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摘要：高等数学课不仅是理工类专业的重要理论基础课，而且已经深入到生物、医药卫生、管理以及人文等社会科学领域中的各个方面，应用越来越广泛。本文以微元法建立微分方程为例，在当前大众化教育背景下，探讨案例教学在高等数学教学中的意义，重要性和可行性及局限性，并针对局限性给出建议。
关键词：高等数学；案例教学；教学改革
本文引用格式：李倩.《高等数学》教学中案例教学的应用探讨——以微元法建立微分方程为例[J].教育现代化,2020,7(40):148-151.
Application Discussion of Case Teaching in Higher Mathematics Teaching
--With Example of Establishing Differential Equation by Microelement Method
LI Qian
(Science College,Xi'an Technological University,Xi'an,Shaanxi)
ABSTRACT：Higher mathematics is an important theoretical basic course for science and engineering majors,which has been applied in various aspects of social sciences widely,including biology,medicine and health,management and humanities.With example of establishing differential equation by microelement method,this paper discusses significance,importance,feasibility and limitations of case teaching in higher mathematics teaching under background of current popular education,and gives suggestions for the limitations.
KEY WORDS：Advanced mathematics;Case teaching;Teaching reform
高等数学是大学一门重要的课程，是其他课程学习的基础之一，因此学生们在初始学习阶段一定要重视对高等数学的学习，不断提升自身的逻辑思维能力，为后续的学习奠定坚实的数学基础。当前社会需要的具备创新能力和创新意识的人才，要求他们能够将所学的知识转化成解决问题的能力。因此，在开展高等数学教学的时候就需要将数学的思想和实际生活工作中遇到的问题联系起来，不断提升学生们分析问题、解决问题的能力。案例教学法作为一种基于真实事件构建的教学教学方法，侧重于解决实际问题，将这种方法应用到《高等数学》教学中能够较好地提升学生们提升学生运用数学知识的能力。和传统的教学方式相比，这种教学方式能够较好地锻炼学生们解决实际问题的能力，提升教学效率和教学效果。案例教学作为一种先进的教学模式，在众多专业中都得到了较好的应用，促进了大学生的专业发展。
一 高等教学的介绍
高等数学是理工科重要的理论基础课，也是增强大学生文化素质的一项措施。已列入部分艺术类专业的教学计划。可见，高等数学已广泛应用于生物、医药卫生、管理学、人文科学等社会科学的各个领域。教师经常强调高等数学对学生的重要性，但是，如何运用它呢？如何把高等数学作为高校重要的基础理论课之一？它所提供的思想方法和理论知识，不仅是学生学习专业课程的重要工具，也是培养学生创新能力的重要途径。它还可以增加学生后续学习的知识储备，为学生终身学习奠定基础。根据高等教育人才培养目标，高等数学课程教学必须以加强数学知识的应用为指导，以培养学生的创新能力为目标，突出数学知识与相关专业内容的结合。这也是开展哪里教学的意义所在。
二案例教学概述
传统的高等数学教学内容主要是概念、定义、性质、定理等知识点，以及帮助消化和理解这些知识点的实例和练习。知识体系完善严谨，但教学现状是学生对高等数学在未来工作和专业学习中的运用不清楚，而基于数学知识的后续课程的教师相互学习，学生对数学基础不满意，因此强调理论而忽视应用的教学模式已不能满足高校建设的要求。所谓案例教学法，就是从专业实际问题出发，通过合理简单的演绎和归纳，从而得出数学知识。引入数学知识后，可以通过专业问题进一步巩固数学知识。在这种教学方法中教师充当的是激励者和课堂设计人的角色，在老师的引导下，学生们积极参与到学习讨论中，进一步提升教学质量和教学效果。案例教学法最初是受进步教育运动和行动主义思想的影响，传统的教学方式不能满足现工商业发展的需求，在此基础上提出了案例教学，经历了上百年的发展和实践，案例教学法逐渐趋于完善。这种教学方法的特点有以下几点：①整体框架明确。以往的教学方法更加倾向于通过问题创设相应的教学情境，激发学生们的学习兴趣，但这只是解决了表面问题，没有改变传统教学中以老师为中心的教学模式。而案例教学法强调学生们的学习自主性，老师在学习中担任引导者，为学生们提供一个开放的环境，增加学生们学习的主管能动性，促进学生们实现知识的有效应用和内化吸收，同时也防止在教学过程中出现学生们自由选择过度的情况。②典型性。案例教学注重事物深层次矛盾关系的典型性，所分析的案例越典型，其包含的本质也就越深刻，学生们的学习也就更加深入。③真实性。在案例教学中主要事以选取实际发生的事件为教学依据，分析的问题也是注重表现出来的普遍现象，不添加个人的认识，只是在事实的基础上进行适当的加工。④具有针对性。案例教学中的案例是从现实中汲取的，能够体现出具体的知识点，引发学生们对问题的思考，提升学生们的综合素质。⑤复杂性。案例教学法可以通过一些复杂的问题引发学生们思考的兴趣，发散学生们的思维，其复杂性具体展现在案例背景的复杂性、案例中解决方式的复杂性、案例所反映的深层次矛盾的复杂性。
与传统的教学方法相比，案例教学法具有以下优点：①案例能够将抽象的原则和概念具体化，并将其置于一定的实际情境中。学习者能够清楚地了解这些原则和概念在现实生活中的运用和表现；②案例教学注重培养学生的创新能力和解决实际问题的能力，而不仅仅是获得原则和规则；③学生通过案例教学获得的知识是内化的知识；④案例教学大大缩短了教学情境与实际生活情境的差距，也能改变学生对数学是纸上谈兵的错误感觉。在案例教学中，与同声传译相比，学生的学习风格发生了很大的变化。在传统的教学中，学生往往是以一种相对被动的方式进行学习的，只从教师的话语和课本上写下来。相比之下，案例教学的典型特征是学生的主动性和参与性[4]。要求学生课前预习课本内容，积极参与课堂案例讨论活动。无论是课前预习还是课堂讨论，都离不开学生的积极参与。可以说，在案例教学中，学生要比以往承担更大的学习责任。其次，案例教学将学习视为一种群体性的、社会性的互动，而不仅仅是学生孤立的自我学习。第三，在案例教学中，教师不是先告诉学生要学什么、怎样示范，而是要求学生自主、合作地探索。总之，在案例教学中，学生的学习有三个基本点，即“参与”、“合作”和“研究”。
三 案例教学法实施的原则和构想
（一）案例选择原则
在案例教学中，案例的选择至关重要，这直接关系到教学效果的好坏，一个典型的、好的案例能够达到事半功倍的效果。因此，在进行案例选择的时候一定要全面考察，具体来说，要考虑一下几个方面：首先，所选择的案例的目的性要十分明确。在选择案例的时候一定要有针对性，明确要考察的学生的能力和知识点，然后选择典型的案例。其次，所选的案例要具有一定的趣味性，能够充分调动学生们学习的积极性，尤其是针对《高等数学》这种难度较大，比较枯燥的课程更需要选取具有较大趣味性的案例，帮助学生们克服对数学的畏惧心理。最后，案例要具有代表性和广泛性。在选择案例的时候要把握好界限，考虑到学生们正处于知识的学习接收阶段，尚未形成系统的知识体系，因此案例既不能太难也不能太简单，太简单就无法引起学生们的兴趣，也无法深入探讨案例的本质，太复杂则会让学生们产生畏惧和抗拒心理，要让学生们“跳一跳，够得着”，最好还要和当下实时结合起来，选择具有广泛性和代表性的案例，这有这样才能充分发挥学生们的主观能动性。
（二）案例教学法实施构想
《高等数学》是大学主要的数学课程之一，课程设计的内容比较多，所学时间也相对较长。一些学生在学习过程中缺乏基础，进而对高数的学习产生了畏惧的心理，长此以往就失去了对数学的学习兴趣。在开展《高等数学》教学的时候引入案例教学，可以激发学生们的学习兴趣，让学生们将数学和实际生活联系起来，恶意实现对数学知识更好的掌握和运用。例如，在学完微分方程之后，教师可以引入新产品销售问题的案例，通过对相关案例的分析引导学生们学会用微分方程建立数学模型，将微分方程的知识和实际生活联系起来，实现对数学知识的内化吸收和有效运用。一般来说，案例教学包括以下四个步骤：设计案例、剖析案例、解决案例、推广及升华案例。其中，设计案例前面已经提到过，在进行案例设计的时候要严格遵循目的明确、真实性、趣味性、代表性和广泛性的原则。第二个步骤剖析案例主要就是对案例进行分析，教师首先要引导学生们将案例的题意读懂读透，明确问题的背景和要解决的问题。之后，教师可以适当地提出一些问题，通过学生的回答或者是学生和学生之间的讨论实现对问题的深入探讨。最后，教师根据学生们回答的情况和讨论的结构对解题思路和方法进行归纳和总结。第三个步骤，解决案例，在对第二步骤的基础上，将案例中涉及到的数学符号列出来，并引导学生们发现其中的关系，建立解决案例的数学模型，最终求得案例的答案。第四各步骤，推广及升案例，这一步骤主要是举一反三，教师再列举一些类似的案例，让学生们运用之前总结出来的方案解题，并对这些题进行归纳总结，找出他们的共同点，对个案进行推广和升华。
四案例教学法在高等数学教学中的应用
案例教学法不仅能使学生了解数学知识的背景，而且能加强数学知识的应用。因此，它是高等数学教学的一种有针对性的教学方法[1-2]。
接下来，以微元法建立微分方程的案例教学为例，探讨案例教学法在高等数学教学中的应用。
（一）提出的问题
由于诸多因素对变量变化的影响，在经济、生物学等学科、日常生活、工农业生产中提出的实际问题的规律性往往不明确或不能用一定的关系来表达。为了分析变化过程中各因素在小时间间隔内的动态平衡，可以得到一个近似相等的关系，进而建立问题的数学模型。作为运动员或想通过增加运动量来减肥的人，他们关心的是体重。在课堂上，我们引入控制体重的问题来说明用微元法建立微分方程的情况[3]。
（二）问题分析
把一个人的体重w看作是时间w（T）的函数，研究它是如何随时间变化的。假设：①体脂是能量储存和供应的主要方式，也是影响体重的主要因素，每公斤脂肪的能量可以转化为D=4.2×105焦耳的能量；②函数w（T）是连续可导的；③假设一个人每天的能量摄入是1焦耳，每天活动消耗的每公斤体重的能量是焦耳，而每天的基本代谢消耗与体重成正比，是BW，其中B是常数。
（三）模型的建立
那么，在时间段内，能量改变情况是：体重改变引起的能量微小变化为[W(t+△t)-W(t)]D摄入与消耗的能量之差(微元)为A△t-(B+R)W(t)△t根据能量平衡原理,上面两者应相等，得：[W(t+△t)-W(t)]D=A△t-(B+R)W(t)△t两边先除以△t(△t≠0)△t，然后令△t→0，取极限，得W'(t)=a-kw(t)其中a=A/D，k=(B+R)/D，上式即为所求的数学模型。
（四）模型的解。
当时间t=0时，被考虑人的重量为w（0）=W0。通过分离变量的方法，很容易得到加权函数w（T）=w0eKT+（1-ekt）a/K。
微元法是微积分应用中一个非常重要的辅助方法，基于对微积分的本质上的认识，微元法能帮助我们在探讨纷繁复杂的事物变化的规律时，对事物的变化进行合理的简化，能更清晰地把握其脉络[4]。同时，应用微元法本身也是对微积分思想的一个更深的理解的过程。
五 结语
案例教学在高等数学教学中的可行性。从高等数学的发展历程中不难看出，高等数学是随着其他学科的发展而发展起来的，具有广泛的应用前景。因此，除了“基础”高等数学还有“工具”的一面。它是许多后续专业课程的工具，突出了高等数学工具性的一面，为案例教学提供了丰富的主题，使案例教学具有实践的可行性和可操作性。
案例教学的局限性在于：①费时费力，往往给人一种投入时间长、获取内容少的感觉；②案例教学对教师的专业素质和教育能力提出了更高的要求，这对普通教师来说是困难的；③教师可能没有用足够的多维视角来看待课堂上的问题；④不是所有的学生都对案例教学感兴趣[5-6]。
六 克服案例教学的局限性建议有以下几点:
（一）提升教师的专业素养
教师的专业素养直接关系到教学效果的好坏，在案例教学中不仅涉及到本学科的知识，可能还会涉及到交叉学科的知识，这就需要老师们有较高的专业素养，在教学中不断学习、不断钻研，才能在教学中更好的开展案例教学。具体来说，老师一方面要提升自身信息收集能力，借助信息技术的方式进行信息的收集和筛，选择合适的教学案例[7]。另一方面，借助微课、慕课等教学手段制作案例，便于学生们提前预习，提高教学效率。以微课的制作为例，老师在进行微课制作的时候可以选取DV作为拍摄工具，使用DV对教学过程进行录制，后期再使用绘声绘影进行处理，加上片头文字，对视频进行编辑和美化。此外，还可以用录屏软件进行录制，需要老师准备电脑、麦克风、录屏软件、PPT等，在做好PPT之后使用录屏软件进行讲解录制，建议录屏软件选择Camtasia Studiov6.0.3。此外，教师在案例教学过程中，还要积极运用讨论法、辩论法等教学方式，确保教学手段的多样化。
（二）合理安排案例教学课堂时间
教师在教学过程中要合理安排案例教学的时间，在上课期间尽量把握案例引入的时间,积极引导学生去发现问题、分析间题和解决问题。具体来说，首先，在教学过程中要将各种巧妙的提问贯穿其中，激发起学生们探究问题的欲望。其次，要组织学生们在规定的时间内进行课堂讨论，而教师在学生们讨论期间要积极融入，确保他们能够有效利用讨论时间，保证讨论主题的集中[8]。之后，在讨论完毕之后老师还要给予学生们发言的机会，针对学生们的发言老师也要进行适当的鼓励，从而实现对讨论主体和节奏的有效把握。最后，老师要以精炼、重点突出的语言来对案例进行总结和归纳，将案例和所学的数学知识融合在一起，让学生们在分析案例的基础上准确掌握基本原理和概念，从而不断增强自身运用理论分析实际问题的能力。此外，老师还要对学生们讨论中的表现进行及时的评价，为学生们树立自信心，同时也为下次学习的开展奠定基础。教师尽量提高自己的专业化水平,提高认识角度和发现问题的能力。
（三）强化案例教学效果的评价
教学效果评价是案例教学的重要部分，因此教师在开展案例教学的时候要事先制订好对学生的学习状况进行的评估与预测体系。具体来说应该包含准确度指标、延展化指标、参与度指标等等。其中准确度指标就是指案例教学是否能够反映出高等数学理论的知识点，主要考核案例的典型性及其和理论知识点的切合程度。延展化指标就是指是否可以及其学生们对所学理论知识的拓展，主要考察学生们是否能够从案例中发现普遍规律，同时能够有意识的对知识进行引申[9]。参与度指标主要就是指学生们参与到课堂提问和讨论的程度，这主要考察案例是否能够调动学生们学习的兴趣的。根据案例教学评价的结果，教师可以对案例教学进行适当的改进，以契合学生们的实际学习状况，确保案例教学的有效性，实现案例教学的不断完善，提升《高等数学》教学效果。
参考文献
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[8]陈晓婷.案例教学在高职院校高等数学教学中的应用探究[J].华夏教师,2016(07):53.
[9]宁桂英.案例教学在高等数学教学中的应用探讨[J].价值工程，2013,32(18):247-248.
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