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摘要：著名的罗素悖论是指康托尔朴素集合论中产生的一种矛盾。本文首先刻画了罗素悖论；然后指出：到目前为止，解决罗素悖论的方案有三种。按照时间顺序：第一种是类型论及它的解悖方案；第二种是公理化集合论ZFC及它的解悖方案；第三种是以非经典逻辑为基础逻辑建立起的解悖方案，如：直觉主义集合论IZF及它的解悖方案。最后，对提到的三种不同的解决罗素悖论的方案进行了比较和分析。特别地，本文还给出了在公理化集合论ZFC中，用良基公理排除罗素悖论的方法。
关键词：罗素悖论；类型论；公理化集合论；直觉主义集合论
本文引用格式：王祎,等.罗素悖论及其解决方案浅析[J].教育现代化,2019,6(41):154-155.
朴素集合论是19世纪70年代由德国数学家康托尔创立的。这个理论由概括原则和外延原则组成。它的主要概念是集合，而集合的概念非常简单，但它主要是用集合的概念研究“无穷”的理论。也就是说，直到康托尔建立了无穷数，无穷才最终成为数学中的合法成员。在康托尔的朴素集合论中，他把适用于有穷集的不用数个数而判定两个集合是否一样大的一一对应原则推广到了无穷集。一个无穷集合能与它的一个真子集一一对应，则与传统的观念“整体大于部分”矛盾，但康托尔认为这恰恰是无穷集区别于有穷集合的重要特征。自然数的一些结论推广到两种无穷大的数理论中。即：一种是无穷基数理论；一种是无穷序数理论。特别地，康托尔把由于朴素集合论的建立，使得现代数学有了新的面貌。
一 罗素悖论
现在我们考虑所有那些自己不是自己的元素所组成的“集合”R。也就是说，R是满足条件x x的所有集合x的集合（读作“属于”，读作“不属于”）。现在我们问是否R R。如果R R，那么，R不是自身的元素（因为R中没有元素属于它自身），因此R R，这是一个矛盾！反之，如果R R，因为R是一个不是其自身元素的集合，因此，这样的集合属于R，即R R，这又是一个矛盾！根据R的定义就有：R R当且仅当R R；这是一个矛盾！这就是著名的罗素悖论！它是20世纪初，由罗素在康托尔朴素集合论中发现的一个矛盾，后来人们称它为“罗素悖论”。后来，罗素还用了一个生动的例子来形容自己的悖论。即：“理发师悖论”。“理发师悖论”大致可以描述为：一个乡村的理发师称自己不给自己理发的人理发，只给所有自己不给自己理发的人理发。有一天，一个村民问他：他是否应该给自己理发？要是他给自己理发，那么按照他宣称的前一半，他就不应该给自己理发，但是如果他自己不给自己理发的话，按照他宣称的后一半，又必须自己给自己理发。于是，这个理发师陷入了逻辑矛盾。因为罗素悖论的构造，只用到了康托尔朴素集合论中的基本概念“元素”，“集合”和“属于关系”。但是，罗素悖论的出现不仅冲击着数学基础还导致了数学的第三次危机。
为了解决罗素悖论，自20世纪以来，数学家和逻辑学家经过不断地努力，给出了许多不同的解决罗素悖论的方案。总括起来大致可以分为三类。一类是通过避免恶性循环来解决悖论，最具有代表性的工作是罗素本人为解决罗素悖论所创立的理论——类型类；一类是用公理重新刻画康托尔集合论，特别是对康托尔集合论中的概括原则进行限制，使得用限制后的概括公理所产生的集合不太大，以达到排除悖论的目的，其中最具有代表性的公理系统是ZFC；在第二类的解悖方案中，它的逻辑基础是经典的一阶谓词逻辑。还有一类解悖方案是通过改变逻辑基础来建立新的集合论，从而排除罗素悖论。这样的解悖方案有：直觉主义集合论、弗协调集合论等。例如，在直觉主义集合论中，基础逻辑是直觉主义逻辑，特别地，排中律不再作为推理工具，从而达到解决罗素悖论的目的。本文分别就这三类不同的解决罗素悖论的方案，选取三种最具有代表性的简单类型论及它的解悖方案、公理化集合论ZFC及它的解悖方案和直觉主义集合论IZF及它的解悖方案进行分析。
二类型论及它的解悖方案
罗素是20世纪伟大的哲学家。发现康托尔朴素集合论中的悖论并消除这一悖论是他数学工作的核心。类型论是他1903年为消除在康托尔集合论中自己提出的悖论而建立的，后来经过其他逻辑学家改进和简化。现在说的类型论是由哥德尔和塔尔斯基在他们30年代的文章中第一次使用的。
罗素认为悖论产生的根源在于人们把一个类的分子和类本身等同看待了。即假定了一类事物可以包含本类的整体作分子。例如，一切类所构成的总体还是一个类。更精确地说，这个假定是，一类事物可以包括只能根据此类的总体而定义的东西作为分子。罗素称这样的类为“不合法的总体”。[1]承认“不合法的整体”就会导致悖论。为了排除它自己构造的悖论，罗素建立了类型论T。
类型论T也称为简单类型论，它把类分为不同的（类）型：个体的型是0，个体的类的型是1，个体的类的类的型是2，以此类推。每个对象都有一个确定的类型，型为n的对象才能说是否属于型为n+1的类。因此，只能说型为n的对象所构成的类，等等。这样一来，在类型论T的语言中，有无穷多不同型的变元并且每一变元都加一右上标表示型，如：x0,x1,x2,…，这里x0表示型为0变元，x1型为1变元，x2型为2变元，等等。除此之外，类型论的初始符号还有符号：x y在这里表示：x是y的一个分子。因此，x x在类型论中是无意义，从而x x也是无意义的。因此在系统T中得不出罗素悖论。类型论T也是一个公理系统，它的有四条公理：概括公理（模式）、外延公理、无穷公理和乘法公理。
三 公理化集合论ZFC及它的解悖方案
最初的公理化集合论系统由蔡梅洛1908年创立，后经弗兰克尔和等人的改造，现在被称作策梅洛—弗兰克尔集合论公理化系统，记作ZF。加上选择公理后，记作ZFC。在ZF中，它的公理分为两类：一类是刻画集合存在的公理，这类公理有：概括公理、存在公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、替换公理；另一类是刻画集合性质的公理，这类公理有：外延公理和良基公理（也称正则公理或基础公理）。这里的概括公理不同于康托尔朴素集合论中的概括原则，它是对康托尔朴素集合论中概括原则的一种限制。它要求每个存在的集合一定是一个已知集合的子集，所以，新产生的集合不会太大。因此，这在公理集合论系统ZFC中不会产生悖论。这就排除了罗素悖论。另一方面，由于在ZFC中，良基公理存在，因此，它排除了所有那些自己是自己的元素作为条件构成的集合，即：排除了满足条件R R的所组成的集合。从而也排除了所有那些自己不是自己的元素作为条件组成的“集合”，即：排除了满足条件R R的所组成的集合。因此，这也排除了罗素悖论。
四 直觉主义集合论IZF及它的解悖方案
直觉主义的一个显著特点是不承认排中律，较成熟的直觉主义集合论系统IZF由贝松1985年创立。它是以一种直觉主义逻辑为基础，用集合归纳公理替换了策梅洛—弗兰克尔集合论ZF中的基础公理得到的。这是由于策梅洛—弗兰克尔集合论ZF中的基础公理可以推出排中律所致。所以，贝松的直觉主义集合论系统IZF实质上是在经典的一阶谓词逻辑中去除排中律，在经典的公理集合论系统ZF中用去除能够推出排中律的集合论公理。因此，IZF是直觉主义版本的一种策梅洛—弗兰克尔集合论系统。同时，它也可以看作是对康托尔朴素集合论的两次修正：修正一：删除经典逻辑中的排中律；修正二：限制康托尔朴素集合论中的概括原则。由此可知：排除了罗素悖论。
五 结语
总之，不论是简单类型论系统T，还是公理化集合论系统ZFC，还是直觉主义集合论系统IZF，它们都是从公理出发来建立理论并排除罗素悖论的。但不同的是，简单类型论系统T和公理化集合论系统ZFC与直觉主义集合论系统IZF的逻辑基础不同。简单类型论系统T和公理化集合论系统ZFC的基础逻辑都是经典逻辑，而直觉主义集合论系统IZF的基础逻辑是非经典逻辑——一种直觉主义逻辑。然而，虽然简单类型论系统T和公理化集合论系统ZFC的逻辑基础相同，但它们的构建方式不同。所以，到目前为止，学术界出现的这三种解决罗素悖论的方案，相互之间既有联系又有区别。
参考文献
[1]周礼全.逻辑百科词典[Z].四川教育出版社,1994:283-285.[2]互作玄.数学是什么[M].北京大学出版社,2008:199-224.
[3]李娜,袁旭亮.直觉主义解决集合论悖论的方案[J].自然辩证法通讯,2018,40(09):59-64.
[4]莫里斯×克莱因.古今数学思想（第四册）[M],北京大学数学系数学史翻译组议，上海科学技术出版社，1981:312.
[5]周琳.西方哲学的存在论及其理论缺陷[J].教育现代化,2016,3(07):228-229+241.
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