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摘 要
本文赏析特级教师朱国荣的“圆柱的解决问题”一课。朱老师借助圆柱形体，让学生感悟“倒过来”的转化;借助斜截圆柱， 让学生感悟“倍拼”的转化;借助三角形面积，让学生感悟“添补”的转化。
[ 关键词 ] 圆柱问题,转化思想,教学赏析
素养导向和能力立意的数学课堂不仅要关注基础知识 和基本技能的教学，更要关注基本思想和基本活动经验， 发展学生的“四能”和“三会”。本文赏析了朱国荣的“圆 柱的解决问题”一课，他借助生活情境特级教师，让学生 提出问题并体会“倒过来”的转化;借助计算斜截圆柱的 体积，让学生想到“倍拼”的转化;借助计算三角形的面 积，让学生感悟“添补”的转化。整节数学课，从一个问 题引出一类问题，让学生在知识的前后联系中感悟转化思 想的应用。
【教学片段】
片段一：借助圆柱形体，感悟“倒过来”的转化
1. 借助生活情境，提出数学问题
师： 今天朱老师带了一瓶水，原来水是满的。现在有 点渴了，我要喝几口。看了这个情境后，你觉得可以解决 哪些数学问题?
(有的学生说“还剩多少水”，有的学生说“喝了多少 水”，有的学生说“一共多少水”。)
师： 你觉得在这三个问题中哪个问题最容易解决?
生 1: 一共有多少水。
生 2: 还剩多少水容易解决。一共多少水和喝了多少 水，上面是一个有点像圆锥的不规则图形，不好算。
师： 如果要求还剩多少水，要知道什么?
生： 要知道这个水杯的底面直径和现在水的高度。
2. “倒过来”转化，计算不规则图形
师： 要求一共多少水，朱老师喝了多少水是个关键问 题，谁有想法?
(有的学生说：“先做一个记号，把水给灌满，再把水倒进一个规则的容器里或者量杯里，就能算出来”;有的学 生说：“不规则图形我们是算不了的，所以我们把它倒过 来。下面就是一个圆柱体，我们知道圆柱体体积怎么求， 所以就可以算出喝了多少水。”)
师： 当我们遇到不规则图形的时候，可以把它转化为 规则图形。(教师实物演示。)你怎么知道它们的形状变了， 体积是不变的?
生： 这个瓶子总体积是不变的，剩下的水也是不变的， 所以倒过来之后喝了的水也是不变的。
师： 用一个巧妙的办法把不规则图形转化为规则的圆 柱体了。(出示题目：一瓶装满的矿泉水，朱老师喝了一 些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高 10 厘米，内直径 是 6 厘米。朱老师喝了多少水?) 同学们，列式计算并写上 答案。
生： π 乘 6/2 的平方等于 9π，再乘 10 等于 90π 立 方厘米，90π 立方厘米等于 90π 毫升。
师： (出示题目：一个内直径是 8 厘米的瓶子里，水的 高度是 7 厘米，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形， 高度是 18 厘米。这个瓶子的容积是多少?)同学们，先独 立思考，再两人交流一下怎样做最简捷。
生： 先求高是 7 厘米的，再求高是 18 厘米的，最后把 它们合起来。π 乘 8/2 的平方，再乘 7 加 18 的和，等于 400π 立方厘米，400π 立方厘米等于 400π 毫升。
3. “倒过来”转化，寻找前后知识联系
师： 同学们，我们用“倒过来”的方法把不规则图形 变成规则图形。在以前的学习中，“倒过来”的方法碰到 过吗?
生： 我记得以前学正方体体积的时候，把不规则物体 放在水里，看它水面上升的高度乘它的底面积。
师： 如果是这样的橡皮泥或者泥，当我们无法计算它 的体积时，我们可以把它放到一个量杯里，一下子看出这 个梨的体积是 250 立方厘米。
片段二：借助斜截圆柱，感悟“倍拼”的转化
1. 自主探索，发现斜截圆柱的转化
师： 上星期我到一个画室看到很多同学在画素描，然 后我看到有一位同学画了一个圆柱，另外一位同学在画这 样一个物体(出示图片)。作为一个数学老师，我想两个问 题，你们猜猜我想哪两个问题?
生： 体积怎么算?表面积怎么算?
师： 这是我想的第二个问题，我还在想左边叫圆柱， 右边叫什么?我回来后问美术老师他不知道，然后我查了 一下，它叫斜截圆柱。观察一下，你能想办法求它的体积 吗?四人小组交流一下。
生 1: 把斜截圆柱放到容器里，看水上升的体积。
生 2: 再弄一个和它完全一样的斜截圆柱，然后把它们 叠起来，拼成一个完整的圆柱。先算出圆柱的体积，再除 以 2.
师： 我们算这个完整圆柱需要知道底面直径和高，底 面直径可以量出来，它的高怎么算?
生： 把最短的一边和最高一边加起来，就是这个完整 的圆柱的高。
生 3: 可以先求出 1 立方厘米的木头有多少重，然后用 这个斜切圆柱的重量去除以那 1 立方厘米的重量，就知道 它有多少立方厘米。
生 4: 把斜截圆柱上面这一段切掉，下面是一个圆柱， 上面再补一个跟它完全一样的图形，除以 2 就能算出上面 部分，再加上下面的圆柱。
生 5: 沿着最低点和最高点的中间划一刀，拼成一个圆 柱。这个圆柱的高是最高加最低除以 2.
2. 独立思考，计算斜截圆柱的体积
师： 看来你们的方法可不少，这个斜截圆柱底面直径 是 10 厘米，最高点是 12 厘米，最低点是 8 厘米，你们自 己选一个方法算出它的体积。
生： π 乘 10/2 的平方，再乘 8 加 12 的和，再除以 2 等于 250π 立方厘米。
师： 猜一猜他是用哪种方法计算的?
生： 他是把两个完全一样的斜截圆柱拼成一个完整的 圆柱体，再除以 2.算出一个斜截圆柱的体积。π 乘 10/2 的平方是这个圆柱体的底面积，8 加 12 的和是这个圆柱体 的高。
3. “倍拼”转化，寻找前后知识联系
师： 同学们，刚才我们算这个斜接圆柱体积的时候，转化方法是找一个完全一样的图形拼成新图形。在小学阶 段学过的数学里，你回忆一下有没有碰到过这样的“倍拼” 转化?
生 1: 我们学梯形的面积的时候是把两个完全梯形拼起 来，这个梯形可能是一个正方形、一个平行四边形或者是 一个长方形。
生 2: 我们学三角形面积的时候，把两个完全一样的三 角形拼起来变成正方形、长方形或者平行四边形，把它们 除以 2 就是三角形的面积了。
片段三：借助三角形面积，感悟“添补”的转化
1. 独立思考，计算三角形面积
师： 同学们，如果你的学习过程留下的只是面积公式， 你的数学是学不好的，你还要学会转化的方法。求三角形 的面积，你会计算吗?试一试吧。
生 1: 我把三角形分成两个上下三角形，上面三角形的 高是 2 厘米，底是 4 厘米;下面三角形的高是 4 厘米，底 是 4 厘米。这个三角形的面积是 4×4÷2 + 4×2÷2=12(平 方厘米)。
生 2: 这样做是不对的，这条底不是 4 厘米，比 4 厘米要长一些。我是这样做的：我在三角形的外面框了一个正方形，用正方形的面积减去 3 个三角形的面积就是这个三角形的面积。3 个三角形的面积分别是 6×2÷2=6(平方厘米)，4×1÷2=2(平方厘米)， 5×6÷2=15(平方厘米)，所以中间三角形面积是 6×6 - (15 + 6 + 2)=13(平方厘米)。
生 3: 我们可以框出一个梯形，用梯形的面积减去 2 个三角形的面积。梯形面积是(1 + 6) ×6÷2=21(平方 厘米)，2 个三角形的面积分别是 2×6÷2=6(平方厘米)， 4×1÷2=2(平方厘米)，所以中间三角形面积是 21 - 6 - 2=13(平方厘米)。
2. 跨界领域，寻找各种转化方法
师： 我们今天学习了转化的解决问题的策略，转化 的方法是多种多样的，比如，把瓶子倒过来，拼一个完 全一样的图形，把它补成一个新图形等。在计算中我们也经常用到转化，小数乘小数我们把它转化为整数乘整数，异分母分数加减法我们把它转化为同分母分数再计算。你还想到 什么?
生： 我们简便计算 99 乘 99 的时猴，把 99 看成 100 来计算。
师： 转化在数学中到处都是。你能用转化方法求阴影 部分的面积吗?
【教学赏析】
朱老师在这节课中的教学理念深深点醒了我，我们不 仅要让学生获得基础知识和基本技能，更要发展学生的数 学核心素养。
一、获得数学思想方法，形成数学核心素养
《义务教育数学课程标准(2022 年版)》中指出：学生 的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手 实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。学 生获得数学活动经验和形成数学核心素养需要教师在平时 的数学课堂上日积月累地渗透，比如，在教长度单位、面 积单位和体积单位这类课时，要让学生在动手操作中形成 长度单位、面积单位和体积单位的概念，发展他们的量感; 又如要在教学平行四边形、三角形和梯形面积计算这类课 时，让学生通过丰富的操作活动，体会和运用转化的思想 方法，获得转化的基本活动经验。
这样，学生才会在这节 “圆柱的解决问题”中想到不 同的解决问题的方法，串联起前后知识的不同转化方法， 实现活学活用的效果。
二、鼓励学生独立思考，延长学生思考时间
数学学习是学生个体利用已有知识和生活经验去探索 和解决未知问题的过程，不仅能帮助他们发现解决问题过 程中的不足，还能让他们感受到解决数学问题的成功感。 在数学学习过程中，教师要舍得花时间让学生安静地思考， 学会从不同角度寻找问题的正确答案，不应该过早地给予 提示，阻碍他们的思考。
在朱老师的数学课上，他出示题目问题后先让学生安 静地读题，理解题目的意思和要求;再给予学生充分的时 间让他们思考，独立完成解题过程;最后是全班汇报，当汇报过程中学生出现歧义时，他会组织学生四人小组交流 自己的想法，从他人的解题思路中寻求启发。这样，当学 生在独立作业或单元测试时，他们才会静下心来独立思考， 从不同角度的思考中想到正确的解题方向。
三、减少重复机械训练，创设新的问题情境
“熟能生巧”是指学生经常面对同样情境的题目时会非 常熟练，提高了这类题的解题速度和正确率;但“熟能生 笨”是指学生面对同样的题目时，他们只是凭借记忆解题， 缺乏了新的思考和探索。在朱老师的数学课堂上，他围绕 转化思想，创设了各种丰富的情境，利用不同的题目串联 起了倒过来、倍拼、添补等不同的转化方法，还从“空间 与图形”领域跨界到“数与代数”领域，帮助学生整体把 握数学知识的结构。
总之，朱老师创设了具有真实性、挑战性和复杂性的 任务情境，让每个学生都享受安静的思考时光，经历了最 初的“想不到”到中期的“想错了”到最后的“想对了” 的过程，他们或通过自己的思考解决一类题，形成数学思 想方法和数学活动经验;或在他人的分享中突然顿悟，找 到自己“想不到”或“想错了”的问题根源，修正和完善 自己思考过程中的知识漏洞。
参考文献：
[1] 苏芹 . “圆柱的体积计算公式及其应用”教材简析 与教学建议 [J]. 小学数学教育，2021(Z2)：84-86.
[2] 曹海娟 . 多元建构，让思维渐次深入—— “圆柱解 决问题”教学实践与思考 [J]. 小学数学教师，2018(01)： 36-40.
[3] 朱丽红 . 关注核心内容让数学复习课增值—— 以苏 教版六下《圆柱和圆锥的整理与复习》的教学为例 [J]. 江 苏教育，2019(49)：54-56.
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