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摘 要：高等数学作为高职教育的一门公共基础必修课，它将为今后工程数学以及相关的专业课程的学习打下必要的数学基础，为这些课程提供必需的数学理论、方法、运算技能和分析问题、解决问题的能力素质。基于职业教育的特点，以及为适应迅猛的社会经济发展，在高等数学的教学中必须注重理论联系实际，强调对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，以努力提高学生的数学修养和素质。现代信息技术的发展对数学教育的内容以及教学方式产生了重大的影响。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，是对高等数学教学改革的一种创新。随着现代信息技术的快速发展， 高职高等数学课程的教学改革刻不容缓。文章以“常数项级数及其性质”为教学案例，探索以故事教学和问题驱动的翻转课堂教学模式改革。该教学模式，鼓励学生联系实际，充分利用教学资源自主探究学习，实现了线上学习和线下协作探究的有机融合，从而提高了课堂教学效果，增强了学生学习高等数学的兴趣。
关键词：翻转课堂；高等数学；教学模式；常数项级数
本文引用格式：刘绪娇 . 翻转课堂教学模式下高等数学教学案例研究——常数项级数及其性质 [J]. 教育现代化，2020，7（96）：141-144.
A Case Study of Advanced Mathematics Teaching in the Flipped Classroom Teaching Mode
——Constant Series and Its Properties
LIU Xujiao
（Wuhan Vocational College of Science and Technology, Wuhan, Hubei）
Abstract: Advanced mathematics, as a public basic compulsory course of higher vocational education, will lay the necessary mathematical foundation for future engineering mathematics and related professional courses, and provide these courses with the necessary mathematical theories, methods, operational skills and analysis problems, Ability to solve problems. Based on the characteristics of vocational education and in order to adapt to the rapid social and economic development, the teaching of higher mathematics must focus on integrating theory with practice, emphasizing the training of students’basic calculation ability, analysis and problem-solving skills, and strive to improve students’mathematics accomplishment and quality. The development of modern information technology has had a significant impact on the content and teaching methods of mathematics education.Taking modern information technology as a powerful tool for students to study mathematics and solve problems, committed to changing the way students learn, is an innovation of higher mathematics teaching reform. With the rapid development of modern information technology, the teaching reform of higher vocational and advanced mathematics courses cannot be delayed. This article takes“constant term series and its nature”as a teaching case, and explores the reform of the flipped classroom teaching model driven by story teaching and problem. This teaching model encourages students to connect with reality and make full use of teaching resources for independent inquiry learning, which realizes the organic integration of online learning and offline collaborative inquiry, thereby improving classroom teaching.The learning effect enhances students' interest in learning advanced mathematics.
Key words: flipped classroom; advanced mathematics; teaching mode; constant term series
翻转课堂是利用现代化信息技术对课堂教学模式进行变革的一次有效尝试，教师在进行教学前，利用多媒体设备为学生提供教学视频等一些学习资源，首先引导学生自主探究，进入课堂教学环节之后，教师再根据学生的学习情况为学生解答问题、并组织学生进行合作学习性活动以及交流知识等 [1-2]。翻转课堂是一种“先学后教”的教学方式，颠倒了传统课堂的“先教再学”，让学生能进行自主思考和互动讨论，并有效地发挥了学生获取知识的积极性，实现了以学生为教学主体，教师根据学生具体情况再循循善诱 [3-4]。因此， 翻转课堂教学模式在高等数学教学过程中具有一定的应用价值和优势，是为高职高等数学课程教学改革的可行之举。
一 课程教学现状
（一） 学习动力不足，缺乏兴趣
高等数学作为一门公共基础课，被高职院校学生认为是最难学的一门学科。由于学生对高等数学的性质和作用认识不清楚，不了解高等数学对自己的专业和职业发展的重要影响，所以觉得数学无用，没有什么吸引力，学习动力不足，缺乏学习兴趣。只以修学分为目的，在课堂上表现出厌学情绪，不充分利用课外自习时间，能够应付考试就行，使这门课程显得无足轻重 [1]。
（二） 自觉性较差，学习难度大
由于高职院校各专业学生中学所学内容存在差异，因此学生的数学基础参差不齐。学生已经习惯中学的数学教育方式，传统教学模式下教师只是一味灌输给学生知识，忽视了学生的主体地位，学生自主学习能力得不到有效提升。进入大学后，无法适应自我管理的环境，容易造成松懈的学习状态，忽视对自己掌握情况的关注，学习上不温故，对知识点没有进行及时消化和强化， 缺乏理解和融会贯通，从而使学习难度增大。同时，在传统的高等数学教学过程中，教师在课堂上教授知识是面向所有学生的，不同基础的学生对知识点的接受和掌握程度不同，但教师无法使所有人保持同一接受水平，从而使得接受程度高的、计算速度快的学生要等其他学生，学习速度慢的学生在快速的教学课堂中不能真正参与到教学活动中。日积月累的问题使一些学生学习难度加大，导致学习效果很差 [2]。
（三） 教学模式单一
各专业的高等数学教学都是同一大纲，与专业课程没有进行很好的衔接，注重理论知识，缺乏解决具体现实数学问题的办法。并且教师教学方法得不到创新，有的仅仅依靠在黑板上将授课内容展现出来，有的讲课过程中运用一些多媒体， 但不能将抽象难以理解的知识变得更加直观易懂， 学生理解不了知识，对学习的兴趣也会大大降低。教学过程中，主要是教师的“教”，没有展现学生的“学”，无法体现学生的主体地位，不能锻炼学生的实践能力和应用能力，导致无法满足市场发展的需求 [3-8]。
（四） 教学评价单一
数学考核方式比较单一，传统的教学评价只是采用平时到课情况、作业、期中和期末笔试考试的加权成绩作为评价学生对本课程掌握情况的方式。考试题型缺乏新意，且未联系实际，难以调动学生对于学习的积极性，导致学生缺少对考试的重视，使高数考试仅流于形式。教师很难测出学生对知识理解和掌握的程度，也不能从多方面考察学生的动手、动脑能力。
以上种种教学现状，使高职高等数学教学改革变得刻不容缓。翻转课堂教学模式，一般是以学生为主体，采用线上线下教学模式，培养学生独立思考的意识，提升其创新力，更大程度上激发学生的学习兴趣。很多高职院校的实践课和专业课都基本实现了翻转课堂教学模式的“模块化”。由于高等数学内容的抽象性、逻辑性等特点，使得这种模式很难适用于每个知识点。我们可以因材施教地制定具体的创新性课堂教学模式实施方案，将翻转课堂和传统课堂这两种教学模式相结合对课本中的知识进行讲解，这对于高职高等数学课程，是一种非常值得探讨的教学方法 [4]。
二 翻转课堂在高职高等数学教学中的应用案例
对于看起来似乎枯燥乏味的高等数学课程， 怎样使高职院校学生积极主动的去学习，是教育学者们要解决的一大难题。教师利用创新性翻转课堂教学模式进行教学，大大增加了学生学习的自主性，其能够根据自身实际情况改变学习进度， 有疑问的地方可重复观看教学视频，不仅提高了学生对于学习的积极性，培养了其自主学习的学习习惯，同时增加了师生之间的有效互动，更能有效地促进高等数学课程教学的改革发展。本文以高等数学中比较实用的“常数项级数及其性质”教学为例，进行翻转课堂教学设计。把每个班分成若干个小组，并选出各组组长，组长需要对组内成员课上表现情况以及学习成果进行总结评分。
（一） 教学背景
翻转课堂，是教师创建视频，学生在家中或课外观看视频中教师的讲解，回到课堂上师生面对面交流和完成作业的这样一种教学形态。当教师更多的成为指导者而非内容的传递者时，也有机会观察到学生之间的互动。教师在教室内巡视过程中注意到学生发展起了他们自己的协作学习小组，学生们彼此帮助，相互学习和借鉴，而不是依靠教师作为知识的唯一传播者。在这种教学背景下，翻转课堂教学模式成为解决经济、工程技术中某些实际问题的有力工具 [5]。
（二） 教学目标
课程教学包括三个方面目标：知识目标、能力目标、情感目标。
①知识目标。理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；掌握无穷级数的基本性质和收敛的必要条件，以及几何级数收敛与发散的条件；熟练运用知识点判定无穷级数是否收敛。
②能力目标。通过实际问题的分析，增强学生的数学思维意识，培养学生解决实际问题的能力，通过对公式的推导和证明，使学生形成严谨的数学逻辑思维。
③情感目标。通过引入农夫分牛的故事等实际问题，使学生认识到所学知识的实用性，再结合自然生动的语言，从而激发学生学习高等数学的兴趣。
（三） 课前任务
课前线上自主学习，首先需要复习上节课中学习到的数列与极限的定义性质，并观看相关教学视频，教学视频可分为以下四个部分来学习。第一，将故事与教学内容结合作为引例。以农夫分牛的故事作为引例，有一个农夫在其农场养 19 头牛，在其去世前要把所有的牛分给三个孩子， 他在临终前是这样说的： 老大得 1/2， 老二得1/4，老三得 1/5，既不能把牛杀死，也不能卖了分钱。农夫去世后，兄弟三人怎么也想不出办法把牛分完。请问为什么他们不能把牛分完？如果是你，你怎么解决这个问题？第二，给出常数项级数的敛散性的定义。如果级数
µn 的部分和数列
{Sn} 有极限 S，即
，则称无穷级数
µn收敛，这时极限
µn称为级数的和；如果数列
{Sn}没有极限，则称无穷级数
µn发散。第三，通过分析经典例题，例如讨论几何级数
的敛散性（包括利用 Matlab 软件绘制某些级数部分和数列的图像），使学生深入理解教学内容，自己总结解题思路和技巧，能够熟练判别级数的敛散性。第四，收敛级数的基本性质，着重强调级数收敛的必要条件，以及应该注意的问题。学生自主完成学习后，以书面或是电子文档形式将学习情况和存在的问题，发给各组组长，再由组长汇总后反馈给老师 [9]。
（四） 课堂任务
根据学生汇报的线上学习情况，首先，在课堂上进行答疑解惑，解决学生反映存在的问题。采用问题驱动的教学方式，围绕下列问题依次展开：第一，什么是常数项级数？级数的敛散性如何定义？第二，几何级数和等比级数的敛散性如何证明？怎样判别给定级数是否收敛？第三，收敛级数有哪些性质。利用问题总结教学重点和教学难点，几何级数收敛与发散的条件，指出可以通过常数项级数的概念或性质判别给定级数的敛散性，并对某些特殊情况进行拓展。其次，讲解一些解题技巧。级数收敛的必要条件是如果
µn 收敛，则
。这个性质告诉我们考察级数的敛散性时，应先考虑给定级数的一般项是否趋于零，若一般项不趋于零
则可断定该级数必发散。再次，进行小组讨论，互相帮助， 让理解透彻的学生帮助理解不是很好的学生进行吸收消化。最后，提出课后思考题，一个有趣的龟兔赛跑问题。龟兔赛跑结束后，兔子不服要再次挑战乌龟，乌龟却说只要兔子让它一段距离S1 米，兔子还是追不上它。乌龟给出的理由是：当兔子走完S1米，这段时间里，它自己又向前走了S2
米，而当兔子又向前走了S2 米时，乌龟又向前走了S3 米，这样推论下去，兔子每追赶乌龟一段路程， 乌龟就又向前进了另一段路程，于是它们之间总有一段距离，因此兔子始终追不上乌龟，兔子也觉得自己似乎又会输掉比赛，真的吗？
（五） 教学课堂反思
课堂教学从实际问题出发，指出问题、分析问题。因此在学习常数项级数定义、性质以及判断敛散性时便更容易理解掌握知识，学生首先依据相关知识的教学视频进行自主学习，培养其自主学习的意识，有效提升了教学效率，保证了教学质量。采用故事教学法，增强了学生学习的乐趣。农夫分牛的问题，使学生认识到探索新方法的重要性，即给古老问题注入了新活力，又体现了学生学习的主动性以及对级数的应用能力。运用问题驱动的教学方法，使知识点层层递进，环环相扣。运用经典例题教学法，巩固教学重难点，学习解题技巧。通过小组讨论，组员之间相互交流， 不仅能使基础好的学生获得成就感，也让基础一般的学生能够熟练的掌握课堂知识，学习效率得到整体提高。
（六） 优化教学评估
翻转课堂教学模式在提升教学效率的同时也优化了教学评估发方法，在单一的笔试考试形式基础上，加入一些其他类型的评价形式。如将小组课前自主学习和课堂协作的情况作为一项考核内容 [10]。对小组协作后进行自主探究得到的学习成果向全班同学展示，由其他组进行打分评价。也可写总结性小论文作为加分项，要求学生利用高等数学的知识，结合自己的专业课程，撰写总结性论文，培养学生的归纳总结能力和创新能力。
三 结语
翻转课堂教学模式是建立在现代信息技术基础上的一种教学模式，在国内外已有许多成功的应用 [5-6]。将其应用到高等数学课程当中，改变了传统的先教再学的教学模式。课堂教学不再是以教师讲授为主，而是以学习者为中心，在教师的引导下，学生积极求知学习，翻转课堂教学很大程度提高了课堂教学的开放性和自主性，很大程度激发学生对于学习的积极性，有效提升学生利用数学知识解决问题的应用能力并且培养其创新意识。纵然，翻转课堂教学也有一定的局限性， 比如知识缺乏系统性，学生的自我管理和制约机制不完善。但只要我们在教学改革的道路上不断探索，不断改进，从教学的各方面进行创新，一定能够完善和解决存在的问题，从而更好地促进翻转课堂教学模式改进与提高，让这种教学模式真正的为数学教学服务。
参考文献
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[5]赵文才，包云霞 . 基于翻转课堂教学模式的高等数学教学案例研究 [J]. 教育教学论坛，2017（49）：177-178.
[6]杨旭 . 基于高职数学的翻转课堂教学模式改进与实践 [J].课程教育研究，2018（11）：146.
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[9]周敏，孙浩，王奕昊 . 格林公式及其证明教学设计 [J]. 高等数学研究，2019（02）：42-45.
[10]张凯铭 . 翻转课堂教学模式在高校实践教学中的应用 [J].教育现代化，2018，5（40）：307-309.
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