深度学习的数学教学实践初探 — 以互动白板在教学中的实践为例论文

SCI论文（www.lunwensci.com） 关键词 :深度学习；数学教学；互动白板

深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能 够批判性地学习新的思想和事实，并把它们融入原 有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系并迁 移到新的情境中，作出决策和解决问题的学习. 相对 应的(也是传统课堂教学流行方式)浅层学习的认 知水平停留在识记和理解两个层面上，学习者被动 地接受学习内容，对书本知识和教师讲授的内容进 行简单的记忆和复制，但是对其中内容却不求甚解， 这种学习使学生在课后不久就忘记了所学知识. 所 以为了强调学生成绩的提高，势必加强训练，增加考 试，家长还觉得不够，再校外参加课外培训……，所 以才会呼唤减轻学生过重的作业负担和校外培训负 担，所以“深度学习”理念与教学方式显得尤其必 要.  “深度学习”是教学中的学生学习，体现在教师 引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与，体验成功、获得发展的有意义的学习过程.  “深度学习”必须满足以下五大要点 : (1)积极投入，  (2)基于理解的学习过程，(3)学习活动和认知能力 处于较高认知水平层次，(4)在整体性学习的背景 下，逐渐建立自己的知识体系，(5)具有创造性和批 判性思维，能够解决情境下问题.


常常碰到这样的一个问题，学生课上听的时候 会了，课后做的时候又不会了，同仁也常抱怨，现在 学生的能力太弱了，刚讲过的变个条件又不会了，问 题出在哪儿呢? 笔者经过长时间的调研和反思，发 现教师普遍注重教学生怎么做而轻视教学生怎么 想，所以，学生的“会”就停留在对解题步骤的理解， 至于怎么想到这样做，却不了了之，所以效果自然就 是听一题，会一题，甚至对原题也是一知半解的，更 不能说迁移了. 我们平日的教学当中，认真思考解决好这个问题，其实已经融入了深度学习的理念，下面 笔者就一道综合应用型的习题，就互动白板技术的 支持融合中解决情境下问题，深度学习的教学案例， 与大家分享探讨.

例 1   在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线 y ＝ax2  - 2ax＋a - 2( a > 0)，分别过点 M( t，0)和点N(t＋2，0)作 x 轴的垂线，交抛物线于点A 和点 B. 记抛 物线在 A，B 之间的部分图像为 G(包括 A，B 两点).

(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)记图形 G 上任意一点的纵坐标的最大值与 最小值的差为 m.

①当 a＝2 时，若图形 G 为轴对称图形，求 m 的值；

②若存在实数 t，使得 m＝2，直接写出 a 的取值 范围.

1 明确解题目标

解题从学法角度入手、知识溯源来分析，应该分三 步:①要明确解题目标是什么；②根据目标追溯与之相 关的知识源，结合知识源的主要特征，选择适合的知识 源求解；③解决情境下问题与建立自己的知识体系.

以上面的三个步骤作为操作模式，逐步引导学 生学会“怎样想”，呈现思路的形成过程和必然性， 引导学生掌握基本的分析方法，才能够让学生自悟 并有效迁移. 下面，笔者通过这个案例说明习题教学 如何从教“怎样做”转向教“怎样想”.

2 追溯选择与问题相关的知识源求解

设计成下列驱动问题:

问题 1:问题(1)求抛物线的顶点坐标，已学过 的有关顶点坐标的知识源有哪些?

主要有二次函数解析式顶点式(知识源 1) 、顶 点公式(知识源2) .

问题 2:此问应选哪个知识源求顶点坐标?

观察式子结构是字母系数(含参)解析式，然而 发现配方成顶点式恰好计算量少于用顶点公式，所 以选择知识源 1.
问题 3:二次函数图像如何确定?  主干题中抛 物线确定了吗? 请用白板画图理解.a 值与顶点确定则二次函数图像确定，其中 a 值确定带来开口方向与开口宽窄确定. 主干题中抛 物线只确定顶点与开口向上，开口宽窄不确定，所以 是如图 1 的抛物线系列.


问题 4:如何理解“图形 G”?

二次函数动态问题的处理策略:数形结合，从直 观图像开始认识性态结构，把结构研究作为一种思 维的模式，最后超越直观. 图形 G 是水平宽为 2 的 平行垂线截抛物线得的一段，随着 t 变化，图形位置 与大小变化(如图2) .

【设计说明】这两问目的在于由形感知，化难为 易，培养学生掌握处理二次函数问题的策略.

问题 5:主干题中“图形 G 上任意一点的纵坐标 的最大值与最小值的差 m ”已学过的确定 m 值的有 关知识源有哪些?
主要有平面直角坐标系中点坐标与线段长短转 化(知识源 1) 、“最高点与最低点落差”与“最大值 与最小值的差”的转化(知识源 2) 、结合二次函数图 像形状与性质(数形结合求解)(知识源 3) 、构造待 求量与某变量的函数关系，根据函数性质求最值 (知识源 4) .

问题 6:应选哪个知识源?

如图 3，结合二次函数图像形状与性质(数形结 合求解)(知识源 2)与(知识源3) .

问题 7:问题(2)①当 a＝2 时，若图形 G 为轴对 称图形，求 m 的值. 如何用轴对称图形解决?a＝2 时，图像形状固定，问题仅仅与位置有关， 结合图像(如图 2 )，抛物线对称轴仅有一条，发现只 有一个位置，满足“部分图像”成轴对称，所以只能 与抛物线共对称轴，借助端点对称性求解，点 A 与 点 B 纵坐标相同为 0，与最低点纵坐标 - 2 的差均 是 2，所以 m＝2.

【设计说明】目的在于培养学生处理轴对称问 题的调控能力.

问题 8 :问题(2 )②若存在实数 t，使得 m＝2，怎 样求 a 的取值范围?

求变量的取值范围常有两种处理策略，一是把要求的变量用另一个变量表示成函数，利用代数计 算求取值范围，二是配合图像与性质，数形结合确定 取值范围. 不论哪种策略都得分类讨论. 本题若用代 数计算，计算量很大(学生尝试过，计算超越现有的 知识范畴)，所以选择用后者.

问题 9 :既然用图形的性质解决此问题，同时， 双变量 t 与 a 都影响着 m 值，那么能否模仿二次函 数性质探究方法，分别找出 a 固定或者 t 固定时 m随另一变量的变化规律?

a 固定时，回归课本(人教九上 P29 页)，从图 像看离对称轴越远越陡峭，从函数值看也是越变越 快，m 取最小值位置在图形 G 与抛物线共对称轴时 (如图 2 )；

t 固定时，回归课本(人教九上 P31 页)，在 a >0 的前提下，从图像看 a 越大开口越窄，横向等宽时高 低差越大，从函数值看横坐标等距函数值差距也越 大，也就是说 a 增大 m 的最小值增大，可能使其超 过 2(如图 3 ) .  也就是说由(2 )①得 a＝2 时，m≥2；若 a >2，则 m >2，即不存在 m＝2 了，所以须得 a ≤ 2，才符合题意；综上问题得解 0 < a≤2.

【设计说明】从知识溯源切入，教学生怎样想， 目的在于培养学生深入溯源二次函数图像性质探究 规律的思维品质，a 定 m 随 t 的变化规律与 t 定 m 随 a 的变化规律双重规律夹逼下得到问题解决，拓 宽思路，从直观图像开始最后超越直观，提升处理二 次函数多参数问题的能力.

3 解决情境下问题建立自己的知识体系

教师应该引导学生怎样想，尤其是思路受阻时， 借助知识溯源、回顾处理相关问题的知识源，往往能 打开解决问题的思维通道，确定解题方向的切入点， 也比较容易调动学生已有的知识，经验感受和兴趣， 从而更加自主参与知识的获取、问题的解决过程，有 利于学生从中获取更多的新知、感悟，理解与建构知 识结构、促进内化与创新思维.
互动白板技术创造性应用为数学实验创设增加了可操作性，让学生自己动手画 y＝ax2  - 2ax＋a - 2

(a >0)图像，操作得图 2、图 3 效果，特别是图 1、图 2、图 3 给学生反复观察和共同研究探讨，从而为性 质的归纳，结论的提炼，知识的构建，提供了直观到 抽象、静态往动态的平台，为创造性和批判性思维的 发展提供保障.
正如数学家德海纳特说，所有有活力的思想都 有一个缓慢的发展过程，留足够的探索时间，引导学 生，围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与， 体验成功、获得发展. 深度学习有着不可忽视的教育 价值.

参考文献 :

[ 1 ] 郭华. 深度学习及其意义[ J ] . 课程 ·教材 ·教 法，2016 ( 11 . 01 ) :25 - 32 .

[2 ]  刘华为，沈旭东. 基于操作感悟突出生成过程—“三角形有关概念的几点思考”[ J ] . 中 小学教材教学，2020( Z2) :60 - 62 .

[3 ] 刘华为. 基于问题驱动，加强功能开发—对例 题教学的 一 点尝试[ J ] . 中学数学教学参考， 2020 (01 . 15 ) :60 - 62 .

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