浅谈问题驱动的线性代数教学方法论文

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摘要：本文针对目前线性代数教学中面临的问题，讨论了问题驱动模式的线性代数教学方法。该教学方法应用于线性代数课程的教学，不仅使学生对线性代数课程产生浓厚的学习兴趣，激发学习动力，同时也让学生们了解这门抽象的代数理论在实际中的应用，深入认识和理解线性代数课程的基本内涵，使教与学都变得轻松并且教学效果达到预期目标。

关键词：线性代数；问题驱动；教学方法

本文引用格式：肖志华,等.浅谈问题驱动的线性代数教学方法[J].教育现代化,2019,6(70):58-60.

线性代数是高等院校理工科和经管类等专业的一门重要的数学基础课程，它是展示数学思想和抽象思维的一个良好载体，不但为学生提供系统的基本代数知识，而且也为后继课程提供必备的数学基础。该课程主要包括行列式、矩阵及其运算、线性方程组、向量组、二次型和线性空间等内容。其基本教学目的是让学生理解行列式和矩阵的基本知识，熟练地掌握矩阵运算工具，并学会理解矩阵运算的几何意义，用矩阵处理向量空间的问题。线性代数的基本理论和思想方法在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用，是解决许多实际问题的有力工具[1,2]。线性代数的显著特点是比较抽象，学生通过对该课程的学习，可以体会到数学抽象思维的魅力，用数学的思维方式描述和理解数学现象，同时将该思维方式融入到将来的学习、工作和生活中。但是，正是由于课程的抽象程度高、概念性强、逻辑严密等特点，再加上课程改革缩减课时，使得线性代数的教学面临多方面的问题。教师如何教好、学生如何学好线性代数课程，成为大学数学教学中特别值得关注的问题[3,4]。

一 线性代数教学目前面临的普遍问题

首先，大部分高等院校工科和经管类等专业使用的线性代数教材往往偏重自身的理论体系，内容的编排多以理论及公式推导证明为主，采用“定义－性质－定理—计算”的模式，很少出现实际案例，使得教学模式相对固定。

其次，大部分院校在课程改革中，缩减了线性代数课程的学时，明显呈现课时少、内容多的特点。教师为在规定学时内完成教学大纲要求的教学任务，很难在课堂上让学生参与，也没有太多时间讲过多、过于复杂的案例，最终课堂完全变成了定义与定理的堆砌，使课程变得枯燥无趣，课堂毫无生气，学生也失去了学习的兴趣。

再者，未考虑不同专业类型、不同人才培养需求等差异性使用统一教材和相同的教学模式。这就使得不同专业、不同认知水平的学生在学习过程中往往是生搬硬套、死记硬背，不能灵活运用数学抽象思维方式处理一些专业相关的实际问题，不能达到预期的教学效果，对于预期的抽象思维、逻辑推理等思维能力的锻炼也是收效甚微。

因此，积极开展教学模式创新和教学体系探研以满足不同专业类型人才的培养要求，成为大学教师当前必须思考的重要问题。

二问题驱动模式的线性代数教学方法

近年来，问题驱动教学模式受到国内外教育界的广泛关注[5-9]。该教学方法在让学生主动的学习的同时，也让他们有思考地学习，探究式地学习。这种教学模式有很多比较显著的优点：一是教师以一系列紧密联系的提问的形式作为课堂教学的切入点，激发学生的求知欲望，产生稳定、持久的学习兴趣，使他们能接受问题、讨论问题和解决问题，变被动为主动；二是以问题为纽带，串联起许多看似零散的知识内容，形成框架式的知识体系，便于学生宏观的把握，搭建适合自己的知识框架，应用时信手拈来，增强应用意识和应用能力；三是教学过程中完整地展现了提出问题、分析问题和解决问题的全貌。在此过程中，既能展示课程理论的应用价值和课程学习的必要性，又能通过寻求问题的解决方案活跃思维，提升创新能力。

将问题驱动模式的教学方法应用于线性代数课程，把抽象、枯燥的教学内容设计为一系列“问题”进行讲授，不仅可以使学生对线性代数课程的学习兴趣浓厚，学习动力充足，学习气氛活跃，同时也让学生充分了解抽象的代数理论在实际中的应用，进而深刻地认识和理解线性代数的基本内涵，使教与学都变得轻松并且取得预期的教学效果。

（一）提出问题

问题驱动教学的目的是通过设计一系列有价值的问题作为出发点，逐步地引导教学，串联和总结学生学习和理解所学课程的本质与核心思想。设计的问题是学生学习的兴奋点，也是学生理解和掌握新知识的关键。问题设计合适与否直接影响着整个教学过程的效果。为此，教师必须熟悉教学内容，精通知识脉络，充分了解学生的认知基础、专业素养等情况，根据讲授内容的重难点，精心组织教学内容，设计一系列有价值的问题驱动课堂教学，提升课堂教学质量。

为了平衡学生之间知识水平的差异性，应有意识地选择学生容易接受、难度适宜并且利于切入线性代数基本理论、方法和技巧等相关教学的好问题，通过要求学生解决问题，达到激发学生主动学习、有思考的学习的目的。例如笔者在线性代数中关于矩阵的逆这一部分，设计了如下案例：

从最简单的一元一次方程axb出发，当a0时，方程的解为xa1b。这时，在保持未知量的次数均为一次的同时，增加未知量的个数和方程的个数，得到的就是n元一次线性方程组。由矩阵乘法，该线性方程组可以表示成AXB的矩阵形式，其中ARnn，XRn1，BRn1.此时，便可发现线性方程组的矩阵形式与一元一次方程在形式上非常相似。那么，一个自然的问题：是否可以利用这种形式上的相似性，以及一元一次方程的求解方法帮助我们求解上述矩阵形式的线性方程组呢？一元一次方程求解过程中，关键在于一个复数a≠0有倒数a1，那么我们自然地期望矩阵A也有一个“倒数”A-1。

我们知道，对于任意的n阶方阵都有：

AEEAA，其中E是n阶单位矩阵。从乘法的角度来看，单位矩阵E在方阵中有类似于1在复数域中的性质。而在复数的乘法运算里面，一个复数a0的倒数a1可以用等式aa11来刻画。此时，就很自然地引入矩阵的逆的概念：如果有n阶方阵B，使得ABBAE，则n阶方阵A称为可逆的，B就称为A的逆矩阵（简称逆），记为
A^-1，以等式AA1A1AE来刻画A-1的本质性质。

一个有价值的问题应该自然地串联起多个相关内容，形成一个个知识点，搭建一个合理的知识框架。以该问题为纽带，学生们梳理脉络就能有机地串联起框架下的内容，形成适合自己的知识体系。这样不但有助于学生对知识的宏观把握，便于理解记忆，还有助于学生对各个知识点的灵活应用。问题设计总体上应遵循以下几点：（1）难度要适宜。过于简单的问题没有挑战性，不能激发学生的学习兴趣，也不利于体现课程知识的价值；而过于复杂的问题课时不允许，也不便于授课教师切入教学内容。（2）知识要匹配。结合学生认知水平和专业素养，尽可能设计贴合专业方向且线性代数相关理论和方法能完美解决的实际问题，这样不仅易于学生接受，而且更能体现课程的重要性和学习价值。（3）内容要丰富。能以问题为纽带，串联起线性代数课程的多个知识点，形成一个比较合理的知识框架，使学生们有比较宏观的把握，既不容易遗忘，还能灵活应用。此外，线性代数课程的问题设计还需要考虑全局，对课程整体的知识结构进行布局，安排一系列问题的次序。最终的问题设计应环环相扣、层层深入，使得学生以问题的求解为线索，通过分析和解决这一系列的问题，获得课程的整体性知识结构，掌握课程的全部内容。

（二）分析和解决问题

提出合适的问题后，教师在这一阶段根据学生现有的知识储备，突出过程性体验教学活动，重在使学生学会思考，引导和鼓励学生提出自己对解决相关问题的观点和看法。教师应及时地启发和引导学生对问题进行思考，鼓励学生敢于思考，开拓思路，激发学生的主动性，引导学生提问题、分析问题和解决问题。

2.1节的案例中，在引出矩阵的逆的定义后，我们自然会问：在什么条件下，矩阵A是可逆的，或者说矩阵A的逆存在？如果存在，它的逆矩阵如何求？同时，又如何利用所求的逆矩阵求解线性方程组？学生在分析和思考这些问题的过程中，自然地串联起逆矩阵的全部相关内容。在倒数中，要求复数a0，那么，由倒数的存在条件，类似地，就自然地给出矩阵A可逆的充分必要条件：|A|0，即矩阵A是非退化的。接着便可引入伴随矩阵以及矩阵的逆的计算等其他相关知识。在此基础上，我们便可重新理解线性方程组的克莱姆法则。由矩阵的逆与复数的倒数之间的类似关系，我们便有：对于n元一次线性方程组AXB其中ARnn，XRn1，BRn1，当系数矩阵A的行列式不等于零，即矩阵A可逆时，方程组有唯一解，且解为XA1B.此时，代 入 矩 阵 逆 的 伴 随 矩 阵 表 达 式 A1 
1| A |A* ， 有 X1|A|A*B，这就是线性方程组的克莱姆法则。注意到，在线性方程组AXB中，只有当系数
矩阵可逆时，才能用A-1求解，此时矩阵A为方阵，即方程个数与未知量个数相同。那么一个自然的问题是：当方程个数与未知量个数不相等时，方程组怎么求解？是否有一般性的结论？在一般情形下，能否进一步推广A-1，得到类似的结论？此时就能引申出矩阵的初等变换、等价标准型和线性方程组解的一般理论等内容，同时也能激发部分学生的求知欲望，查阅相关书籍和文献，获得矩阵的广义逆等相关知识。

这里，以问题（包括最初设计的问题以及在分析和解决问题的过程中引申出的环环相扣、层层深入的问题）求解为纽带，不仅串联起了过去、现在和未来的知识内容，而且非常自然地展示了数学逻辑推理的魅力和数学研究的过程。在此过程中，学生既学习了知识，同时也体会了数学思维方式与数学研究，培养了学生提出问题、思考问题、分析和解决问题的能力，提高了他们的创新思维和创新能力。

（三)归纳总结问题

线性代数课程理论性强，且每一章节的内容都有内在联系。可以通过设计合适的问题作为切入点，在分析和解决问题的过程中逐步引入新的定义和理论，同时通过问题驱动的教学模式可以很大程度的调动学生学习的主观能动性，激发他们对线性代数的学习兴趣。以问题为纽带，将各部分理论知识串联起来，由零散到整体，引导学生逐步的把知识点贯穿到各个章节中，形成一个整体的知识体系。根据课程进度适时总结，帮助学生搭建适合自己的知识框架。通过带有开放性和研究性的问题，培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。学生课后可以作如下安排：（1）回顾课堂上从问题的提出到问题的分析和解决的完整推演过程，以书面的形式写出解决问题的总结报告，扩充自己的知识储备，更新自己的数学思想，归纳总结同一问题在不同视角下的解决方案，搭建自己的知识体系；（2）适当的思考具有开放性和研究性的问题或课题，试着分析和解决相关问题，在课堂上与同学和老师分享、讨论获得的想法和结论。教师需适时地对学生提交的作业、获得的结论等给出合理的评价和反馈。

三 结语

线性代数是高等院校一门重要的数学基础课程。线性代数课程具有抽象程度高、概念性强、逻辑严密等特点。因此，如何采取合适且高效的教学方法引导学生学习线性代数的基础知识、提高其运用知识解决实际问题的基本技能，是目前线性代数教学改革的首要任务，也是大学数学教师在教学中经常思考的问题。问题驱动的教学是一个非常值得尝试的教学方法。问题驱动的教学方法应用于线性代数课程的教学，将抽象、枯燥的教学内容以“问题”设计模式进行讲授，既在有限的课时内高效完成教学大纲要求，同时调动了学生的积极性。通过从学生已有的数学知识入手，逐步提问、引申、归纳总结，使学生能更具体地理解抽象的线性代数知识，对不同专业，不同认知水平的学生都能达到预期的学习效果。

参考文献

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