巧用等和线解决向量双变量问题论文

 

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　　摘要:平面向量的线性运算、向量共线以及以向量为背景的最值问题是近几年高考考查的重点和热点.本文通过探究双变量问题的多种解法,体验等和线定理应用的简洁性、高效性.

　　关键词:平面向量;等和线定理;双变量

　　在解决两个向量的系数之和、线性关系式与最值(取值范围)问题时,利用向量等和线求解比常规方法更显优势.此类问题的源头可以追溯到教材向量部分的例习题编写,基于此,研究者们开展一系列探索与研究.吴莉娜(2021年)从人教版和苏教版例习题出发,通过一系列变式问题层层深入探究,发现利用等和线结论可以巧妙地将复杂的求值、最值等一系列代数和问题转化为几何图形问题,将具体的代数式运算转化为距离的长度比例问题.杨瑞强(2022年)通过对普通高中教科书《数学》必修第二册第26页例1的深入探究与扩展,给出“等和线”的概念和重要性质,同时分类阐述利用“等和线”法解决几类常见的平面向量线性运算的系数和(线性关系式)、最值(取值范围)等题型,并指出了解题的关键步骤.杨德扬(2020年)、张玉虎(2019年)则主要研究等和线在求解系数和这一类问题中的应用,展现了等和线应用的简洁与高效.

　　1　追本溯源—等和线定理

　　1.1　三点共线定理

　　定理　已知,是两个不平行的向量,设= ,则A,B,Q三点共线的充要条件为m+n=1.

　　本文所涉及的双变量指的是,两个向量前面的系数m,n,而双变量问题的本质是利用等和线求解am+bn(a,b∈R)的值及范围.

　　1.2　等和线

　　平面内一组基底,以及任一向量,且= ,若点Q在直线AB上或者在平行于AB的直线上,则m+n=l(l为定值),反之亦成立,我们将直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.特作以下说明:定值l的变化与等和线到点P的距离成正比.
 

　　2　等和线定理的应用

　　2.1　拨云见日—求两变量的系数和

　　例1　如图1,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,M,N分别是线段BC,CD上的点,且满足+=1,若,则x+y的最小值为_____.
 

图1　　　　　　图2　　　　　　图3

　　解法1　(常规解法)建立如图2的坐标系,A(0,0),B(3,0),C(3,4),D(0,4),设M(3,a),N(b,4),.

　　因为=则
 

　　化简,得a=,b=

　　又因为+=1,
 

　　则有+=1.
 

　　再将a,b的值代入化简,得

　　+=(x+y-1)2.
 

　　现假设有x+y=m,则x=y-m.

　　代入上式化简,得

　　25y2-18my+9m2-144(m-1)2=0.

　　有Δ=24m2-50m+250≥0,解得m≥或m≤(舍去).

　　故x+y的最小值为.

　　解法2　(等和线法)如图3,连接MN与AC交于点E,AC=5.

　　因为+=1,则有

　　CM2+CN2=CM2·CN2=MN2.

　　即CM·CN=MN.

　　由ΔMCN的面积可得:点C到MN的距离为1,则有AE≤4.由等和线定理可以得出:=过点C的等和线l与点A之间的距离d1
 

　　点A到等和线MN的距离d2.

　　因为平行线间对应线段成比例,则x+y=.

　　当MN⊥AC时,AEmax=4,故x+y的最小值为.

　　例2　(2009年安徽卷改编)如图4,在△ABC中,∠ACB=120°,若点P为△ABC外接圆的圆心,设=m+n,则m+n的最小值为____.
 

图4　　　　　图5

　　解法1　(常规解法)因为∠ACB=120°,所以∠APB=120°.

　　因为,对其两边取平方,得 .即有 1 = m2  + n2  - mn.

　　令m+n=t(t>1),将上式化简,得

　　(m+n)2-3mn-1=0.

　　再根据基本不等式mn≤()2,
 

　　可得不等式t2-3·-1≥0.

　　即t≥2或t≤-2.则m+n最小值为2.

　　解法2　(等和线法)如图5,过点P作线段AB的垂线,并与AB交于点D.

　　因为∠ACB=120°,所以∠APB=120°.

　　又因为PA=PB,所以∠PBA=30°,PD=PB.
 

　　由等和线定理,得

　　（m+n）／１＝过点C的等和线与点P之间的距离d1／1点P到等和线AB的距离d2.

　　因为PD是定值,则当PC⊥AB(PC=PB)时,m+n最小值为2.

　　2.2　延伸扩展—求两变量的线性关系式

　　例3　如图6,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P为矩形内(不包括边界)一点,且AP=1.若,则3x+2y的取值范围为_____.
 

图6　　　　　　图7　　　　　　图8

　　解法1　(常规解法)建立如图7所示坐标系,则有A(0,0),B(3,0),D(0,2),且AP=1.由三角形两边之和大于第三边,可得不等式3x+2y>1.

　　

　　=9x2+4y2

　　=(3x+2y)2-12xy

　　≥(3x+2y)2-(3x+2y)2

　　=(3x+2y)2,

　　因为2=1,则有不等式

　　(3x+2y)2≤1.故3x+2y≤2.

　　综上,1<3x+2y≤2.

　　解法2　(等和线法)如图8,取AB三等分点E,AD中点F,连接EF.由S△AEF可得:点A到直线EF的距离为则

　　根据等和线定理,得

　　当点P位于等和线EF上时,( 3x+2y)min=1;

　　当点P位于平行于EF并与圆相切的等和线l上时,( 3x+2y)max=2.

　　综上,1<3x+2y≤2.

　　观察三个例题的解法,常规解法是通过相关知识构建出二元二次方程,此时较难求出系数之和,这为解题增添了难度.而采用等和线法则是巧妙地将复杂的求值、最值等一系列代数问题转化为几何问题,将具体的代数式运算转化为距离的比值问题,用统一的数学模型解决向量双变量问题,完美地呈现了数学的数形结合之美,也充分体现了等和线解决双变量问题的简洁性、高效性.

　　向量等和线以平面向量基本定理为基础,即一个向量可以用一组不共线的向量表示出来,此时两基底的系数共同决定了第三条向量终点的位置,常用的结论是当系数之和为1时,即三条共起点的向量的终点在同一条直线上.由于高考题中很多向量题目都涉及双变量系数和的问题,在遇到这类问题时,解题大体上可分为以下三个步骤:确定等和线值为1的线(即两个基底的终点所在的直线);平移该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小值;从长度的比值或点的位置两个角度,计算最大值和最小值,如此便求得系数和的范围.

　　而对于求解两个系数的一般线性关系式问题,由于向量可以通过数乘运算将向量进行同向或者反向伸长、压缩,所以所有系数的线性关系式都可以通过改变向量的基底,将所求系数的线性关系式转换为两个新的基底的系数和问题,最后再利用等和线三步骤解决问题.

　　参考文献:

　　[1]吴莉娜.寻问题模型之源挖教材潜在之能[J].数学通报,2021,60(05):41-45.

　　[2]杨瑞强.一道课本例题的探究与拓展—巧用“等和线”妙解向量题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2022(05):36-39.

　　[3]杨德扬.巧用向量等和线求解一类系数和问题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(12):38-39.