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摘 要：工程教育认证强调学生要具备分析与解决复杂工程问题的能力。在材料物理性能课程的教学中，教师更多讲解的是材料的力学、热学、电学、磁学与光学的性能、影响因素、测量方法及相关材料的应用，导致材料类学生对物理本质涉猎少而被动学习。本文通过对热容和居里定律的分析案例，说明在教学过程中巧妙地引入必要的数学推导，可以帮助学生更好地理解物理性能，同时建立起用数学与物理知识解决材料物理性能中复杂问题的能力。
关键词：材料物理性能；数学知识；物理本质；学生能力
本文引用格式：丁贺伟，孙继兵，马瑞娜 . 材料专业课程中加强数学知识应用的改革探索——以材料物理性能课程为例 [J]. 教育现代化 ,2021,8(36):71-73.
Engineering Education Certification Needs to Strengthen the Application of Mathematical Knowledge in the Teaching Process of Professional Course——A Case Study of Physical Properties of MaterialsDInG Hewei, SUn Jibing, MA Ruina(School of Materials Science and engineering, Hebei University of Technology, Tianjin)
Abstract: Engineering education certification emphasizes that students should have the ability to analyze and solve complex engineering problems. In the teaching process of physical properties of materials, teachers explain more about the mechanical, thermal, electrical, magnetic and optical properties of materials, influencing factors, measurement methods and the application of related materials, which leads to the students learning less about the physical essence and learning passively. In this paper, the heat capacity and Curie’s law were analyzed, which showed that the necessary mathematical derivation could help students understand the physical properties, and have the ability to solve complex problems with mathematical and physical knowledge.
Keywords: physical properties of materials; mathematical knowledge; physical essence; students’ ability
一材料物理性能课程中涉及到数学知识
材料物理性能是金属材料专业的一门专业必修课， 课程综合了材料学和物理学两部分内容，主要介绍金属及合金的导电性能、绝缘体的介电性能、材料的力学性能、热学性能、磁学性能和光学性能，并利用物理模型， 使学生掌握材料性能的物理本质及材料的内部组织与各种物理性能的关系，为学生在材料领域进行问题分析、方案设计和科学研究等方面提供理论基础。
工程教育认证标准 [1-2] 要求学生能够设计针对复杂工程问题的解决方案，设计满足特定需求的系统、单元（部件）或工艺流程，并能够在设计环节中体现创新意识，这就要求学生必须基于必要的数学与物理基础对复杂问题进行研究与分析，并最终选择与使用正确的技术解决问题。这就要求学生在学习材料物理性能课程时，不但要知其然，更要知其所以然，也就是必须知晓材料物理性能的物理本质，但在材料物理性能课程的实际教学中，教师更多讲解的是材料的力学、热学、电学、磁学与光学的性能、影响因素、测量方法及相关材料的应用 [3-6]，导致材料类学生对物理本质涉猎少而不能建立清晰的物理性能知识结构。本文认为，应当在很多章节中引入数学知识及方法这个重要工具，提高材料类学生用数学知识解决物理问题的能力，促使学生对物理性能有深入的理解。本文通过分析案例，说明引入数学知识可以得到简单明了的公式来解释物理意义，更好地帮助学生理解材料的物理本质。
二 数学知识的应用
（一） 微积分和极限在热学性能中的应用
物体在加热或冷却过程中会吸收或放出热量，发生相变时还会伴随一定的热效应，利用热效应可以研究材料的组织结构变化及各种相变，是材料研究时常用的一种热分析的方法。而质量为 m 的物体温度升高1 K 所需的热量为该物体的热容，所以热容的学习对于材料类学生来说是必要的。在以往的学习中，经典的 Dulong-Petit 模型认为每个简谐振动的平均能量
（1） 其中 k 为玻尔兹曼常数。若 1mol 晶体中有 N 个原子，每个原子振动有 3 个自由度，按热容定义，有
（2）这是一个与温度无关的常数，此结论只在高温时和实验规律相符，而在低温时和实验规律 (CV∝T 3) 偏差较大，更不能解释热容随温度下降而减小的实验事实，导致学生对热容本质认识不到位，总是一知半解。在本节中如果引入量子模型来解决此难题，再引入必要的数学知识加强对模型的认识就显得非常必要。
在量子模型中， ω 为最小的能量单位 ,n ω 为振子能量的可能值。由于能量具有统计性，按照统计热力学的原理，在温度为 T，频率为 ω 的振子，它所具有的能量值为 n ω 的几率与 成正比， 根据 Maxwell-Boltzmann 分布规律可推导出每个振子的平均能量实际应为
由于几率和不为 1，因此式（3）中需对几率归一化。根据高等数学的微积分和求极限，可以求出(4)
在式（4）中引入 Riemann 函数计算可得高温和低温时的热容(5)
对比经典模型和量子模型，可以得到以下结论：
1.量子模型的平均能量和经典模型截然不同。在以往的教材中只是单纯罗列了两种模型和相关结论， 并未介绍两种模型的本质区别，本文在讲授过程中引入微分和求极限的数学知识，得到量子模型中每个振子的平均能量的数学表达式，其中能量的量子化是以Planck 常数 h 这个不为零的常量表现出来的，在此 h起重要作用（
）。在近代物理中凡是 h 在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象，所以式（1）
属于经典的理论，能量的变化是连续的，在一定范围内可取任意值，把这种认识用于金属中振动着的原子， 特别在低温范围是不合适的；式（4）属于量子的理论， 点阵振动能量是分立的，量子化的，这才使得对晶体热容的本质有了更深入的认识，因此数学知识的应用可以使学生更好地区分量子模型和经典模型的差异性。
2.式（5）可以很好地描述晶体热容的物理本质，即：热容在低温时随着温度下降而减小 (CV ∝ T3)；在高温时趋于常数(CV=3NK)，都和实验规律相符。其原因有二。一是量子模型的平均能量和经典模型的平均能量截然不同；二是在低温时，晶格振动很微弱，只有低能量的长声学波声子对热容有贡献，而量子模型与低温时与事实相符，自然与实验相符；最后当体系处于高温时（ ω<<kT）， 远远小于 1，把式（4）中的 用 Taylor 公式展开，求取公式的前两项，得到 ，既然两种模型的平均能量相同，自然关于热容的结论也相同（高温时趋于常数）。
以上的案例分析说明引入量子模型不但可以得到和经典模型相同的正确的结果，而且还比之先进，得到和实验规律符合的结论，说明量子理论是把经典理论作为一种高温极限形式包含在内。上述的热容理论中，引入的数学知识使学生更清楚地掌握热容理论中量子模型和经典模型的区别和联系，便于学生更好地了解量子和经典这两大理论在材料科学中的应用。
（二） 微积分和极限在磁学性能中的应用
随着现代科技和工业的发展，磁性材料的应用越来越广泛，特别是作为电子计算机存储器使用的铁氧体磁芯和磁记录材料发展后，磁性材料更多地转向电子计算机和信息技术的相关应用，因此研究材料的磁学性能，借以发展新型的磁性材料是材料科学的一个重要方向。磁性材料 [7-8] 通常是指磁性强的铁磁性和亚铁磁性材料，这些材料的一个重要特点是存在一个临界磁性转变温度，即 Curie（居里）温度。在高于 Curie 温度时，强磁性的铁磁性和亚铁磁性会转变成弱的顺磁性，因此必须充分理解强磁性的 Curie 温度即材料的可使用极限温度。为了更好地理解 Curie
温度，需要推导顺磁性的 Curie 定律：此时如果使用积分和求极限的数学知识，则更容易讲明白其物理本质。在讲解时可以通过以下方法。
若单位体积中有 n 个原子，原子磁矩之间无相互作用，为自由磁矩，热平衡状态下无规则分布； 当施加外磁场 H 后， 原子磁矩 的角度发生变化， 沿着接近于外磁场方向作择优分布，因而引发磁化过程，此分布遵守 Boltzmann 统计规律，则磁化强度
（6）
其中，k 为 Boltzmann 常数，T 为温度，由于原子受磁场作用后的角度是连续变化的，式（6）中 θ的积分范围为 0~π，φ 的积分范围为 0~2π。采用分部积分法可得磁化强度
（7）
其中 ， 若磁体处于高温和低磁场时，
，因而
（8）顺磁磁化率
（9）
其中 C 是 Curie 常数，至此，Curie 定律得到推导。若不加数学推导，只是单纯给出 , 只能让学生得到一个宏观上的概念，磁化率χp和温度T成反比， 不能深刻地理解其微观本质。有了数学工具的加持， 式（9）表明 Curie 常数 C 和原子磁矩 有直接联系， 这说明 Curie 定律的物理图像可以揭示出宏观上的磁化率 χp 和微观上的原子磁矩 的联系。若测出材料的磁化率 χp 随温度 T 的变化，即可求得原子磁矩 ；反之，当原子磁矩 趋于外磁场方向的几率越大，宏观上就表现为磁性越强，磁化率 χp 就越大，其中数学知识的处理起到不可或缺的作用，可以让学生更好地理解磁性参量在微观和宏观尺度上的联系。
随着磁性材料的发展，对更高性能产品的要求越高。例如大型卡车中的永磁式减速器必须是耐热的高性能材料，以保证汽车高速行驶的安全；卫星定位系统中的离子推力发动机要求磁体具有耐高温性能；新世纪动力系统、高能量武器系统中的磁性轴承和飞行器集成动力装置需要在高温环境下工作等，因此在实际应用时必须考虑材料的使用环境及耐热性，不同的材料具有不同的 Curie 温度，所以学生应当充分地理解 Curie 定律的物理本质。
（三） 如何更好地掌握专业课程中的数学知识
由于材料物理性能课程是材料类学生的专业课， 不是专门的数学课，因此需要借助于最简单明了的数学知识把课程内容讲透。由于授课时间的限制，当课程采用线上线下混合模式教学时，建议线下对重点和难点问题重点讲解，尤其是涉及到物理本质的理解方面用精炼的数学知识做精致的内容讲授；线上单独答疑或者以小组的形式参与讨论，提高学习效果；课外找原因，针对性地解决学生在学习中遇到的各种问题， 提高学生学习数学的积极性，促进学生思维能力的发展，为学生更好地理解材料内在的物理本质打好基础。
材料物理性能课程主要介绍材料的力学、热学、磁学、光学等各种物理性能，每一章设计为一种物理性能。在学习完一章后，学生积累了一定的分析问题和解决问题的能力，但还不是很透彻，所以要进行阶段性的总结归纳，帮助学生认识到已经用到何种数学知识，是否有相似之处，这样有利于加深学生对教学内容的理解，激发学生的学习乐趣，提高科学的思维能力。
三 结语
在讲解热容规律时，若引入微积分和求极限的推导，可以讲清楚热容理论中量子模型和经典模型的区别和联系，便于学生更好地了解量子和经典这两大理论在材料科学中的应用；在讲解热膨胀和 Curie 定律时，数学知识的加入可以得到简单明了的公式，推导过程则使学生更好地理解物理性能在微观和宏观尺度上的联系。另外，在讲解公式推导时要讲究数学工具的原则，尽量简单实用，避免学生过多地关注数学公式，而忽略了物理本质的理解。对于材料类学生，讲授材料物理性能时，适当地添加量子力学和固体物理的基础知识，加上相关的数学知识，使学生对微观粒子的运动规律有了更清楚的认识，对相关物理性能有了更明确的理解，可以帮助学生建立起用数学与物理知识解决材料物理性能中复杂问题的思路与能力。
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