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摘要 : 概念是数学的基石 , 概念学习通常蕴含在情境中 。概念教学中 , 教师应根据学生 数学思维发展需求和核心素养培养 目标 , 以真实情境和探究问题促进教学活动开展 , 促进 其积累思考和体验 , 逐渐发展为思想和经验 , 从而提升学生核心素养 。在平均数概念教学 中 , 教师应让学生从实际中体会产生这个统计量的必要性 , 并要淡化概念的理论性记忆 , 突出强调“体会”统计量出现的统计意义 , 发展学生数据观念 , 以此解决信息时代新问题 。
关键词 : 平均数,核心素养,概念课,情境教学
数学思维的基本元素是数学概念 , 数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属 性的思维形式 。概念的学习通常蕴含在情境中 , 学 生在真实情境中挖掘 、提炼和发现数学知识 , 积累 思考和体验 , 当学生有意识 、有步骤地将其运用于 分析和解决问题时 , 这些思考和体验将逐渐发展为 思想和经验 , 这是学生核心素养培养的有效途径 。
学习北师大版初中数学八年级上册第六章“数 据的分析”, 要求初中生 掌 握 了 数 据 的 收 集 与 整 理 后进一 步学习数据分析 , 该章学习 目标是在具体统 计活动过程中 发 展 学 生 数 据 分 析 观 念 。 以 第 一 节 “平均数”第一课时为例 , 浅谈如何在概念课中实施 情境教学 , 从而落实提升核心素养 。
一 、教学设计
1. 教学情境选取的素材应强调真实性和适恰性
教学情境应尽可能贴近学生现实 , 以利于学生从现实情境中抽象出数学概念的过程 。 素材包 括 : 实际情境 、知识生成系统情境 、学生经验情境 。概 念课情境 教 学 素 材 的 选 择 不 应 求“丰 富”, 而 应 求 “适恰”。一节课应通过一个现象或案例的描述 , 在 这个现象或案例中包含一个或多个疑难问题 , 也包含解决这些问题的方法 , 从而吸引学生围绕其去思考背后隐藏的系列问题 。教师应对教材内外素材进行合理取舍与整合 。
2. 导入环节的问题情境应具备贯穿性与整体性
“学会学习”已成为中国学生发展核心素养的重要内容之 一 , 教师应帮助学生真正学会学习 。《义务教育数学 课 程 标 准(2022年 版) 》指 出 , 作 为“导入环节”的 问 题 情 境 , 应 转 变 为“贯 穿 整 个 学 习 单元”的问题情境 , 应 设 计“核 心 问 题”, 这 个 核 心 问题常常从学生生活实际出发 , 目标设计又具有 一定的挑战性 , 会让学生觉得学习既刺激又有趣 , 促进学生思维从点状水平向结构化水平提升 。
3. 核心问题下的问题串应具有探究性和持久性
按照新课标要求 , 问题情境应从设疑转变为具 有探究性和持久性的实际问题的解决 , 转变为比较 综合的学习任务 ; 应将“是什么”“为什么”的问题 , 更多转变为“如何解决”“怎样做”的问题 , 在核心问 题下形成“逻辑关联 、直击本质”的促进学生深度思 考和深度学习的问题串 , 激发探索意识 , 引发高阶 思考 , 这实际上是为学生打开了一条学习链 。
探究性和持久性问题串应满足以下特点 : 一 是 突出数学本质 , 具有思维含量 , 是真问题 。二是能 围绕教学目标在学生的认知起点和最近发展区设计 开展 。三是具有层次性 、开放性 、探究性 , 由感性 到理 性 , 由 现 象 到 本 质 , 逐 步 把 学 生 思 考 引 向 深入 。
二 、教学实施
1. 背景分析
在初中阶段 , 统计学领域的概念不多 , 有些概 念给出严格的定义很难 , 应将重点放在理解概念的 意义上 。在概念教学中不能仅满足于把加权平均数 看作重复数据较多时求解算术平均数的简单算法 , 或把加权平均数看作对算术平均数公式的简化 。从 概念理解角度看 , 我们更应设计活动促使学生体会 到“权”的意义在于它能够反映数据的相对“重要程 度”。在此基础上 , 也可把加权平均数和算术平 均 数统一起来 , 并深刻地理解“权”的意义及其优势 ; 还要关注在实际问题中 , 如何基于加权平均数的分 析作出研判和决策 ; 如何通过设计数据分析活 动 ,让学生体会“为何要用数据说话”, 清楚“怎样用数据说话”, 最终形成数据观念 。这些设计的思 考 都指向核心素养导向 。
2. 教学实施
环节一: 体会算术平均数的现实意义 , 并为引出加权平均数的概念作铺垫 。
【问题情境 1】
生态农场种植的 100棵沃柑进入收获期 , 农场计划估计这批沃柑的总产量 。评估组提出的估产方案如下 : 任意摘 20个沃柑 , 称 出 总 质 量 , 并 计 算出它们的 平 均 质 量 ; 从 100棵 树 中 任 意 选 10棵 ,数出每一棵树上的沃柑个数 , 并算出这 10棵 树 平均每棵树的沃柑个数 ; 用“10棵树平均每棵树的沃柑个数 ×100×20个 沃 柑 的 平 均 质 量”来 估 计 沃 柑的总产量 。
【核心问题】
如何寻找一个合适的统计量 , 通过恰当地描述数据平均水平 , 对实际问题做出决策?
【问题串】
问题 1: 算术平均数有简便方法吗?子问题 1: 估产方案合理吗?
子问题 2: 样本再大一些 , 结果有什么影响吗?
[设计意图] 由情境设计 , 体会算术平均数的实际意义 。
问题 2: 数 据 的 个 数 对 平 均 数 的 影 响 是 怎样的?
子问题 3: 若 任 意 选 出的 10棵 树 中 , 每 棵 树 上的沃 柑 个 数(单 位 : 个) 分 别 为 160、 160、 162、160、163、164、 160、 160、 159、 158. 那 么 平 均 每棵树的沃柑个数是多少?
子问题 4: 在子问题 3 中 , 10个数据中某些数 据个数改变 , 会影响最后的结果吗? 你发现了什么?
[设计意图] 通过实际情境 , 初步体会“不同 数 据的个数”的差异性对平均数结果有不同影响 。
【课堂实录】
[教师]请各组汇报 , 估产方案合理吗? 样本再 大一些 , 结果有什么影响吗?
[小组 代 表 1] 估 产 方 案 可 行 。 若 样 本 再 大 一些 , 估计结果会更精准 。
[教师] 大家能用到“用样本估计总体”这个统计 学的基本思想来诠释 , 有一定的数据观念 。样本需 具备代表性 , 不同样本可能得到不同结果 。
[教师追问] 对于子问题 3. 同学们是怎样思考 的呢?
[小组代表 2] 我用算术平均数公式来计算 , 平均每棵树的沃柑个数为 : (160+160+161+160+163+163+160+160+157+156) ÷10= 160(个) 。
[小组代 表 3] 也 可 这 样 算 : (160× 5+161×1+163×2+157×1+156×1) ÷10= 160(个) , 数据 160有 5个 , 对平均数影响最大 。
[教师]很好 。第一位同学回顾了算术平均数概念 , 第二 位 同 学 采 取 了 简 便 计 算 , 并 发 现 了 数 据 160的个数有 5个 , 对最后的平均数影响最大 。
[教 师 追 问 ] 若 数 据 160 的 个 数 变 成 1. 而 156的个数变成了 5. 平均数是多少呢? 你 又 发 现 了什么?
[学生 4] 平均数为 158.4(个) , 约 为 158(个) 。 我发现 , 一组数据里某些数据的个数越大 , 越影响 平均数的结果 。
[教师小结] 归纳到位 。通过分析 , 我们可以感 受到一组数据中某个数据个数的差异对平均数产生 不同的影响 。这节课 , 我们进一 步在实际情境中分 析 , 并探究出一个对决策起关键作用的统计量 。
【教学分析】
此环节调整了教材的情境素材 : 计算量减少并 更贴近学生生活实际 , 更能体现情境的真实性与合 理性 ; 在核心问题下设计了 4个子问题 ; 前置课前 “小组学习”, 节省了时间 。重点在于让学生初步体会从不同角度去分析数据 , 经历问题解决 , 初步感受“权”的意义 , 为学习加权平均数概念奠定基础 。
环节二 : 理解加权平均数概念 , 并探索用加权平均数对不同的实际问题进行决策 。
【问题情境 2】
某广告公司欲招聘广告策划 人 员 一 名 , 对 A、B、C三名候选 人 进 行 了 三 项 素 质(创 新 、综 合 知
识 、语言) 测 试 , 他 们 的 各 项 测 试 成 绩 (分) 如 下 :候选 人 A 为 72、 50、 88; 候 选 人 B 为 85、 74、45; 候选人 C 为 67、70、67.
【核心问题】
如何寻找一个合适的统计量 , 通过恰当地描述数据的平均水平 , 对实际问题做出决策?
【问题串】
问题 1: 什么是加权平均数?
子问题 1: 将三位候选人三项得分的平均数从高到低排序 , 顺序怎样?
子问题 2: 若根据三项测试的平均成绩确定录用人选 , 那么谁将被录用?
子问题 3: 根据实际需要 , 公司将创新 、综合知识和语言三项测试得分按 4 ∶ 3 ∶ 1 的比例确定各人的测试成绩 , 此时谁将被录用?
子问题 4: 若公司要录用综合知识较高的 , 应按怎样的比例确定各人的测试成绩 , 谁将被录用?
[设计意图] 理解数据的“重要程度”; 理解每个数据都有一个“权”, 并未必相同 。
问题 2: 如何通过“权”来刻画数据?
子问题 5: 若公司将录取口语水平较高的 , 你还可以采取其他表现形式来设计吗?
子问题 6: 子问题 3、4、5 对应的评分录用方案有优劣之分吗?
[设计意图] 明确“权”的差异性对平均数结果有不同影响 。
问题 3: “权”的表现形式有哪些?
子问题 7: “权”有哪些表现形式?
子问题 8: 算术平均数和加权平均数的联系与区别是什么?
[设计意图] 清楚“权”的多种表现形式 ; 理解算术平均数是加权平均数的特殊情况 。
【课堂实录】
[教师] 对于子问题 1 和 2. 同学们的思考是怎 样的?
[学生 1] A、B、C 的平均成绩分别是 : (72+ 50+ 88) ÷ 3= 70( 分) ; (85+ 74+ 45) ÷ 3= 68 (分) ; (67+70+67) ÷3=68(分) , A 最高分 。 因 此候选人 A被录用 。
[教师 ] 对 于 子 问 题 3. 同 学 们 的 思 考 是 怎 样的?
[学生 2] 将 三 个 测 试 项 目 分 解 成 8 份 , 其 中 “创 新”占 4 份 , “综 合 知 识”占 3 份 , “语 言”占 1份 。这样计算 :72×4+53×3+8×1
A的测试成绩 : 85×4+74×3+45×1/4+3+1 =65.75(分)
B的测试成绩 : 67×4+70×3+67×1/4+3+1 =75.875(分)
C的测试成绩 : 67×4+70×3+67×1/4+3+1 =68.125(分)
[教师追问]好 。谁能发表对子问题 4 的思考?
[学生 3] 可 以 按 2 ∶ 5 ∶ 3 的 比 例 。 最 重 要 是 “综合知识”, 那么它的比例就要更大 。用刚才的方 法计算 , 可得 C候选人被录用 。
[教师] 分析到位 。实际上 , 大家已通过两个实 例探究 , 自主生成了一个新概念“加权平均数”。和 算术平均数一样 , 此概念是统计学中一个描述 一 组 数据集中趋势的重要统计量 。在实际问题中 , 一 组 数据里的各个数据的“重要程度”未必相同 , 因此 , 在计 算 这 组 数 据 的 平 均 数 时 , 往 往 给 每 个 数 据 一个“权”。
[教师追问]对于子问题 5. 你们思考是怎样的?
[学生 4] 我 考 虑 用 类 似 期 评 分 数 的 计 算 形 式 , 用百分数来 表 达 “权”。将 创 新 、综 合 知 识 和 语 言 三项测试 得 分 按 25% 、 25% 、 50%来 赋“权”, 确 定各人的 测 试 成 绩 。 A、B、C 三 名 候 选 人 的 平 均 分数 分 别 为 : 72× 25%+50× 25%+88× 50% = 74.5(分) ; 85× 25% + 74× 25% + 45× 50% = 62.25(分) ; 67× 25% + 70× 25% + 67× 50% = 67.75(分) 。故 A被录用 。
[教师追问]很好 。 以上方案有优劣之分吗? [学生 5] 没有优劣之分 , 表现形式不同 。
[教师追问] 对 。那么“权”有哪些表现形式呢?
[学生 6] 可以是个数 、 比例或者百分数的表现形式 。
[教师追问] 子问题 8 的思考呢?
[学生 7]算术平均数是加权平均数的 一 种特殊情况 , 各项的权相等 。
[教师小结]好 。 同学们通过在实际情境中探究问题 , 新接触到了一个统计量“加权平均数”, 用它描述一组数据的平均水平 , 能合理地对实际问题做出决策 。
【教学分析】
多个真实 情 境 由 教 师 提 供 或 者 由 学 生 自 主 创设 , 其目的在于引入加权平均数的概念 。多个问题 串紧扣核心问题不断向学生抛出 , 其目的在于引导 学生思考“重要性的差异对结果(平均数) 的影响”。 课本没有给出形式化定义 , 而是创设真实情境 , 通 过核心问题引出一 系列探究活动 , 对新概念加以诠 释和说明 , 这种设计有利于学生养成重证据 、讲道 理的科学态度 。
三 、结语
《义务 教 育 数 学 课 程 标 准 (2022年 版) 》提 出 ,在探索真实情境所蕴 含 的 数 学 概 念 的 过 程 中 , “真实情境”和“问题探索”是两个关键点 。 在课堂教学中 , 对问题创设的评估 , 不能孤立关 注 某 些 环 节 ,而应从整体上思考 , 更看重所创设的问题情境所解决的问题是否能承载落实核心素养 。
参考文献
[1] 史 宁 中 , 曹 一 鸣 . 义 务 教 育 数 学 课 程 标 准 (2022 年版) 解读[M] . 北京 : 北京师范大学出版社 , 2022: 122.
[2] 王春易 , 等. 从教走向学 , 在课堂上落实核心素养[M] .北京 : 中国人民大学出版社 , 2022: 62.
[3] 曹一 鸣 . 新版课程标准解析与教学指导(2022年版 初中数学) [M] . 北京 : 北京师范大学出版社 , 2022: 183.
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