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摘 要
分数乘法是分数教学的重要组成部分，求一个数的几分之几用乘法是分数乘法教学的起点，也是难点。本文从教材、教学设 计、课堂实践等方面聚焦教学困惑，再从数与运算的一致性角度看待这个困惑，完全可以理解成求一个数的几分之几倍。为了从 源头上避免困惑，要在分数概念的教学中提到数的一致性，最后类比整数乘法的学习内容提出分数乘法的教学思路。
[关键词]分数乘法,数与运算的一致性,小学数学
在分数乘法的教学中，不管是苏 教版、人教版还是北师大版教材，教 学顺序都是相同的，即先学习分数乘 整数，了解分数乘整数的意义(几个 相同分数的和) 和计算法则，拓展至 求一个数的几分之几是多少用乘法计 算，最后学习分数乘分数。“求一个数 的几分之几是多少”是学习分数乘整 数和分数乘分数的桥梁，具有关键性 的作用。但为什么“求一个数的几分 之几是多少，可以用乘法算”是很多 学生学习之中的茫然之处，许多教师 在教学中也不知怎样能够讲清楚。根 本原因就是教师也没弄明白到底为什 么用乘法。
一、从教材、教学设计、课堂实 践聚焦教学困惑
教师通过直接告诉的方式使学生 知道“求一个数的几分之几是多少， 可以用乘法算”，除了学生获取知识 的过程比较生硬，还导致学生对“为 什么”可以这样列式存在疑惑，这个 知识并没有内化到自己的认知结构中， 所以在遇到这个问题时，他还是自然 地想到他认可的“归一”法。为此， 笔者带着对这个问题的思考又查阅了不同版本的教材例题的处理方式，研 究了一些教师的教学设计和教学实践， 总结了他们的处理方式如下。笔者要 说明的是，教师们对这一教学难点的 处理往往不是采用单一的方式，而是 结合几种方式。
1. 直接告知。前面笔者已经尝试 过，虽然简单明了，但过于生硬，这 种方法最不可取。
2. 先写乘法算式再验证结果。教 师呈现例题之后，学生使用“归一” 法后，教师进一步追问：“还有没有别 的解决方法了呢 ?”接着展示用分数 乘法进行计算的方法，然后学生算一 算，发现乘法算式与上面的方法算出 的结果完全相同。最后通过交流讨论 出乘法算式与原来的方法之间的联系。 笔者是让学生先写出不同的做法，其 中有的学生想到了用乘法，解释这个 乘法算式还是用的“归一”法。当然 笔者并没有停留于此，而是引导学生 探究出“求一个数的几分之几是多少” 类同于“求一个数的几倍是多少”，都 可以用乘法计算，不过乘的倍数关系 不同。
3. 用数量关系搭桥。人教版中的 教材是借助“每桶水的体积 × 桶数 =总体积”引入乘法算式，再结合倍数 类比来解释“求一个数的几分之几是 多少，为什么可以用乘法算”。用数量 关系引入乘法比较自然，但是有局限 性，也没有揭示一个数乘分数的本质。
4. 用乘法意义来解释。北师大版 的教材把 6 乘 1/2 解释成 6 个 1/2. 我认为单纯解释这个算式的第二层含 意是可以的。这就把对这个算式的解 释回归到了分数乘整数的意义上。还 是没有从根本上回答“求一个数的 几分之几是多少，为什么可以用乘 法算”。
5. 倍数推理。用画图的方式验证 这个乘法算式的结果和用“归一”法 算出的结果一致。当然最后画图验证 的时候还用了乘法意义来解释。有的 教师认为求某数的几分之几是多少” 关键是要让学生明白“几分之几”和 “几倍”都表示“倍数”的意义。“求 某数的几分之几是多少”与“求某数 的几倍是多少”只是倍数意义的表述 形式不同，表述的意义相同，所以运 算意义相同。
从上面的处理方式不难看出用倍 数类比推理是较为自然的一种处理方 式，也是值得推崇的一种处理方式。
二、从三个“一致性”探究分数 概念教学的重要性
课程内容中指出小学部分数与代 数领域包括“数与运算”和“数量关 系”两个主题。“数与运算”包括整 数、小数和分数的认识及其四则运算。 数是对数量的抽象，数的运算重点在 于理解算理、掌握算法，数与运算之 间有密切的关联。初步体会数是对数 量的抽象，感悟数的概念本质上的一 致性，形成数感和符号意识;感悟数 的运算以及运算之间的关系，体会数 的运算本质上的一致性，形成运算能 力和推理意识。
笔者认为“求一个数的几分之几 是多少”这节课要想上得顺其自然， 不仅仅是在这节课上下功夫，更是在 这之前需要做好一件事，就是对分数 的认识要准确。接下来笔者想从三个 一致性谈谈，为什么分数概念教学对 这节课起着至关重要的作用。
1. 数的概念本质上的一致性。新 课标的课程实施部分指出，对小学阶 段“数与运算”主题，在理解整数、 小数和分数意义的同时，理解整数、 小数、分数基于计数单位表达的一致 性。有了这个一致性和整体性的意识， 小数和分数的教学就会变得简单。任 何一个分数都是其分数单位累加的结 果(如同自然数、小数的组成与分 解)，分数就是先分后数的数，这样看 待“分数”，全部“数”的构成与结构 就都一致了。
2. 数的运算本质上的一致性。数 的运算一致性包括运算的意义、算理 和算法等方面，这里主要说的是运算 意义的一致性。乘法就是加法的简便 运算，整数乘法是整数加法的简便运 算，表达的是整数倍数的关系。
3. 数与运算的一致性。新课标中 指出数的认识是数的运算的基础，掌 握数的运算有助于学生更好地认识数。 分数具有表示倍数关系的含义，对分 数有了这个认识，才能在解决求一个 数的几分之几(倍)时自然想到乘法。但我个人认为这个情境的表述最好是 从直白的表述开始。
三、重构分数概念学习路径
分数的认识是一个漫长的过程， 我们可以分为三个阶段进行。在第一 个阶段主要就是初步感知分数的产生： 分物时，把一个整体平均分成若干份， 表示其中的一份或几份的数叫分数。 在第二个阶段我们要让学生知道分数 还是对数量关系的抽象，表示了部分 和整体的关系，也就是比率的意义。 在第三个阶段主要是立足分数和除法 的关系展开的，并且认识到分数是对 部分和部分数量关系的刻画。下面就 详细阐述这三个阶段的学习路径。
1. 基于平均分认识分数是对数量 的抽象。在第一个阶段在分数的初步 认识(一)和(二) 这个阶段，我们 要让学生知道分数是分出来的，是先 分后数的数。
2. 基于计数单位认识分数是对数 量和数量关系的抽象。分数除了是对 数量的抽象还是对数量关系的抽象。
3. 基于商的意义认识分数是对数 量关系的抽象。在第三阶段，五年级 “分数与除法”这一节中，建立分数与 整数除法的关系，完整认识分数。分 数表示部分和部分的数量关系。
四、设计分数乘法教学思路
基于上述的分析，笔者认为完 全可以类比整数的学习内容，师生合 作制定分数的学习思路。六年级的学 生已经认识了分数，学习了分数的加 减法。师生可以在第一节课中一起回 顾整数的学习内容，比如，整数的产 生，对整数的认识、整数的加减法计 算，再到整数的乘除法，最后是整数 的应用。这个时候完全可以让学生猜 测接下来要学习有关分数的哪方面内 容，学生很自然地猜测到分数的乘法 和除法。那先学习乘法还是除法呢? 类比整数乘除法的学习顺序，学生也 能提出先学习分数乘法。接下来就是重头戏：分数乘法到底会涉及什么内 容呢?可以让学生充分交流讨论，比 如，有的学生会提到分数乘分数、分 数乘整数、整数乘分数等。这个时候 教师可以引导什么情况下我们会用到 这些算式，着重强调分数的两层含义： 分数是对数量和数量关系的抽象。待 学生提出具体的实例之后，教师再在 后续课时中带领学生一起探究分数乘 法的算法。笔者觉得这样做的好处就 是能够让学生把握学习分数乘法的整 体性，厘清学习分数乘法的思路。
从数与运算的一致性的角度追 根溯源，从而想到了分数乘法的教学 关键在于分数概念的教学。所以从整 体性和系统性的角度出发，教师需要 厘清分数概念的教学路径，在此基础 上师生可以大胆设计分数乘法的学习 思路。
参考文献：
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[4] 刘加霞 . 通过“分”与“数”(sh )， 分 数 是个“ 数(shù)”?—— 兼评华应龙教师执教的“分数的意 义”[J]. 人民教育，2011(06)：39-42.
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