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摘要:在北师大版高中数学新版教材中,概率与统计内容较旧版教材而言变化较大。文章从单元教学设计的角度出发,以《随机现象与样本空间》作为概率一章的章起始课,加强单元教学的行为意识、树立整体的教学观,引导学生从具体到抽象、从特殊到一般,经历概念的直观感知、理性构建和抽象概括的过程,帮助学生建构知识之间的整体联系、深入理解概率单元的数学思想,以达到提升数学抽象、数学建模和数学运算等素养的教学目标,为教师教学提供参考。
关键词:单元教学；章起始课；教学策略；教学建议
一、概率单元的整体分析
1.课程标准要求
概率与统计作为高中数学课程内容的四条主线之一,贯穿必修、选择性必修和选修课程。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《标准》)指出概率的研究对象是随机现象,为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。本单元的学习可以帮助学生结合具体实例,理解随机事件、样本点、有限样本空间的概念,并能计算一些简单随机事件的概率,加深对随机现象的认识和理解。
2.新旧教材对比分析
对比旧版教材,北师大版《普通高中教科书数学必修第一册》在概率章节主要有以下几个方面的变化:把随机现象与随机事件独立安排成节,增加了随机事件与样本空间、随机事件、随机事件的运算三个课时;增加了事件的独立性;调整了频率与概率、古典概型的位置和内容;删除了生活中的概率和几何概型。
3.知识结构分析
从随机现象出发,结合具体实例,引导学生认识随机现象是现实世界中的一种现象。用数学语言描述随机现象和随机事件,引入样本空间这一核心概念。借助集合来刻画随机事件,并结合集合的关系和运算,研究随机事件间的关系和运算,也就形成了随机事件的基本框架。基于对大量现实试验的研究可以发现这些试验呈现出一类典型特征,对其抽象概括得到了一种重要的概率模型—古典概型。通过对这种特殊概率模型的研究,加深学生对随机事件概率的概念、性质和运算的理解,帮助学生建立概率数学化的结构体系,同时为后续概率知识的学习与研究积累经验。
根据以上分析,把整个概率单元的教学划分为9个课时,随机现象与样本空间作为本单元的章起始课。通过对随机现象与样本空间的学习,学生认识随机现象,了解确定性现象与随机现象的区别,感受随机现象的普遍性,通过实例展示样本空间的抽象过程,理解样本空间的意义,本节课在概率的整体单元教学中具有重要地位。
二、随机现象与样本空间的教学思考
1.教学现状
在以往概率教学的过程中,教师对一些看似简单的基础知识并没有足够重视,这造成许多学生在概率后续的学习中出现困难。例如,在对随机现象的特征、样本点、样本空间、随机事件及其关系等核心问题数学化的过程中,设计的针对性问题较少;对学生在不同语言相互转化的训练较少;给学生自己提出问题的机会不多。这些造成学生缺少经历通过样本空间构建随机事件的过程,对随机事件数学化背后的研究方法缺少深刻认识。
因此,在进行教学设计时,教师需要特别关注以下两点。
一是重视知识、概念、模型的生成过程。例如,在引入样本点、有限样本空间的概念时,针对样本点的表示、特征及样本空间的计数,设计问题串,并鼓励学生自己提出问题。
二是加强使用数学语言描述随机现象。在概率问题数学化的过程中,使用不同语言描述随机事件,有助于学生理解样本点和样本空间的概念。在教学中,加强使用数学语言描述随机现象,促进学生对样本点和样本空间的理解。
2.教学依据
紧扣随机现象和样本空间这两个核心概念,在教学过程中要突出实际问题数学化的情境教学,通过研究对象和思维方式的独特性,突出随机观念,同时关注数学抽象、数学建模、数学运算等素养的培养。要根据学生的认知基础,帮助学生快速地进入新知识的学习中去。
3.教学目标
了解确定性现象与随机现象的区别,感受随机现象的普遍性和规律性,初步建立随机概念;通过实例经历样本空间的抽象过程,理解样本点和样本空间的意义;会结合树状图、列表等方式,采用列举法构建试验的样本空间,培养思维的严谨性和条理性;体会数学概念和数学建模的构建过程,发展数学抽象、数学建模和数学运算等素养。
4.教学重难点
样本空间是刻画随机现象的重要模型。构建样本空间,是把概率问题数学化的关键步骤,也是培养学生数学抽象素养的重要途径,蕴含着或然与必然的重要思想。在教材中,把随机试验的结果定义为样本点,把样本空间用集合来刻画,凸显概率问题数学化的过程。此外,不同随机试验对应的样本点、样本空间,在实际意义、维度、符号使用上也都有所不同,需要根据实际情况灵活处理。
因此,把样本空间的构建作为本节课的教学重点,把对样本空间的理解、样本点的表示和计数作为本节课的教学难点。在教学中通过不同的实例,引导学生从具体到抽象,从特殊到一般,经历概念的直观感知、理性构建和抽象概括的过程。在此过程中,让学生结合直观图形体会样本点和样本空间的意义和多样性。
5.教学策略
根据教材中概率知识内容的设计和呈现方式的特点,在教学中应体现以下策略。
一是注重实践性和过程性。从实例分析开始,在学生感性认识的基础上进行抽象概括,建立概念或模型,并应用于实际问题。
二是突出直观化和形式化。通过树状图、列表,让学生有直观的理解,并在条理化分析的基础上,进一步将概念符号化、数字化、特殊化。
三是抓住典型的随机试验。抓住一些常见的、典型的、学生容易理解的试验,如抛掷骰子、摸球等,使其成为解释概念、探索模型、体会思想的重要载体。
6.教学过程
整个课时的教学流程设计了六个环节。
环节一:创设情境,引入课题。
通过观察自然现象,设置问题情境,引导学生认识随机现象,感受随机现象的普遍性,树立随机意识。
环节二:实例分析,感受概念。
借助四个典型实例,让学生自主探究随机现象的结果,通过抛掷硬币试验,培养学生的动手操作能力,并对随机现象进行观察,引导学生感悟概念的本质,感受生活中数学的魅力,培养学生善于思考和归纳的品质。
环节三:抽象概括,形成概念。
通过抛掷硬币、射击等,引导学生对随机试验的结果进行分析与思考,从而体验样本空间数学化、符号化的过程,以此帮助学生获得样本空间的“核心概念”,培养学生数学抽象、归纳推理的能力,引导学生独立思考,为核心概念的形成做好铺垫。
环节四:例题分析,巩固概念。
通过抛掷骰子试验出现的若干情境,鼓励学生借助树状图和表格等方法来表示样本空间,在进一步巩固概念的过程中体会样本空间的多样性,培养思维的严谨性和有序性。
环节五:归纳小结,深化概念。
通过梳理、小结,提升学生对样本空间等有关概念的认识,树立学生的随机意识,培养学生的理性思维。
环节六:巩固新知,布置作业。
通过布置样本空间的相关习题,让学生对样本空间概念的理解更加完善。
7.教学评价
本节课立足教材,所有问题情境都来源于教材。教学主线清晰,重点突出;核心概念的构建都是基于问题的引领,让学生进行充分的思考与交流,再由教师完善;在思维层面上由低到高,循环上升,引导学生从认识、感悟、理解到应用方向发展。
三、随机现象与样本空间的教学建议
第一,加强单元教学的行为意识,树立整体的教学观。通过主题(单元)教学设计,理解知识的发展与联系,建立知识的整体观;增强问题教学意识,开展深度学习,从而达到提升数学核心素养的教学目标。
概率与统计作为高中数学课程的四条主线之一,主要研究的是不确定性数学,在思想方法、课程内容和育人价值上与其他三条主线有明显的区别,概率作为培养学生不确定性思维的知识单元,如何提高学生理性思维能力?教材中把概率安排在统计之后,并且统计与概率在思想和方法上是有差别的,如何体现它们之间思想的一致性?概率的单元教学如何来体现概率的整体性和逻辑的关联性?教师应创设怎样的情境去激发学生的学习动机?这些问题只有通过单元的主题教学,才能够从根本上帮助学生建构知识之间的整体联系,从而理解概率单元的数学思想。
第二,通过不同问题情境,设计与学生认知产生冲突的活动,促进学生学会学习,形成学习能力。
在第二个教学环节中,教师预设了四个随机试验,目的是让学生了解可以通过随机试验研究随机现象。在抛掷一枚硬币1次、3次的试验中,启发学生思考试验过程、提出不同问题、得出试验的可能结果,并据此概括出它们的相同点和不同点。这样的环节不仅可以检验学生是否真正理解了随机试验,也能促进学生对试验结果的深度思考,使学生认识到除了样本空间的结构和样本点个数外,样本点的等可能性也是重要的特征,同时还有利于锻炼学生提出问题和解决问题的能力。在试验的过程中,教师引导学生尝试使用不同的语言描述试验结果,为后续的概率学习奠定了基础。
另外,在这些问题情境的学习活动中,教师要能够发现并探究学生出现错误的根本原因。发现、聚焦、探究学生出现错误的根本原因,不仅仅是为了帮助学生认识正确的结论,某种程度上也是帮助学生提升分析和解决实际数学问题的思维能力。
第三,重视随机现象数学化的学习过程,让学生体验针对具体随机现象探究出样本点和样本空间的学习经历,强化借助抽象符号,特别是数字、有序数对等表示样本点的训练,促进其数学抽象素养的发展。
初中阶段,学生对随机事件的概念已有初步了解,但刚进入高一的学生对使用集合来研究随机事件的认知经验较薄弱,对采用适当的数学符号表示随机试验的结果存在困难,可能会出现遗漏样本点、表示不规范、表示形式不统一等问题。例如,第三个教学环节“抽象概括,形成概念”中,在学生能够使用文字表示抛掷三枚硬币试验结果的情况下,教师可以继续引导学生尝试用数字0表示“反面朝上”,用数字1表示“正面朝上”,那么此时的样本点该如何表示?除了上述表示方法,还有其他表示方法吗?经过对样本点表示的尝试,帮助学生认识到试验结果表示方法的多样性和表示过程的条理性,感悟样本空间的本质,这也是培养学生数学抽象素养的重要途径。
第四,在研究随机试验的过程中,引导学生不断感悟、研究随机现象的一般方法。
在教学过程中,按照试验是什么、目标是什么、样本点如何表示、样本空间怎样书写等展开设计,从具体的随机试验出发,分析试验的可能结果,由语言描述再过渡到用符号表示样本点和样本空间,实际上,这就展现出研究随机现象的一般方法:即明确随机现象或随机试验,确定问题的目标,根据目标确定样本空间,最后用语言及符号表示样本点和样本空间。在章起始课中,学生可能出现体会不深、理解不清、表示不当、总结不到位的情况。针对上述情况,在后续概率学习过程中,教师应注重引导学生通过不断观察、不断思考、不断总结,感悟研究随机现象的一般方法,这也是培养学生数学思维的重要方法。
四、总结
通过以上分析,我们发现样本空间与随机现象是整个概率单元的基石。在教学中通过不同的实例,特别是一些典型试验,引导学生直观感知随机试验过程、理性构建样本空间、符号化样本点,从具体到抽象,让学生体验概念的生成过程。以样本点、样本空间为基础,以集合为工具,把概率问题数学化,定义随机事件的性质和运算,形成知识发展的基石,构建古典概率模型,从数学角度研究概率问题,充分体现了在整体教学观下,随机现象与样本空间作为概率单元的章起始课的地位和作用。
参考文献
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