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摘要：Matlab程序设计是目前大多数数学类专业及工科专业的必修基础课程，而三维曲面绘图是Matlab程序设计教学中一个重点内容，也是一个难点内容。本文通过对教学内容的创新及重构，提出了“双向点骨架矩阵”三维曲面绘制方法，并采用递进式案例教学设计，通过由浅入深的案例，使学生能比较容易地掌握三维曲面绘制方法。教学实践表明，该方法可以取得较好的教学效果。
关键词：Matlab三维曲面绘图；教学内容创新；递进式案例教学
本文引用格式：杨炼，等.Matlab三维曲面绘图递进式案例教学改革实践[J].教育现代化,2020,7(47):40-42.
The Practice of Progressive Case Teaching in MATLAB 3D Surface Drawing
YANG Lian,LI Jun-cheng,LIU Cheng-zhi
(School of Mathematics and Finance of Hunan University of Humanities,Science and Technology,Loudi Hunan)
Abstract:At present,matlab programming is a compulsory basic course for most mathematics and engineering majors,and 3D surface drawing is a key and difficult content in MATLAB programming teaching.Through the innovation and reconstruction of the teaching content,this paper puts forward the method of three-dimensional surface drawing of"two-way point skeleton matrix",and adopts progressive case teaching design.Through the case from shallow to deep,the students can easily master the method of three-dimensional surface drawing.Teaching practice shows that this method can achieve better teaching effect.
Key words:MATLAB 3D surface drawing;Teaching content innovation;Progressive case teaching
一 引言
Matlab软件由美国MathWorks公司开发的，自20世纪80年代中期推出以来[1]，其具有非常强大的数据可视化功能，可以将矩阵、向量和函数等通过简单的语句用图形图像形象地表示出来，目前它已成为国际公认的优秀数学软件之一，MATLAB语言已经成为科学工作者、教师和学生在科研和学习中的得力助手，特别是在高等数学、数字信号处理、仿真等课程的教学中[2-9]。Matlab使用起来非常方便。通过该课程的学习，不仅能培养和提高学生程序设计的能力，还可以培养学生利用数学工具及程序设计解决实际问题的能力。随着Matlab软件的广泛应用，Matlab程序设计已成为目前大多数数学类专业及工科专业的必修基础课程。作者所在的数学与金融学院，为培养学生的数学建模能力，很早就开设了Matlab程序设计课程。
二 教学内容创新设计
三维曲面绘图是Matlab程序设计教学中一个重点内容，也是一个难点内容。目前大多数教材仅仅是介绍了Matlab中绘制三维曲面的函数及用法，再介绍一些绘制三维曲面的例子。但都没有从原理及方法上进行阐述，使得很多学生没能真正掌握曲面绘图的方法。学生难以独立、自主的思考Matlab绘图的原理，难以激发学生的学习兴趣，最终达不到理想的教学效果。一般而言，教师讲解的知识来源于课本，因此对知识的讲授也很容易依赖于课本，这就较难造成思想的改变和方法的创新[10-12]。
在三维曲面绘图中，对于z=f(x,y)型的三维曲面绘制比较容易，有固定的绘图步骤。本文主要探讨利用Matlab软件对非z=f(x,y)型的三维曲面绘图方法进行教学内容创新及案例设计。
本文介绍一种基于“双向点骨架矩阵”的方法，利用Matlab绘制非z=f(x,y)型的三维曲面创新教学内容。三维曲面图形数据是指定图形各离散点在x轴、y轴和z轴方向上的坐标值。“双向点骨架矩阵”的主要思想是把三维曲面分割，然后展开，把(x，y)坐标平面看成矩阵的一边，z轴看成另一边，这样展开的图形就可以看成一个矩阵，绘制三维曲面图就很容易的解决，只要在(x，y)坐标平面找几个点，并且使第一个点和最后一个点重合，同一平面的z轴值是相同的。
为了更好地在教学中让学生比较容易掌握三维曲面绘图方法，本文介绍由简到难的递进式教学方法[13-14]使学生理解并掌握“双向点骨架矩阵”曲面绘制方法。在教学过程中，学生通过由浅入深的案例学习，循序渐进地掌握Matlab中三维曲面绘制这一难点问题。
三 递进式案例教学设计
（一）递进式教学案例一--画三棱柱面
该案例所绘制的三棱柱是一个上下底面为空的柱体，可以想象成是一个矩形平面经两次折叠而成。具体的绘制位置指定为柱体垂直于XOY平面上，且下底面在XOY平面上。注意到三角形需要4个点构成，根据“双向点骨架矩阵”方法，确定的两个方向分别是垂直方向与三角底面方向，最简单的两层三棱柱绘制代码如下：
x=[0 4 2 0;0 4 2 0];
y=[0 0 sqrt(3)/2 0;0 0 sqrt(3)/2 0];
z=[0 0 0 0;3 3 3 3];
surf(x,y,z)
结果见图1。
（二）递进式教学案例二--画四棱柱面
本案例在第一个案例的基础上增加了一个角，同时要求多绘制一层，即绘制三层四棱柱绘，所以需要在(x，y)坐标平面找五个点，使第一个点与最后一个点重合，五个点所对应的z轴坐标是相同的。绘制的原理与方法与绘制三棱柱一样，但确定点的坐标需要细心，实现代码如下。
x=[0 2 2 0 0;0 2 2 0 0;0 2 2 0 0];
y=[0 0 2 2 0;0 0 2 2 0;0 0 2 2 0];
z=[0 0 0 0 0;1 1 1 1 1;2 2 2 2 2];
colormap(cool)surf(x,y,z)
结果见图2。
（三）递进式教学案例三--画圆柱面
经过前两个的案例，学生基本可以理解并掌握“双向点骨架矩阵”曲面绘制方法。第三个案例是绘制圆柱，绘制圆柱是教材上一个案例，但如果直接来讲解该案例，许多学生理解起来会感到比较困难，有了前面两层三棱柱及三层四棱柱绘制方法的掌握，绘制圆柱则是水到渠成的事情，因为圆柱可以看成是多棱多层柱面，其绘制的原理是一样的，所不同的是需要根据角度来具体确定每一层圆的(x，y)坐标。其次，每一层所取的点越多，则圆就越光滑。具体实现代码如下。
m=20;
s=0:m; r=ones(size(s));
theta=(0:m)/m*2*pi; x=r'*cos(theta); y=r'*sin(theta); z=s'*ones(size(s)); colormap(white) surf(x,y,z)
结果见图 3。
（四）递进式教学案例四--画三角锥面
三角锥面与前面的柱面从外观上看区别很大，因此如果直接讲解如何绘制三角锥面，学生往往难以理解。而经过前面三个例子对“双向点骨架矩阵”曲面绘制法递进式的讲解与实践，可以让学生很容易理解到绘制锥面的方法其实就是将顶层的所有点视为重合的一个点，然后就可以按照绘制柱面的方法去实现。具体实现代码如下。
x=[0 4 2 0;2 2 2 2];
y=[0 0 2*sqrt(3)0;sqrt(3)sqrt(3)sqrt(3)sqrt(3)];z=[0 0 0 0;3 3 3 3];
mesh(x,y,z)
上述四个案例讲完后，学生基本掌握了“双向点骨架矩阵”曲面绘制法，这时可以要学生绘制三层的三角锥面来检验教学成效。三层三角锥面的绘制在本质上与第四个案例中双层三角锥面的绘制原理一样，所不同的是顶层多了一层点而已，但定位这些点的具体坐标仍有一定的难度，这有利于培养学生的发散思维。
四 结语
本文介绍了基于教学内容创新的三维曲面绘制方法的教学设计及教学案例，并以三维曲面绘制教学内容为载体重点介绍了递进式案例设计的思想与优势，从作者近几年的教学实践结果来看，通过本文介绍的递进式案例教学，学生能够很好的掌握三维曲面绘制的方法。所采用的递进式案例讲解能激发学生的积极性、主动性、创造性，从而提高学习的主动性及分析解决问题的能力。
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