导数法在高中数学解题中的有效应用论文

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关键词 :导数法；高中数学；解题方法

导数的概念、性质等相关知识点在高中数学中 具有重要的地位，也成为了学生解答数学习题的有 效辅助工具，能够将复杂的问题简单化，简便学生的 解题流程，实现提高数学成绩的目的. 因此，高中数 学教师要积极采取先进的教学方法，在高中教学中 融入导数法的教学内容，让学生能够利用导数法解 答数学难题.

1 导数分析

导数法在高中数学教学中具有关键性的地位.  导数的概念、性质以及几何意义需要学生熟练掌握， 并进行实际的应用，需要学生明确导数内涵，理解公 式的推导过程，要在数学学习的过程中，灵活运用导 数法，简化解题流程，充分发挥学生的数学思维，将 导数与函数、几何图形、不等式等相关知识进行有效 地融合，真正地将导数法应用到具体的数学生活中.


2 导数在高中数学解题中的有效运用

2. 1 利用导数解决函数单调性问题例 1    已知函数f(x ) ＝ax3    －3x2  ＋1 －，讨论 函数f(x )的单调性.

解析  由题可得 a≠0. 则 f ′(x ) ＝3 ax2  －6x ＝ 3 ax (x －) . 当 a > 0 时，若 3 ax ( x －) > 0，解得x <0或 x >  2   即f ′(x ) > 0. 此时f(x )在( －∞，0)，( ，＋∞ )单调递增. 若 3 ax (x －) < 0，解得 0 < x<  2   即f ′(x ) <0，此时f(x )在( 0， 2  )单调递减.同理，当 a < 0 时，f ( x ) 在 (  ，0) 单 调 递 增，在( －∞，)，(0，＋∞ )单调递减.

使用函数图象解决函数单调性的问题存在一定 的局限性，对于简单的函数可以直接观察函数的图 象进行解决，而对于复杂的函数通过图象难以判断 该函数的单调性，需要具体问题具体分析. 将导数法和数学知识点结合起来，及时解决并计算函数问题，明确函数的单调性，让学生能够在较短的时间内获 得函数单调性的答案.

通过利用导数法，帮助学生用最少的时间获得 最准确的问题答案，从而缩短学生的思考时间，让学 生能够有更多的精力和时间去解决其他问题.

2. 2 求单调区间

例 2    已知函数f(x ) ＝ax  ＋x2  －xlna ( a >0 且 a ≠1)，求函数f(x )的单调区间.

解析  因为f(x ) ＝ax  ＋x2  －xlna，所以f ′(x ) ＝  ax lna＋2x －lna ＝2x ＋ ( ax  －1 ) lna. 令 g(x ) ＝2x ＋  ( ax  －1)lna，因为 a > 0 且 a ≠1，所以 g′(x ) ＝2 ＋  ax (lna )2  >0. 所以f ′(x )在 R 上是增函数. 又因为 f ′(0) ＝0，所以不等式f ′ ( x ) >  0 的解集为 (0，＋ ∞ ) . 故函数f(x )的单调增区间为(0，＋ ∞ )，单调 减区间为 ( －∞，0) .

此外，学生在掌握基础的计算方法后，还可以举 一反三，利用导数法能够有效缩减学生的解题时间， 让学生快速求出答案，解出题目中参数的取值范围.  2. 3 利用单调性求字母取值范围例 3    已知函数f(x ) ＝  －ax，若函数f(x )在
( 1，＋ ∞ )上单调递减，求实数 a 的最小值.

解析  因为f(x ) ＝－ax 在(1，＋ ∞ )上单调 递减，所以f ′(x ) ＝ －a ≤0 在(1，＋ ∞ )上恒 成立，即≤a 在(1，＋ ∞ )上恒成立.

令 t＝lnx，因为 x > 1，所以 t > 0. 则 h ( t ) ＝( t >0) . 则 a ≥h ( t ) max . 因为 h ( t ) max  ＝h (2) ＝ 1   所以 a ≥ . 所以 a 的最小值是 .

2. 4 应用导数解决函数的极值问题

通常情况下，常考的数学极值问题会给出一个 目标函数，并明确该函数的具体区间范围，让学生在 有限的时间内，利用导数法求出该函数在该区间范围内的极值，并计算出在该区间内的具体极大值和极小值，完成数学解题步骤.
例 4   求函数f(x ) ＝x3  －12x 的极值.

解析  函数定义域为 R，f ′(x ) ＝3x2  －12 ＝3(x ＋2) (x－2) .令f ′(x ) ＝0，得 x ＝2 或 x ＝－2.当 x >2 或 x < －2 时，f ′(x ) >0，故函数在( －∞，－2)和(2，＋ ∞ )上单调递增；当－2 < x <2 时，f ′(x ) <0，故函数在(－2，2)上单调递减.

所以当 x ＝－2 时，函数有极大值f(－2) ＝16， 当 x ＝2 时，函数有极小值f(2) ＝－16.

函数极值的概念具有较强的抽象性，学生在实 际理解和运用过程中具有一定的困难. 学生可以灵 活利用导数法，从根本上降低解决函数问题的难度， 明确解题思路，快速地解决函数极值问题.

2. 5 利用导数解决切线问题

函数导数的几何意义是指在函数上某一点的切 线斜率. 学生要掌握基本的求切线的方法，合理地利 用导数思维提高解题的正确率和有效性.

例 5    已知函数f(x ) ＝x ＋( t > 0)和点 P(1， 0)，过点 P 作曲线 y ＝f(x ) 的两条切线 PM，PN，切点分别为 M，N. 设 |MN | ＝g(t )，试求函数 g(t )的表 达式.

解析  设 M，N 两点的横坐标分别为 x 1，x2，由题知，f ′(x ) ＝1 －，所以切线 PM 的方程为y －(x 1  ＋ ) ＝ ( 1 － ) (x－x 1 ) .又切线 PM 过点 P(1，0)，则0 －(x 1  ＋ ) ＝ ( 1 － ) ( 1 －x 1 ) .

即 x   ＋2tx1  －t＝0.同理，由切线 PN 也过点 P(1，0)，得 x   ＋2tx2  －t＝0.|MN| ＝( x 1  －x2 )2 ＋ (x 1  ＋  －x2 －  2 .所以可推导出 g(t ) ＝ 20t2  ＋20t (t >0).

2. 6 利用导数法解决不等式问题

导数也能够有机地解决不等式的相关问题，能 够充分结合学生的生活实际，利用导数法去解决实 际的数学问题，将新旧知识有效结合，培养学生的整 体思维和实践能力.

例 6   x >0 时，求证；x －  － ln (1 ＋x ) <0.

证明  设f(x ) ＝x －  － ln (1 ＋x ) (x > 0)，则f ′(x ) ＝ －  . 因为 x > 0 ，所以f ′(x ) < 0. 故

f(x )在(0 ，＋ ∞ )上单调递减. 所以 x > 0 时，f(x ) < f(0) ＝0 ，即 x >0 时，x －  －ln (1 ＋x ) <0 成立.

综上，高中学生可以有效地将函数与不等式的 相关知识进行有机结合，通过利用导数法让学生在 解题过程中能够举一反三，能够利用多个数学知识 点对问题进行解决，从而让学生的解题思路和解题 方法更加灵活.

3 指导学生用导数法解决函数问题的注意事项

(1)导数的概念是基础，要多理解. 要知道导数 是函数平均变化率的极限值，后边求导公式就是从 概念出发推导出来的.

(2)导数的运算是基本功，要多练习. 常见函数 求导公式必须记熟，导数四则运算法则和复合函数 求导法则要在练习中熟练起来.

(3)导数的应用是落脚点，要注意数形结合. 求 函数单调区间和极值、最值是基本问题，要练熟，稍 微复杂的问题要善于结合函数图象寻找解题思路.

(4)具体解题中还要注意函数定义域等细节问题.

(5)多练习数学习题，明确导数法的使用规则， 掌握数学题型，举一反三.例7    已知{an }是递增数列且 an  ＝n2  ＋bn 对任意 n ∈N ∗ 恒成立，求实数 b 的取值范围.

解析  本题如果采取化离散为连续的解题方法，会使用导数法求解，常常会出现如下做法 :

构造辅 助 函 数f (x ) ＝ x2   ＋ bx ，则 f (x ) 应 在 [1 ，＋ ∞ )上单调递增，即 b≥ －2x 在[1 ，＋ ∞ )上恒 成立，故有 b≥ －2.

上述解答由 {an  } 是递增数列，可断定f(x ) ＝ x2  ＋bx在[1 ，＋ ∞ )上单调递增是错误的.

n 取正整数而 x 是取[1 ，＋ ∞ )上的任意实数，f(x )的对称轴满足 1 <  <1 . 5 就可使{an }单调递增，但f(x )不单调，如图 1 所示 :

所以，本题的正确解法是 : 由 {an  } 单调递增得 an  < an ＋ 1  ，b > －2n －1 对任意 n ∈N 恒成立.

又( －2n －1)max  ＝ －3 ，故有 b > －3 为所求.

在教学过程中 ，高中数学教师要注重导数部分的教学，要在教学过程中综合利用实践法、讨论法等多种方式，让学生能够真正学会导数，明确导数法与其他数学知识的内在联系，真正地提高学生的数学素养，发散学生的思维，从而更好地贯彻素质教育的教学理念 ，提高学生的数学实 践应用能力.

参考文献 :

[1 ] 王旭俐. 导数法在高中数学解题中的有效应用 [J ]. 高中数理化，2021 (S1 ) :5 .

[2 ] 王红梅. 高中数学解题中导数的有效应用[J ]. 高考，2020 (25 ) :13 ＋15 .

[3 ] 吴贤盛. 探讨导数在高中数学解题中的有效应用 [J ]. 中学生数理化( 自主招生)，2020(02) :6.

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