为 0．36v0 t0 ，A、B 分离后，A 滑上粗糙斜面，然后滑 下，与一直在水平面上运 动的 B 再次碰撞，之后 A 再次滑上斜面，达到的最高 点 与 前 一 次 相 同．斜 面 倾 角 为 θ ( sin θ = 0．6 ) ，与水平面光滑连接，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，求 ：
(1) 第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值 ;
(2) 第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值 ;
(3) 物块 A 与斜面间的动摩擦因数.
分析与解答
( 1 ) 当弹簧被压缩到最短时，弹 簧弹性势能最大，此时 A、B 速度相等，即 t = t0 时 刻，根据动量守恒定律
解得
mB = 5m根据机械能守恒定律
解得
(2) 设相互作用的压缩过程中，任意时刻 A、B 的瞬时速度分别为 vA 、vB，根据动量守恒定律得 mBvB + mvA = (mB + m) v0 ，整理得
即
v0 －vA = 5(vB －v0 )
对上式有以下两种典型的处理方法，方法一是微元累积法，方法二是平均值法.
方法一 对压缩过程任意时刻附近的微小时间 间隔 Δt，有 :
(v0 －vA ) Δt = 5(vB －v0 ) Δt
对上式从 0 ～t0 时间内，累积相加 Σ(v0 －vA ) Δt = Σ5(vB －v0 ) Δt，即 :
v0 ΣΔt - ΣvAΔt = 5(ΣvBΔt－v0 ΣΔt) ，
由此可得 v0 t0 －xA = 5(xB －v0 t0 )
已知 0 ～t0 时间内，物块 A 运动的距离为 xA = 0．36v0 t0 ，解得物块 B 运动的距离为 xB = 1．128v0 t0 ， 故弹簧压缩量的最大值为 Δx = xB －xA = 0．768v0 t0 .
方法二 由 v0 －vA = 5 (vB －v0 ) ，此式对相互作 用的压缩过程中的任意时刻都成立，对上式从 0 ～t0时间内两边取平均，得 v0 －vA = 5 ( vB －v0 ) ，再对此式两边同乘以时间 t0 ，(v0 －vA ) t0 = 5( vB －v0 ) t0 ，得v0 t0 －vAt0 = 5( v Bt0 －v0 t0 ) ，同样得出 v0 t0 －xA = 5(xB - v0 t0 ) .
(3) 物块 A 第二次到达斜面的最高点与第一次 相同，说明物块 A 第二次与 B 分离后速度大小仍为 2v0 ，方向水平向右，设物块 A 第一次滑下斜面的速 度大小为 v 'A，第二次碰撞 ;结束后物块 B 的速度为 v 'B ( 假设 v 'B 的方向仍 然向右) ，选向右为正方向 ;
根据动量守恒定律可得 :
根据机械能守恒定律可得 :
联立解得 v 'A = v0
(v 'B 为正值，说明 v 'B 的方向仍然向右)
设物块 A 在斜面上滑行的长度为 L，上滑过程和下滑过程，分别用动能定理，得 :
上滑过程 :
下滑过程 :
联立解得 μ = 0．45
点评 本题是一道典型的动量与能量的综合题，命题者以物块 A、B 及弹簧构成的系统，即复振 子为情景命题，综合考查动量守恒定律、机械能守恒 定律和动能定理等主干知识，同时通过弹簧最大压 缩量的求解考查微元累积思想，这种题型对培养学 生综合应用知识解决问题的能力具有独特的意义， 有较高的区分度，体现了较强的选拔功能．对微元累积思想的考查是本题的亮点，微积分思想是分析和 解决高中物理问题的常用方法，也是从局部到整体 的科学思维方法，运用这种思想和方法不仅丰富了 处理物理问题的手段，拓展了我们的思维，还为高中 阶段的后续学习奠定了思维基础．因此，在高中物理 教学中教师要积极渗透微积分思想，不要回避．全国 乙卷对这一思想的考查对高中物理教学起到了良好的导向作用.
另外，第一次碰撞结束后物块 A、B 的速度也可 算出来(v－t 图象已直接给出) ，对第一次碰撞的全 过程，初、末状态弹簧均为原长，弹簧的弹性势能不 变，即初、末状态物块 A、B 的总动能不变，相当于弹性碰撞，可利用弹性碰撞公式简化计算过程，即 :
动量守恒 mB ·1．2v0 = mBvB + mvA
机械能守恒
联立解得
2 对原题的附加条件的分析
本题的已知条件: “从 t = 0 到 t = t0 时间内，物块 A 运动的距离为 0．36v0 t0 ”其实是一附加条件，从理论上可算出物块 A 运动的距离，解析如下 :
解析 对物块 A、B 通过弹簧相互作用的过程， 物块 A、B 及弹簧构成的系统称为复振子，设弹簧的 颈度系数为 k，弹簧的原长为 l0．若以系统的质心 C 为参考系(质心系) ，则质心 C 是固定不动的，连接 A、B 的弹簧可以分成两个弹簧 CA 和 CB，设弹簧 CA 的 自然长度为 lA0，劲度系数为 kA，一端与物块 A 相连，另 一端固定在 C 点，弹簧 CB 的自然长度为 lB0，劲度系数 为 kB，一端与物块 B 相连，另一端亦固定在 C 点.
当弹簧处于自然长度时，由质心的定义可知弹 簧 CA 和 CB 的自然长度分别为 :
当弹簧压缩至长度为 l 时，由质心的定义可知 弹簧 CA 和 CB 的长度分别为 :
设弹簧 CA、CB 作用于 A、B 物块的弹力也即连 接 A、B 物块的弹簧因压缩而产生的弹力为f，则 :
相对地面，质心 C 是运动的，设质心 C 的速度 为 vC，根据质点系的总动量等于质心的动量，得 5m × 1．2v0 = (5m + m) vC，解得 vC = v0 ，即质心以速度 v0 向右匀速运动，故此质心系为一惯性参考系，在 此惯性系中，牛顿运动定律仍然成立.
显然，在质心系中物块 A、B 都做简谐运动，对A，振动的角频率
对 B，振动的角频率也为
故系统振动的周期
T =
在质心系中，t = 0 时刻物块 A 相对质心以速度v0 向左运动，弹簧 CA 为原长，物块 A 位于振动的平 衡位置，在 t = t0 时刻，物块 A 相对质心的速度为零，物块 A 位 于 振 动 的 最 大 位 移 处，故
设物块 A 振动的振幅为 Am，0 ～t0 时间内由机 械能守恒定律，得 :
解得
物块 A 相对地面的运动可看成随质心 C 向右 的匀速运动和相对质心 C 的简谐运动的合成，0 ～t0 时间内，物块 A 随质心 C 向右匀速运动的位移为 vC t0 = v0 t0 ，物块 A 相对质心 C 做简谐运动向左发生的位移为
故此段时间内物块 A 运动的距离为 :
因此，本题的已知条件: “从 t = 0 到 t = t0 时间 内，物块 A 运动的距离为 0．36v0 t0 ”是一附加条件， 对于物理竞赛生是可以算出来的，但对于一般的高 考生，算物块 A 运动的距离已超出高考考纲范围， 命题者为了考查微元累积思想，特设定了这一附加 条件，显然命题专家事先已算出了这一结果再给的 已知条件，从这一点可看出命题者是非常严谨的，充 分体现了高考命题的科学性，同时，也体会到命题者的良苦用心.
参考文献 :
［1］黄尚鹏．建立简谐运动模型，探讨物体运动规律 ［J］．高中数理化，2011 (12) : 37－40 .
［2］ 张大同．高中物理竞赛辅导［M］．西安: 陕西师范大学出版社，2000 .
［3］郑永令，贾起民．普通物理学教程丛书· 力学 ［M］．上海: 复旦大学出版社，1989 .
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