“数形结合”让数学思维走向深刻论文

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　数学是研究现实世界数量关系与 空间关系的科学，任何科学的探索与 发明，都离不开数学的思维方法。数 学是“人类思维的体操”已成为大家 的共识，所以在数学教学的过程中， 关注学生数学思维能力的培养一直是 重中之重。针对小学生思维特点与认 知规律，教学中关注数形结合，对思 维能力的培养具有重要的意义。结合 小学数学课堂教学相关案例，下文从 四方面来谈一谈教学实践中如何做好 “数形结合”，让数学思维走向深刻。

 

　　一、数形结合，把握数学本质， 使概念认知形象直观

　　数学概念是人脑对现实对象的数 量关系和空间形式的本质特征的一种 反映形式，即一种数学的思维形式。 在数学中，作为一般的思维形式的判断 与推理，以定理、法则、公式的方式表 现出来，而数学概念则是构成它们的 基础。正确理解并灵活运用数学概念， 是掌握数学基础知识和运算技能、发 展逻辑论证和空间想象能力的前提。



　　对小学生而言，数学概念的学习 是枯燥的，掌握也是很困难的，因此 在小学数学的学习，数形结合成为必 要，从教材的编写来看，也是遵循这

　　样的原则。可以说，在所有数学概念 的呈现与理解上都借助直观的画面与 几何图形来帮助学生把握概念的本质。 如我在教学“分数的初步认识”时， 我的主要教学环节如下：

　　环节一：在设置认知冲突中引出 “分数”。

　　1. 呈现主题图

　　师： 生活中我们常常遇到分东西 的情况，你看，春游时，小红和小刚 带了哪些食物。他们会怎么分。

　　2. 操作中设疑

　　师： 把一个蛋糕平均分成 2 份， 每人分得多少?怎样分? (平均切成 两半，每人半个蛋糕)

　　3. 引出学习主题

　　师： 把一个蛋糕平均分成 2 份， 每一份是这个蛋糕的一半，这一半该

　　用什么样的数来表示? (引出分数2/1)

　　环节二： 在动手操作中认识“二分 之一”。

　　老师提出操作要求：拿一张长方

　　形，先折一折，把它的-2/1涂上颜色。

　　作品展示，随机呈现在黑板上。

　　师生交流：折法不同，为什么涂色的部分都是长方形的-2/1呢?

　　明确都是长方形的一半;都是把 长方形平均分成 2 份，涂色的是其中的一份。

　　及时判断：课件呈现习题，哪些图形里的涂色部分是-2/1.

　　环节三：自主探究认识几个之一。

　　1. 启思：你还想认识几分之一

　　2. 活动：拿一张纸(长方形或圆 片) 折一折，并用斜线表示出它的几 分之一

　　组织学生汇报。注重言语表达规 范，如：我把一个长方形平均分成8份， 涂色部分是它的;一个圆形平均分成 4 份，涂了其中一份，每份是它的4/1.

　　明确：你把这个图形平均分成几 份，涂色部分是它的几分之一。

　　3. 展示作品：长方形、正方形、圆形表示的-4/1

　　比较提问：形状不同，为什么涂色部分都是它的-4/1.

　　明确共同点：因为它们都平均分 成了四份，涂色的是其中的一份。

　　环节四：数形结合中比较分数的大小。

　　1. 展示作品：圆形表示的-2/1、4/1、

　　师： 比较它们各自涂色的部分， 你能说出哪个分数大?

　　2. 用完全相同的圆，表示出它的8/1.和2/1、4/1比，想象一下怎么样?用学生作品验证。

　　3. 感悟：同一个物品，平均分得 份数越多，每一份就越小。

　　从以上的教学环节不难看出，对 分数的理解每一步都是借助“形”的 支撑。先是在直观的图面“分蛋糕” 中，让学生感受到分数这一概念产生的需要。接着让学生对一个图形“长方形”的操作中，形象感知2/1的由来。紧接着让学生自由去对一个图形操作， 去创造一个几个之一，并且再让学生 通过比较，得出对分数概念的初步认 识，把一个图形平均分成几份，每一 份就是它的几分之一。同样在几分之 一的比较中也是结合图形的呈现，让 学生很容易看出同一个物品，平均分 得份数越多，每一份就越小。

　　二、数形结合，化解教学难点， 使知识呈现由浅入深

　　“数形结合”不仅是一种数学思 想，也是一种很好的解决问题的方法。 在小学生数学学习的过程中，对于一 些难以理解和掌握的数学知识，教师 可以充分利用“形”来帮助学生理解， 使得数学知识形象、直观，使得知识 呈现由浅入深。我们不妨来看看特级 教师徐斌老师在执教“9 加几”的几 个教学片段。

　　师： (出示图片)有一天，猴妈 妈把摘的桃放在桌子上，让小猴算一 算一共有多少个，小猴看到这么多桃， 馋得口水直往下流，哪有心思算呀， 急得直抓头：小朋友们，你们愿意帮 助小猴吗?

　　生： 愿意!

　　师： 我们先来看，这些桃是怎样 摆放在桌子上的?

　　生： 有一些桃摆在盒子里，还有 一些桃摆在桌子上。

　　生： 盒子里有 9 个，盒子外面有 4 个。

　　师： 用什么方法可以算出一共有 多少个桃呢?

　　生： 用加法。

　　师： 为什么用加法计算?

　　生： 因为是把盒子里的桃和盒子 外面的桃合并在一起，所以用加法。

　　(师板书出算式 9+4)

　　师： 那么，怎样算出 9+4 的结果 呢?请同学们先自己探索，再和同桌 互相说一说自己是怎样想的。

　　(生独立探索并与同桌交流)

　　师： 谁来说一说你是怎样算到得 数的?

　　生： 我是数着算的，9.10.11. 12.13.

　　生： 我是先拿一个放到盒子里， 外面还有 3 个，就是 13.

　　生： 我是先想 10 加 4 得 14.再 减去 1 就是 13.

　　师： 同学们用不同的方法，都算 出了 9 加 4 得 13.真聪明!刚才有同 学说，先把盒子里空着的一格放上桃， 再加上外面的 3 个，得 13.哪个同学 能到前面来演示一下?

　　(师指名一生上台演示，并逐步 对应板书)

　　师： 为什么从 4 里面先拿 1 个放 盒子里?

　　生： 这样就可以放满盒子，一盒 10 个。

　　师： 先算什么?再算什么?

　　生： 先 算 9 加 1 得 10. 再 算 10 加 3 得 13.

　　师： 刚才大家算得很好。我们再 来看，小猴家的花园里栽了两种颜色 的鲜花，

　　(课件出示“试一试”题目， 引 导学生列出算式 9+7)

　　师： 请大家选择自己喜欢的方法 计算 9+7.也可以在教科书上先圈出 10 个再填一填。

　　(生动手圈图并计算)

　　师： 谁来说说你是怎样想的?

　　生： 我是把 9 朵红花和 l 朵黄花 圈在一起，再加上 6 朵黄花就是 16.

　　(师结合学生的汇报板书思考过程)

　　生： 我先把 7 朵黄花和 3 朵红花 圈起来是 10 朵，再和剩下的 6 朵红花 加起来是 16.

　　师： 这种想法也不错!

　　师： 这两种计算方法有什么共同 的地方?

　　生： 都是先变成 10 再算的。

　　师： 是啊!我们在计算时，既可 以先把 9 凑成 10.也可以先把 7 凑成 10.然后再想 10 加几就方便了。

　　对教学而言，教学难点无非两种 情况，一种是教材内容本身难度大， 数学知识较为抽象，另一种就是学生 的认知水平弱知识结构低。针对这样 的两种情况来说，找准知识起点，分 散学习难点，让数学知识由浅入深呈 现非常适宜。而数形结合的方式，使 得由浅入深的知识呈现更具直观性， 易思考性。

　　在上述课例中，“凑十法”是教 学的重点，如何合理把一个数分拆进 行凑十这是教学的难点。徐老师出于 这样的思考，首先复习了十加几的口 算，为接下来新知学习做好铺垫。在 教学 9 加 4 时，徐老师把鲜明的具有 数学结构的桃子图张贴在黑板上，学 生借助这样的“形”，很容易想到从 右边 4 个桃子中取一个放到左边的盒 子里，这样左边盒子满了，正好是 10 个。并让学生上台演示可移动教具， 边逐步对应板书，不断追问学生：为 什么从 4 里面先拿 1 个放盒子里?那 么，刚才我们先算什么?再算什么? 学生很快得出：先算 9 加 1 得 10.再 算 10 加 3 得 13.在接下来的“试一 试”中，重点让学生进一步理解“凑 十”法的思路。由于 9 和 7 都离 10 比较接近，因此，学生可能出现两 种“凑十”(把 9 凑成 10 和把 7 凑成 10)。这时，让学生直接在数形图上 圈一圈，画一画，再结合学生的操作 和思考，教师辅以结构化的对应性板 书，提炼学生的思维过程，帮助学生 在数形结合中实现从具体到抽象的转 化。然后通过两种“凑十”法的比较 以及“试一试”和例题的对比，使学 生对“凑十”法的理解逐步累积起感 性经验，为进一步理解“凑十”法的内涵做好准备。


 

　　三、数形结合，厘清数量关系， 使数学方法理解深刻

　　数学教学要关注数量关系，尤其 是在解决问题的过程中，让学生厘清 数量关系，这对提高解决问题的方法 尤为重要。教学中，教师可以通过形 数结合的训练，让学生在解决问题时 能自觉想到数形结合，能够去画一画 线段图、示意图，或者是在脑海里去 想象一下相关情境来帮助解决问题。 在数形结合中强化数形对应，把复杂 的问题简单化、明朗化。把抽象的问 题具体化、形象化。长此以往，学生 分析比较、综合运用知识解决问题的 能力必然大大提高。

　　如教学“解决问题的策略：替 换”这部分内容时，怎么样让学生理 解“倍数关系”与“相差关系”两种 量的替换，这两种量的替换有何不同， 替换后总量又有何变化?其间的数量 关系必须要让学生明白。请看我的教 学环节：

　　环节一： 唤醒经验， 引入替换策略。

　　教师出示两幅天平图(图 1 ：1 个 苹果等于 2 个梨;图 2 ：1 个苹果 2 个 梨重 400 克)。师：从图中你能看出一 个苹果的重量和一个梨的重量有什么 关系?你能算出一个苹果的重量和一 个梨的重量吗。

　　在这样直观的数形图中，让学生 自然而然地想到“换一换”的思路。

　　环节二： 自主探索， 研究替换策略。

　　出示问题：把 720 毫升果汁倒入 6 个小杯和 1 个大杯正好倒满，已知 小杯是大杯的，大杯和小杯容量各是 多少?

　　先让学生理解大杯和小杯的容量 关系，接着让学生在老师发给的图纸 上用圆圈圈一圈，用箭头指一指，把 替换的过程画出来，然后根据示意图 列式解答。

　　根据算式，追问学生数量关系有 什么变化，让学生明白我们可以把一

　　个大杯替换成三个小杯，也可以把三 个小杯替换成一个大杯。在替换的时 候，果汁总量是不变的，变的是什么 杯子的数量。

　　环节三：变换条件，灵活替换。

　　问：如果条件变成“大杯的容量比 小杯多 20 毫升”，现在还可以替换吗?

　　让学生讨论，并看屏幕上动态的 大小杯替换情境，然后再让学生在图 纸上换一换，并标出换后数量的变化。

　　教师重点让学生关注图中“形” 变化后(即大小杯的变换)，“数”的 变化(即果汁总量的变化)。然后再列 出算式。

　　环节四：分析比较， 理清数量关系。

　　问：刚才这两个题目我们都是用 替换的策略解决的，但它们之间有什 么区别呢?请大家比较一下，你有什 么发现呢?

　　明确第一题中两个量是倍数关系， 替换后的总量不变;第二题中两个量是 相差的关系，替换后总量发生了变化。

　　正是这样的数形结合，使得学生 对数量关系的变化有了清晰的理解， 以致在接下来解决问题的环节中，学 生较好把握了替换的策略，形成了一 定的解决问题的技能与方法。

　　四、数形结合，探索数学规律， 使学习过程生动活泼

　　数学学习过程不仅是一个接受知 识、积累知识的过程，也是一个探索 知识、创造知识的过程。运用数形结 合，有助于学生探索数学规律，让学 生经历一个生动活泼的探索、思考过 程。在数学教学中可以根据数与形的 转化，让学生学会构造模型来直观描 述数学问题的能力，这样不仅可以发 展学生的形象思维能力，而且可以通 过数形结合锻炼学生的创造性。

　　教学“一一间隔排列”规律时， 我是先让学生观察下面两幅珠子的排 列图，让他感受哪一串珠子排列得有 规律。

　　然后让学生动手画一画。

       师：下面我们就来画一画这样的间隔排列， 请大家拿出练习本，我来报图形，你 们在下面画出来，哪位同学愿意到黑 板前来画。

　　第一次： ○△○△○△○△ 师： 圆和三角形哪个数量多? 生： 一样多。(渗透对应)

　　师： 接下来就应该画什么图形? 第二次： ○△○△○△○△○△○ 师： 这时圆和三角形哪个数量多?

　　师： 我们接着往下画，三角形、 圆、三角形、圆、三角形、圆……， 这样能画完吗?那该怎么办?板书： ○△○△○△○△○△○△ ……

　　师： 这时你觉得圆多，还是三角 形多?如果这里是个圆形呢，如果再 来个三角形呢?

　　在这样动态的数形结合中，让学 生很容易看出，一一间隔排列中，如 果两端物体相同，那么两端物体就比 中间物体数量多 1 ;如果两端物体不 同，那么两端物体就与中间物体数量 同样多。这样的间隔排列规律不是教 师硬性灌输给学生的，而是学生在生 动活泼的学习过程中不断感受、体验， 最终理解的。

　　综上所述，教学中把数与形结合 起来，就能给学生提供形象生动的学 习材料，就可以将抽象的数学知识变 得生动起来，就能培养学生良好的解 决问题的能力。关注数形结合，必将 使小学生的数学思维走向深刻!

　　参考文献：

　　[1] 林崇德 . 智力发展与数学学习 [M]. 中国轻工业出版社 ,2011.12.
　　[2] 邵光 华 . 作 为教 育任务 的数 学思想与方法 [M]. 上海教育出版社 , 2009.9.
　　[3] 张景中 . 感受小学数学思想的 力量—— 写给小学数学教师们 [J]. 人 民教育 ,2007.18.
 
 
 
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