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摘 要 :在百万扩招背景下，在“三教”改革的引领下，高职数学课程革命随即展开，目 的是努 力提升学生可持续发展的能力，培养一线需要的实用人才. 对于高等数学中的三大计算均以“以直 代曲”为切入点，通过问题的分析、分解，转移了主要矛盾，重点解决主要矛盾的同时，培养学生寻 找适合自己的学习方法，学会基本的数学表达方式.
关键词 : 高职数学；以直代曲；共识；拓展端 口
李克强总理在 2019 年的《政府工作报告》中要 求的百万扩招政策 ,使职业院校生源结构更加多元 化 ,必须全面构建开放式、个性化的学习体系. 数学 课程在其中扮演了重要角色. 数学学习的过程不仅 是知识积累过程 ,更是恰当学习方法的探索与掌握 的过程.
1 调查摸底，背景分析
经过调查问卷 、座谈会和聊天交流等摸底后 ,发现扩招生源的结构十分复杂 , 可以用“ 大” 来概括 :一是年龄相差大 , 出现了父子同学；二是基础相差大 , 有简单四则运算不熟练的, 也有刚学过一些微积分的；三是学习目的相差大 , 有 刚 出校门暂不准备工作的 ,也有在社会上“ 闯荡”多 年急需“充电”的；四是可支配时间相差大 , 有可脱产的 ,有工作脱不开身的.
基于生源的实际情况 ,在数学课堂上必须破解 规模化和个性化、共性需求和个性需求包容的平衡结构瓶颈 ,形成更加恰当的“ 因才施教”范例. 基 本思路为 :首先 , 学习的基本路径必须是“ 平缓” 的 ,必须是“ 深入浅出”的. 其次 , 以“ 以 直 代 曲” 为切入点 , 引导学生去思考 , 去分析问题 、分解问 题 、解决问题 , 在实现问题分解的同时也实现 了 难点和主要矛盾的转移. 第三 , 留有“端 口 ”,许多 “支节”问题 、特殊问题 ,不作为课堂内容 ,或者在 课堂上提示一 下 , 作为课后作业布置.目的是培养学生自主学习能力 , 寻找最佳的个性化学习方 法 ,实现教与学的分层分类.
2 扬长避短，以人为本
2. 1 拾遗补缺
目的是解决部分基础差的同学存在的“短板”, 以小组、结对为主 ,互帮互学 ,老师适当补充讲解、督 促、检查 ,已经会的同学通过互帮互学时的讲解能提 高掌握程度 ,提高表达能力 ,没学过的同学能找到自 己的“不足”之处.
2. 2 清障梳理
以基本初等函数为载体和目标 ,从数的运算 ,到 用字母代替数 ,再到方程、函数 ,最后是平面直角坐 标系中的图象、性质 ,引领同学们发现“短板”障碍 , 并解决问题. 初步建立数形结合的思想方法 : 由图象 记忆性质 , 由性质记忆图象.
2. 3 以直代曲
作为微积分学中三大计算的切入(引入)点 ,通 过“承认误差、减小误差、消灭误差”三步骤 ,将问题 进行边分析、边分解、边解决 ,形成数学中朴素的、易 懂易用的思想方法 :“以直代曲”.
2. 3 . 1 数列极限的概念是以圆内接正多边形面积代 替圆面积来引入 ,具体做法如下.
(1)在以圆内接正三角形面积 S3 、内接正六边 形面积 S6 、内接正十二边形面积 S12 、…来代替圆面 积 S ,用 PPT动画表现出来 ,可以与同学们逐步达成 共识 :①用直线段代替了圆弧线；②内接正多边形面 积是可以计算的；③形成了一个无穷数列；④每一项 都与圆面积有误差；⑤项数越往后 ,误差越小；⑥有 必要观察这个数列的变化趋势 ,但这是一个无法逐 一去完成的任务!
(2)引入针对上述数列的描述性定义 :
纯文字 :当项数不断向后推进时 , 内接正多边形 的面积越来越接近于圆面积；半文字 :当 n→∞ 时 ,Sn →S；纯符号 :limSn ＝S.n→∞共识 :数学是简洁的! 内涵是丰富的!
(3)正式讲述数列极限的描述性定义 ,并通过 几个简单的、典型的数列说明 :收敛与发散 ,单调收敛 与跳跃收敛 ,定向发散与不定向发散 ,并强调记忆.共识 :极限是变化趋势；有极限计算这类需求； 极限计算是问题的核心、重点、也是难点 ,暂时搁置 , 以后专门解决.
(4)拓展端 口. 以问问题的形式 , 或自问 自答 , 或请同学回答 ,也可先小组讨论选代表回答 ,还可以 留作课后复习、作业 , 留作下次课前回答 ,可以书中 找、网上搜等等. 本知识点有以下问题可以提出.
①不是正多边形可以吗?
②用相同的方法求周长可以吗?
③是否可以用外切正多边形来解决问题?
④内接正边形的面积构成的数列的增减性如何? 外切的呢? (注 :此问题为定理“单调有界数列 必收敛”作准备 ,也为两边夹定理作例子)
⑤比较 : 内接正三角形面积 S3 , 内接正六边形 面积 S6 , 内接正十二边形面积 S12 , … , 以及 , 内接正 三角形面积 S3 , 内接正四边形面积 S4 , 内接正五边 形面积 S5 , … ,构成的两个数列的区别与联系. (子 数列问题 ,包括增减有限项问题)
⑥对“趋向(于)”是怎样理解的?
⑦试算一下内接正 n 边形的面积. (为第一个 重要极限作准备)
⑧数列是函数吗? 有什么特殊性?
(5)本知识点的课堂用时为一个学时 ,用圆内 接正多边形面积代替圆面积, 以达到三个目的:一是 “以直代曲”思想 ,即 :“承认误差、减少误差、消灭误差” 这一数学思想方法；二是无穷数列的变化趋势是有这 方面的需求的；三是复杂的计算和观察变化趋势“暂时 搁置”—有需求但另议 ,实现问题分解和矛盾转移.
2. 3 . 2 导数的概念以自由落体运动为例引入
(1)物理学中知道 : 自由落体运动中 ,路程 S 是时间 t 的函数 ,并且有S ( t )＝g t2 ≈5 t2于 是 , 1 秒 到 1 . 5 秒 的 平 均 速 度 V1 －1 . 5 ＝＝12. 51 秒到 2 秒的平均速度V(1) ＝15 1 秒到 3 秒的平均速度V(1) ＝20问题 :1 秒时的瞬时速度 V ( 1 ) ＝?
(2)显然 ,我们可以用上面三个平均速度任何 一个来代替—承认误差 ,根据生活经验与分析 ,时间 间隔小的误差也小 ,于是有 1 秒到 1 ＋Δt 秒时的平均速度 : (减小误差)V1 －( 1 ＋Δt) ＝ ＝5(2 ＋Δt )Δt 越小时 ,误差越小 ,所以取极限:(消灭误差)S(1 ＋Δt) －S(1) ΔSΔt→0 ( 1 ＋Δt ) －1 Δt→0 Δt Δt→0＋Δt ) ＝10
所以有: 自由落体运动中 ,1 秒时的瞬时速度是 10m/s.共识:计算瞬时速度时需要计算路程改变量与 时间改变量比值的极限 ,简称“差商极限”.
(3)拓展设问:①能否用 0. 5 秒到 1 秒的平均 速度代替 1 秒时的瞬时速度? 试算一下；②能否用 2 秒到 3 秒的平均速度来代替? ③将自由落体运动 改为变速直线运动时 ,计算有什么区别? 改成变速 圆周运动呢?
(4)还可以通过切线斜率的计算 ,归纳出:差商 极限的计算是有需求的 ,但具体计算是相当不容易 的. 导数计算就是解决主要矛盾 , 发扬“迎着困难 上”的精神.
2. 3 . 3 定积分的引入可以用均分求面积来引入
以标准抛物线在[0 ,1]区间上所围面积计算为 例 ,等分计算长条面积并求和:近似面积 (承认误 差) ,份数越多误差越小(减小误差) ,取极限(消灭 误差)；又一次展现“以直代曲”的解决方法.
2. 4 问题解决. 极限、导数、积分三个定义中都将矛 盾进行了的转移，转移成微积分学中的三大类计算. 2. 4. 1 极限计算只需掌握若干个基本的未定型 ,包 括两个重要极限 ,即从最简的几个极限出发 ,配以极 限的四则运算法则 ,来完成极限计算. 以最佳求解方 法为范例 ,不作一题多解.
2 . 4 . 2 导数计算时, 是围绕着“ 凑”公式进行 , 从直接凑公式到掰开了凑 , 只是利用四则运算法则 时不能 想“ 当 然 ”:乘与除的法则是掰开了“ 组合”地凑! 复合函数求导时, 是“ 借用公式的凑”,将含自变量当成自变量凑用公式 ,后乘含自 变量式的导数.
2. 4. 3 定积分计算最为简单 , 只需正确书写微积分 基本公式. 强调计算时细心即可.
3 融会贯通，厚积薄发
微积分学作为高职数学的一 门基础课程 ,其作用是多方面的.一方面是知识的积累 , 明确已有成果 ,不走“重 复路”:不必去做“割圆术”,也不必去一一证明导数 公式；而是要“多多益善”地知道数学已解决的、可 解决的问题.另一方面是数学的思想方法 ,“以直代曲”就是 简单实用的一种数学的思想方法 ,是复杂问题分解 成多个简单问题的一种处理手段.
第三方面是数学式的表达 ,从数学的角度来看 , 理解或掌握的知识点并不一定能恰当地表达出来 , “恰当地表示”就是用最为简洁的、易懂的、严密的 (不引起岐意的)表达出来 ,换言之就是 ,数学中的 定理都是简洁而内涵丰富. 例如 ,初等函数在其定义 区间内都是连续的. 不足二十字的定理 ,其中的内涵 可以推敲多时.
由此可见 , 数学课程的学习 , 在整个学习过程中的作用是重要的 , 是其它课程无法替代的 , 更是为学生可持续发展打造出 一个基础平台 , 一 个具有相当的数学知识和数学能力的平台. 为更 好地建设这个平 台 , 结 合 扩 招 生 源 的 实 际 情 况 , 设计了上述的课堂实施线路图. 让学生始终明确 “要做什么 , 怎么做”, 学会分析 、分解问题 、解决 问题的总体线路 ,潜移默化地让学生克服对数学 的恐惧心理 , 养成良好的学习方法 、习惯. 同时 , 留下相当的拓展端 口 ,鼓励学生进行查阅各种教材及上网搜索 ,为个性化学习提供方向.
参考文献 :
[ 1 ] 张丽颖，张学军. 高职课堂革命 : 内涵、动因与策 略 [J ] . 中国职业技术教育，2021 (2 ) :18－22 .
[2 ] 陆宗斌，李艳萍，王咏芳. 高职应用数学[M ] . 北京 :北京理工大学出版社，2017 .
[3 ] 陆宗斌，王咏芳. 高职课堂革命之高职数学教学 实践[J ] . 发展教育学，2021 (4 ) :91－92 .
[4 ] 张恩朝，朱叶. 百万扩招背景下高职院校“ 三 教”改 革 研 究 [ J ] . 科 技 视 界，2021 ( 22 ) :139 －141 .
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