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摘 要
小学数学教学中，几何概念是学生学习几何知识的难点之一。本文依据新课标，通过在教学中充分发挥学生的直观认知，帮 助学生建构概念;沟通几何概念的内在联系，促使学生构建概念网络体系;加强概念在实践中的灵活运用，培养学生的空间观念 及综合思维能力三方面展开论述，培养学生的学科素养，以达到学科育人的目的。
[关键词]几何概念,直观,感悟,内化
《义务教育数学课程标准(2020 年版)》指出：在“图形与几何”的 学习中，应帮助学生建立空间观念。 “空间观念”又叫作“空间表象”。所 谓“空间观念”，是指“在空间感知基 础上形成的关于物体形状、大小和相 互位置关系的观念”。在数学学科中， “空间观念”是指“根据物体特征抽象 出几何图形，再根据几何图形想象出 空间物体的方位、相互位置关系凭想 象画出图形的素养”。而几何概念是培 养学生空间观念和思维能力、想象能 力的基础，是学生学好几何知识的前 提条件。课堂教学中，教师要采用直 观化、形象化的教学策略，指导学生 运用各种感觉器官去认识概念，并借 助学生直接感受经验，将认识概念的 相关信息进行总结，从而建立初步的 认知形象，同时教师还要借助具体直 观的实物，通过合理的课堂引导，调 动学生大脑中对几何图形性质的印象 与记忆，从而有助于学生更进一步地 掌握概念。
不过，在现行课堂教学中，几何 课堂教学通常面临这样两种情况：一 是忽略概念的生成过程，教师通过单 纯的图示介绍，将概念简单灌输给学生，使之死记硬背概念、方法;二是 忽略了不同概念之间的联系，将前后 相关的概念拆散，犹如断开的“珍珠 项链”，将一粒粒“珍珠”散乱、孤立 地储存在学生的头脑里，对知识照搬 照抄，因而不能形成正确的认知结构。 鉴于小学生的认知规律、思维特点以 及几何形体概念的抽象化等原因，教 师必须精心设计富有成效的几何概念 课堂教学策略，培养和提升学生的空 间观念。
本文将从以下几点对如何提高几 何概念教学的有效性进行阐述。
一、直观感知，建构概念
小学生的空间观念发展会经历一 个由直观到抽象的过程。低年级的小 学生在学习几何图形时，经常会根据 生活中的具体事物联想到教学内容， 从而获得感性认知。到了小学高年级 时，才能从丰富的感性材料中，通过 判断、推理等思维形式，认识到图形 的一般特征。课堂教学实践中发现， 小学生正确认识和绘制长方形、正方 形、三角形等几何图形的正确率，往 往超过用数学语言准确描述它们的特 征的正确率。这种现象说明小学生对几何图形的认知是从直观具体到抽象 出数学特征的学习过程。在日常生活 中，有着如积木、方桌、球体、纸盒 等许多几何图形物体，而小学生往往 是从对身边环境中的这些几何形状实 物的观察，开始直观认识几何图形。 课堂教学中，教师利用小学生所熟悉 的一些常见几何实物，引导他们获得 直观感知，再用数学语言总结得出几 何概念，这样的教学策略符合小学生 的认知规律。
( 一 ) 联系生活，引导学生理解几 何概念
小学生思维形式以形象思维为 主，教学中，教师要利用生活中的几 何实物，引导学生初步理解几何概念。 例如，在教学长方形的周长、面积时， 可以引导学生想想在实际生活中、教 室内哪些物体表面是长方形，再让学 生动手摸一摸课桌面、书本、黑板等 物体，同时借助教具、多媒体画面的 直观演示，揭示长方形的周长、面积 的特点，提炼概念。学习立体图形的 表面积，可以让学生把牙膏盒、饮料 盒、薯片桶等长(正) 方体、圆柱体 包装盒拆开，经历将立体图形的表面 展开成平面图形的过程， 自主发现立体图形表面积的计算方法。像这样利 用学生生活环境中熟知的一些几何实 物，引导帮助学生从中获得感性认识， 通过语言描述总结出相关的几何概念， 使学生经历由具体实物的形状到抽象 出几何表象的认知过程，初步形成空 间观念。
(二)自主探究，促进学生感悟 几何概念
《义务教育数学课程标准(2011 年版)》指出：动手操作、自主探索与 合作交流是学生学习的重要方式。学 生如果只经历观察、描述、听讲等简 单的学习过程，是不能充分理解几何 概念本质的。最有效的学习方法是让 学生在动手操作、自主探索过程中积 极、主动地感悟几何概念，充分理解 概念的本质属性。如教学“围成三角 形的三条边的关系”时，教师可以先 随机选几根长短不同的小棒，让学生 自由选择围成三角形，学生操作时， 会发现并不是随意的三根小棒都可以 围成三角形。教师提出问题：“要围 成三角形，三根小棒的长度要满足什 么条件?”结合学生再次操作的过程， 引导他们自主思考：“围成三角形的三 条边的长度有什么关系?不能围成三 角形的三条边的长度呢?”最后由学 生通过展示操作过程、交流总结探究 结果。这个教学过程使学生在动手操 作、探究、分析总结“围成三角形的 三条边的关系”的过程中，对较为抽 象的“三角形三边关系”有了充分的 理解和感悟。
(三)多样变化，帮助学生深化 几何概念
实践证明，“变式训练”能让学 生的思维变得灵通、灵活，能有效地 拓展、发散、创新学生的思维。数学 教学改革专家顾泠沅创立的青浦四条 经验中的一条“组织好课堂层次序列， 进行变式教学”，就突出了变式训练的 重要性。教学中多用变式训练，能让 学生认识到不论数学条件、问题、表 达形式、内容如何变化，但数学本质 特征不变，可以有效培养学生的综合思维能力。在几何概念的教学中，教 师要灵活运用变式训练引导学生准确 把握概念的内涵，使学生能深刻、准 确地理解掌握概念本质。而许多几何 概念是从日常生活概念中抽象发展而 来的，生活中的概念往往比较宽泛、 模糊，容易与数学概念产生“字同义 不同”的现象，使学生错误理解。例 如，“互相垂直”的概念，生活中人们 认为物体呈现上下的方向即为垂直， 而作为几何概念，互相垂直的本质特 征是两条直线的位置关系。教学实践 中，学生通常会用日常生活中的迷思 概念—— “竖直”来理解数学学科中 的“垂直”概念。这说明小学生在认 识理解图形的特征时常常会混淆概念 的本质特征与现实认知中的非本质特 征。比如，在学习“互相垂直”这一 数学概念时，学生通常会利用三角尺， 竖着作垂直线段，当变化了一条直线 的位置，学生就会受思维定式影响， 同时被三角尺的斜边干扰，拿着三角 尺转来转去，不知该怎么办，原因就 在于学生在首次理解“互相垂直”这 一概念时，教师没有让学生利用多种 变式工具作垂线，学生不能理解“互 相垂直”概念的内涵本质。因此，在 学生学习“互相垂直”时，教师可以 变换图形的位置，同时先让学生用三 角尺作垂线，再要求学生用变式工具 练习，例如，去掉三角尺的斜边形如 字母 L 的工具、利用直尺的垂直边， 甚至可以用课本的垂直边，使学生在 利用变式工具作图的过程中理解“互 相垂直”的本质特征。再如，在认识 梯形的教学中，教师要注意提供不同 的梯形：两条平行边上下竖着的梯形、 两条平行边斜着的梯形、两条腰斜向 同一方向的梯形等，这样的变式练习， 使学生认识到梯形的本质是“只有一 组对边平行的四边形”，帮助学生加深 对梯形概念的理解。
(四)信息技术，突破几何概念 理解难点
有些几何概念是教师用语言不能准确描述清楚的，例如，“无限延 长”“多边形的边数切割越多越接近 圆”，需要学生有较强的逻辑推理能 力、空间想象能力，而这恰恰是小学 生所欠缺的。要使学生真正理解这些 抽象性的概念，就需要信息技术这 样一座桥梁。信息技术融文字、图 像、声音、动画于一体，把抽象的几 何术语概念转换成直观形象的可视画 面，使单调静态的知识转化成丰富动 态的图像，调动学生视觉、听觉等多 种感官参加到学习过程中，激发学生 的学习兴趣，有效提升教学效果。例 如，“圆”这个单元中，可以有多处 用信息技术辅助教学。“车轮为什么 是圆的 ?”教师用语言解释很难让学 生理解，用 flash 动画设计车轮是正 方形、三角形、椭圆、圆形的车辆比 赛，再从几个图形的中心点到各边连 线，可以直观地看出因为“圆的半径 都相等”，圆形车轮行驶平稳。推导圆 的周长公式，如果让学生讨论、测量、 自主探究周长和直径的倍数关系，看 似热闹的课堂却因为学生操作中的种 种原因结果误差较大，既费时效果又 不佳。如果用动画设计大小不同的圆 在直尺上滚动一周，学生记录数据再 自主算出圆周率，就会让费时的操作 过程直观方便地呈现出来，学生反而 印象更深刻。推导圆的面积公式，用 动画把圆均分成 16、32、64 甚至更多 等份，拼接成近似长方形，可以直观 看出分的等份越多，拼成的图形越接 近长方形，这样演示比教师用教具演 示，学生更能理解接受。再如“钟面 上分针针尖走的长度、分针扫过的面 积”等，信息技术的演示比教师空洞 的语言、手绘图要方便省时易理解。
二、融会贯通，丰富概念
教学实践中发现：学生对于分散 的、不同学段学习的知识点往往容易 混淆、遗忘。因此在学习了一些关联 的知识点后，教师要注意沟通几何图 形的内在联系，注意知识的综合运用，及时对新旧知识进行整理、归纳，由 点及面，形成知识链，让学生能温故 知新、触类旁通，构建几何概念网络 架构体系。
(一)比较异同，精确辨析概念
俗话说“有比较才有鉴别”，教 师有意识地组织学生比较相类似的几 何图形，能有效引导学生发现相近的 几何概念的相同点和不同点。在几何 形体知识中，存在很多相近的概念， 有些概念的文字描述类似，有些概念 的内在特征相近，随着学生学习的知 识面越来越广，相关联的概念就很容 易发生混淆。因此，对于相近的几个 概念，教师要引导学生运用观察、比 较、分析的方法，厘清概念之间的 “异同点”、把握概念之间的“易混淆 点”，促进学生对概念的精确、精准的 辨析。比如，总结“长方形”“正方 形”“平行四边形”“梯形”等概念时， 教师要有意识地给学生提供大量几何 图形，让学生在观察的基础上，抽象 出图形特征，并引导学生讨论比较它 们的异同点，如对边的关系、四个角 的特点等，使学生在比较中进一步明 确这些概念的本质特征。
(二)揭示联系，理解内化概念
教师在教学中要根据学生对几何 知识的认知规律，及时沟通知识间的 内在联系，总结归纳出同类别知识间 的本质特征，促进学生沟通、内化知 识，在头脑中形成几何知识的整体形 象，形成一定的空间观念。比如，学 生认识了“锐角三角形”“直角三角 形”“钝角三角形”的概念特征后，教 师要引导学生观察发现“三角形至少 有两个锐角”这一内在共同特征，结 合“三角形的内角和是 180°”，就可 以判断某一三角形按角分是什么三角 形。如：三角形中最大的角是锐角， 是什么三角形?三角形中两个角的和 小于第三个角，是什么三角形?三角 形中两个角的和等于第三个角，是什 么三角形?这样加强几何概念的内在 联系，促使学生准确理解掌握这些概念的本质特征。对于六年级容积的概 念“容器所能容纳物体的体积”，教学 时如果停留在对教材提供的文字内容 的解读分析上，学生的理解一定是肤 浅模糊的。教师可以设计这样的教学 环节，即把大小不同的两个杯子装满 沙子并倒出，比较两堆沙子体积的大 小，引导学生认识杯子里空间的大小 就是容器的容积，经历体积到容积两 个概念的同化过程。
(三)巧用图式，建立概念网络
建构主义认为，学习活动不应该 是简单地由教师传递知识、学生被动 地接收，而应是学生依据自身已有的 知识和经验主动建构的过程。无论多 复杂的几何概念都是由具有关联性的 若干个几何概念联系而成，几何图式 以可感知化、视觉化形式阐明“某一 知识领域几何概念是如何产生、关联 的”，简单、明了地表征“几何概念” 包括的“词汇”“图像”“逻辑”等的 联系，帮助学生在头脑中形成清晰的 图形概念，促进学生有效地学习。教 师要帮助学生把相关的概念分类整理， 借助几何图式表示出来，例如，在学 习了常见的几种四边形后，教师可以 提供给学生一些概念的关键片段—— 四边形、两组对边平行、只有一组对 边平行、四个角是直角、四条边相 等，选择其中的几个关联片段，画出 相关图形，并说出这些图形的几何特 征。根据四边形、平行四边形、长方 形、正方形之间的关系，锐角三角形、 直角三角形、钝角三角形的关系，三 角形、等腰三角形、等边三角形的关 系等，引导学生能用自己的方式比如 韦恩图等表示相关概念关系，让学生 将已学的概念迁移到新概念的学习中， 有助于学生形成清晰的概念网络。
三、实践应用，深化概念
心理学研究表明，学生空间观念 的建立一般是多种感官协同作用的结 果。小学生的思维方式以直观动作性 思维、具体形象性思维为主，因此在小学数学课堂教学中，教师应当注重 引导学生经历剪、拼、折、量、画等 相关的操作，充分调动学生的多种感 官共同参与活动，形成观察、分析、 比较、推理、概括等多向度的身心共 同在场的实践状态，认识图形的特征， 建立几何概念，形成一定的空间观念。 例如，在“圆的认识”教学中，可以 设计一组具有操作性、递进式的动手 实践练习：①一张圆形纸片，你能准 确地找到它的圆心吗? ②一张圆形纸 片，不小心被撕掉了一部分，你能准 确地找到它的圆心并量出半径、直径 的长度吗? ③如何准确地找到一元硬 币的圆心并量出半径、直径的长度? 这样一组由易到难的操作活动，促使 学生对圆的本质特征有了进一步的 理解。
总之，几何概念教学要达到培养 学生的空间观念、发展综合思维能力、 促进学生空间思维的发展的目标。教 学中，教师要注意分析不同学段学生 的具体学情，包括认知特点、认知倾 向、认知风格，进而选择有效的教学 法，使学生在观察、探究、归纳、实 践等学习过程中深入感知理解概念本 质特征，引导学生加强概念间的联系， 形成几何概念的网络体系，以此培养 和增强学生的空间观念，才能取得良 好的教学效果。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部 . 义务 教育数学课程标准(2020 年版)[S] . 北京：人民教育出版社，2011 ：5.
[2] 顾泠沅 . 青浦实验启示录 [M]. 上海：上海教育出版社，1999 ：109.
[3] 李善良 . 数学概念学习中的错 误分析 [J]. 数学教育学报，2002.11 (03)：6.
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