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摘 要
依照新课标要求，教师使用教材传授知识是最基本的教学思想，利用教材中的例题和习题组织学生展开教学活动则是课堂教 学的基本形式。变式教学近年来颇受教师们的好评，很多教师应用变式教学得到了满意的教学成效，为此，将变式教学与习题课 联系起来有助于学生把握新知的本质，感受数学规律，提高学生的数学思想，进而发展学生的数学素养。因此，下文以人教 A 版 高中数学“函数的概念与基本性质”习题课为例，分析开展变式教学的教学方法。
[ 关键词 ]高中数学,变式教学,习题课
在高中数学人教 A 版的教材中，“函数的概念与基本 性质”是函数部分的基础内容，学生在此之前已经掌握了 有关运算与集合的表示，教师在讲解中需以集合含义及其 发展为基础进行函数概念的教学，这有助于为学生研究函 数性质，利用函数求解实际问题打好基础。函数的抽象性 较强，特别是在描述变量间的关系时，如果要想升华到集 合论的描述中，还需要学生在函数学习中多实践多思考， 累积经验。为此，在本节习题课的讲解中，教师采用变式 教学，利用变式将函数的本质挖掘出来，以在引导学生探 究、交流的过程中培养学生的数学函数思想，发展学生的 数学素养。
一、课标解读
学习高中函数概念及性质的目的就是让学生建构函数 知识体系，构建函数概念，从而促使学生从变量变化的对 应关系上升到集合的集合论描述中，引导学生从直观感知 过渡到抽象思考和归纳的能力上来。通过函数学习，促使 学生学会借助代数运算及函数图像分析函数的性质特征， 同时正确应用函数性质构建合理的函数模型求解函数问题。
二、学情分析
该阶段的学生已经学习了何谓集合、集合的表达方法、 集合与集合、集合与元素之间存在的基本关系，能够独立 完成集合间的交并补混合运算，对数学思想中的化归以及 转化思想都有了一定的基础，还可以借助分类讨论或数形 结合的方式处理解决集合问题。
三、教材分析
高中数学学习中函数属于主线内容，从其基础概念到 性质特征，最后到函数的应用都是高中时期学生需要攻克 的主要数学知识。同时，函数在建构数学知识体系，完善 数学思想方面起到了重要的引领作用，其地位可谓十分重 要。所以，学生是否能够掌握函数的基本概念，领悟函数 的性质特征关系到学生的数学素养发展以及能力水平是否 牢固。在学习了函数的概念与基本性质后，学生还会学习 到函数模型、各种深层次的函数内容，这都要求学生做好 函数相关的基础学习，由此可见，本节课中的知识点对学 生后期的函数学习是十分关键的。
四、教学设计
(一)教学目标
通过上述分析，文章将高中数学人教 A 版“函数的概 念与基本性质”的教学目标明确分为以下五点：能够使用 数学语言进行函数概念的基本描述;明确函数三要素，同 时能够求解出函数的解析表达式，准确回答函数表达式较 为简单的定义域与值域;能够使用函数定义对一般函数的 奇偶性以及单调性进行准确的判断;能够利用函数的特性 求解基础的函数抽象问题;体会分段函数的实质，能够求 解函数值，并在坐标系上画出简单的函数图像。
(二)教学重点
(1)理解并领悟函数的基本概念和其表达方法。
(2)掌握并熟练应用函数的奇偶性与单调性。
(3)能够准确处理分段函数，掌握分段函数的实质。
(三)教学难点
(1)独立完成函数奇偶性与单调性的证明。
(2)能够利用函数的性质解决数学实际应用问题。
五、教法分析
本课采用的教学方法为变式教学，首先要联系学生的 实际学情，根据经典函数习题结合教学目标做合理的变式， 同时向学生下达任务，增加任务驱动型教学模式，突出学 生在课堂中的主体地位，锻炼学生独立思考，合作交流， 进而实现数学能力的有效提升，促使学生真正理解并掌握 函数的概念与性质，并能够熟练解决应用型问题。
六、教学过程
在函数学习中，函数的奇偶性属于此部分内容的基础 知识。教师在依据区间理论进行原题变式的过程中要结合 学生对当前知识的理解和认识，结合练习教材中的例题为 学生们做最好的变式。本节课教师共准备了两个基础性问 题，由这两个问题进行变式教学。首先第一个问题为人教 A 版高中数学教材必修一中的练习题。原题内容是：已知 函数 f (x)为偶函数，且在(0.+ ∞)为减函数，需对函 数 f (x)在(- ∞，0)上的函数单调性进行判断，并证明。
分析：该题属于教材练习题中具有探究性的问题，通 过对此题进行求解可以促使学生掌握并总结数学思想方法， 有助于学生函数知识体系的建构。此问题中考查了函数单 调性与奇偶性的证明方法，难度系数较低，有利于深化函 数基本概念。
变式 1：f (x) 在(- ∞，0) 上为单调递减函数，在(0. + ∞) 为单调递增函数，请判断函数 f (x) 的奇偶性。
设计意图：变式 1 应用的是逆向变式，这是为了提高 学生们的辩证思维，强化学生对函数性质的理解与记忆， 锻炼学生辨别命题的真假，引导学生通过具象化的函数图 像得出抽象的数学结论或性质。
变式 2 ：函数 f (x)为奇函数，已知该函数在(0. + ∞) 是增函数，请判断函数 f (x) 在(- ∞，0) 区间的单 调性。
设计意图：变式 2 通过改变条件进行了问题的变式， 这有利于学生在探究过程中进一步掌握函数单调性与奇偶 性之间存在的逻辑关系。教师在讲解此题的时候可以借助 典型函数为例，引导学生从特殊到一般、从具象到抽象的 思维发展过程，进而完成变式 2 的回答。
变式 3：已知函数 f (x) 为偶函数，该函数在(- ∞，0) 上减函数，请判断函数 f (x) 在(0.+ ∞) 时函数的增减性。
设计意图：此变式主要采用的是类比变式，将原题进 行了简单的拓展，并改变了其中的已知条件，但是在求解 问题的方法和思想上都是一样的。
变式 4 ：函数 f (x)的定义域为 R，其在定义域上为 偶函数，已知 f (4)<f(3) <0，那么请对 f (7)与 f (8)、f (-5)与 f (-3) 的大小关系进行判断。
设计意图：本题考查的是学生利用函数的奇偶性进行 问题的求解，其目的在于强化学生对函数性质的理解与应 用，进而通过问题的分析，提高对函数单调性及其函数值 间的逻辑关系认识。
变式 5：偶函数在对称区间中，其单调性是相同的， 请判断这句话的真伪并进行证明。
设计意图：该变式属于数学变式中的一般化变式，通 过用命题的形式提出问题，并引导学生进行证明，目的就 是让学生在探究数学函数性质的时候，能够进行有效的总 结，并从特殊到一般，强化学生的数学语言，提高学生 的逻辑思维能力，帮助学生透过问题看清函数的本质。
变式 6：(1) 现已知某个偶函数 f (x)在 [m，n] 上为 增函数，请思考：该函数在 [-n，-m] 上时，函数为增函 数还是减函数呢？ (2)现已知，某个奇函数 g (x)在 [m， n] 上为减函数，请思考：该函数在 [-n，-m] 上时，函数 为增函数？还是减函数呢？
设计意图：变式 6 是在变式 5 的基础上做出的调整， 变式 5 是将区间问题以抽象化的命题形式做出阐述，而变 式 6 则是在此基础上对变式 5 进行的一般化解释及描述， 学生在变式 5 的问题分析中如果出现了思维困惑，有不理 解的地方，教师可以引导学生试着求解变式 6，经过这样 的变式求解练习，学生们对区间的认识也能够更加透彻。
其次，教师仍旧从教材的课后习题中挑选一道，进行 变式教学。原题为：已知函数 f (x)的定义域为 R，该函 数在定义域上为奇函数， 当 x ≥ 0 时，f(x)=x(1+x)， 请将函数 f(x)的图像画出来，同时求解函数的表达式。
分析：此题的难度系数较低，主要考查的是学生对函 数奇偶性的掌握以及学生的抽象思维能力。
变式 1：已知函数 f (x)的定义域为 R，该函数在定 义域上为奇函数，当 x ≥ 0 时，f (x)=x (x-2)，请求解 函数 f (x) 的表达式。
变式 2 ：已知函数 f (x)的定义域为 R，该函数在定 义域上为偶函数，当 x ≥ 0 时，f (x)=x (2+x)，请将函 数 f(x)的图像画出来，同时求解函数的表达式。
设计意图：变式 1 与 2 分别是改变了条件与结论，应 用了类比变式，其变式目的就是考查学生对分段函数奇偶性的掌握情况。
设计意图：此变式可充分锻炼学生的逆向思维，同时 也能够引导学生在对函数奇偶性进行判断的过程中，应用数学结合思想，在图像的帮助下顺利完成分段函数的问题 探讨与分析，进而获得问题的答案。
在此教师可以适当增加一些小组和探究性活动，让学 生尝试练习对问题进行变式，并引导学生在变式练习中与 同学们进行交流与探讨，充分调动学生的自主学习意识， 激发学生的创造精神。例如，变式 5 就是学生独立设计的 变式问题。
变式 5：函数 f(x) 的定义域为 R，其定义域上为奇函 数， 当x ≤ 0 时，f(x)=x(1+x)，请将函数 f(x) 的图像画 出来，同时求解函数的表达式。
设计意图：学生的变式设计通常都是基于平时的练习 和学习过程，这有助于激发学生的类比思维，进而设计出 变式题目，尽管变式 5 的内容设计得并不是十分新颖，但 是足以说明学生已经掌握了该知识点，能够从不同角度入 手分析问题，提出问题。
变式 6 ：函数 f(x) 的定义域为R，其定义域上为偶函 数， 当x ≥ 0 时，f(x)=x(x-1)，如果方程中 f(x)-m=0 只存在一个实数根，那么，m 应当满足的取值范围是 什么？
设计意图：在函数的学习中，学生不仅要学会利用图 像求解函数解析式，也要能够采用数学转化思想将函数同 方程之间联系起来。通过函数解析式完善函数图像，再借 助函数图像去分析函数同直线之间的关系，找到函数与该 直线的交点。由此让学生懂得，在代数学习中，函数和方 程实际上属于并存关系。为此，上述变式可谓是原题的类 比变式。
变式 7：现已知某函数 f(x) 的定义域为 R，其定义 域上为奇函数，当 x ≤ 0 的时候，f(x)=x(x-1)， 如 果 xf(x)-mx=0 有且仅有一个实数根，那么，m应当满足的 取值范围是什么？
设计意图：该变式属于变式 6 的拓展变式，题干中将 方程的抽象化难度加深，使学生在思考和求解时更要注重 整体思维的发挥。拓展变式后的问题所考查的学生能力和 数学思想更为综合，对于学生数学运算能力以及推理思维 能力也起到了锻炼作用。
变式 8：已知某函数 f(x) 的定义域为 R，其定义域上 为奇函数，当 x ≥ 0 时，f(x)=x(x-1)， 如果 xf(x)-mx=0 有且仅有一个实数根，那么，m应当满足的取值范围是 什么？
变式 9 ：已知某函数数 f(x) 的定义域为 R，其定义 域上为奇函数，当 x ≥ 0 时，f(x)=x(x-1)， 如果 xf(x)- mx2=0 存在两个实数根，那么，m应当满足的取值范围是 什么？
设计意图：变式 8 与变式 9 的难度又一次提升，这次的变式使得数学问题本质被充分凸显出来，能够让学生发 现在问题变化中所不变的数学元素，能够加强学生对数学 思想方法的应用和对知识的灵活掌握能力。
最后，教师要组织学生以小组为单位，针对函数奇偶 性创设问题进行交流探讨。如果课堂时间允许，教师也可 以要求学生结合上两次的变式练习，将函数图像绘制在直 角坐标系中，从而发现每次教师所提出的变式问题与原题 之间存在的异同点，找到设计变式问题的技巧，进而在组 内设计问题时创新出合理的函数问题。另外，在讨论中， 由于融入了图像分析法，学生对函数奇偶性的理解能力有 了进一步的提升，从图像过渡到数学字母的文字分析中， 以充分锻炼学生的抽象逻辑思维能力。
七、教学反思
本次习题课教学主要的目的就是让学生能够对函数的 奇偶性，以及函数图像在单调区间中的一般规律有进一步 掌握，同时也对分段函数的问题处理能力与方法有所提升。 此次教学目标明确，教学素材均源于教材，在变式教学与 传统教学相结合的情况下，成功帮助学生拓展了函数理论 与意义，巩固了函数知识，充分突出学生在课堂中的主体 地位，促使学生的函数思想得到了进一步的发展。另外， 教师在本节课教学末期可结合各小组所设计的函数问题进 行调整和改进，并以课后作业的形式安排下去。同时针对 分段函数的奇偶性判断问题，教师也可以将此作为课下讨 论的一个话题，要求学生在下节课上将小组讨论的成果做 分享，以此促使学生在课下及时巩固课上新知，强化学生 记忆，保证教学质量。
八、结语
在高中数学教学中，习题课可以帮助学生强化新知记 忆，解决学生的理解问题。由于课堂教学时间受限，教师 不能采用题海战术一味地让学生提高解题技巧，教师应当 明确习题课的教学目标，并以强化学生数学基础知识为主， 设置教学活动。通过经典问题与变式教学相结合，促使学 生挖掘数学问题的实质，重视学生数学思想方法的培养， 鼓励学生大胆尝试，提高学生的辩证思维，激活学生的学 习动力，最终使学生的数学素养得到发展。
参考文献：
[1] 土钟敬 . 对比分析高中数学新旧教材习题形式、功 能及价值取向 [J]. 中学数学，2020(19):16-17.
[2] 许树森 . 习题变式教学在高中数学课堂中的有效应 用 [J]. 数学教学通讯，2020(30):37-38.
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