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摘要：大学数学中，代数理论较为抽象，特别是关于向量空间的内容，让学生望而却步。在教学中我们尝试着探索向量起源与发展的完整轨迹，与课程内容紧密结合，使数学文化在代数理论教学中成为桥梁，帮助学生脱离枯燥学习的苦海，进入快乐学习的知识汪洋。同时，了解课程内容背后的历史故事，才能从根本上真正认识和掌握理论。
关键词：数学文化；代数理论；向量空间；课程教学
本文引用格式：沈婧芳等.向量文化在代数理论教学中的渗透与探索[J].教育现代化，2019，6（46）：52-53+65.
一 引言
从以《几何原本》为标志性贡献的古希腊文明，到文艺复兴以后以牛顿、莱布尼兹建立微积分方法而开创的科学黄金时代，再到19世纪与20世纪之交以数学方法推动相对论的研究而建立的现代文明，最后到今天正在经历的智能时代的文明[1]，向量理论孕育的完整线索就隐藏期间。我们通过从中抽丝剥茧，在数学与物理学的交织中探寻向量的起源。
二 向量思想萌芽
向量在还未被作为一个概念正式提出的时候，便已存在于我们所关心的一些对象中，如力、速度、加速度等，这些量不仅有大小而且有方向，本质上就是向量。然而，人类认识向量、提出向量理解向量、应用向量却经历了漫长的过程，许多科学家为此做出了贡献。
科学巨著《自然哲学之数学原理》中，牛顿从运动和力的角度，给出的力的合成与分解，并讨论了平行四边形法这一规律要满足的条件。遗憾的是，牛顿并没有提出数学的向量这一概念。
力学的发展推动了数学理论的建立，在静力学中，法国的瓦里翁和潘索提出了“力矩”这一概念。由此可知，人们对于世界的认识都是来自于我们对身边现象的观察。数学概念迟迟没有出现，是因为这其中还需要经历从具体事物上升一般规律的抽象过程。
法国数学家、天文学家拉普拉斯（P.S.Laplace，1749-1827）在研究行星运动动量矩的过程中也应用了从一个坐标系统到另一个坐标系统的力矩变换定律。泊松、潘索、泰特、拉格朗日等人的后续工作研究使力与力矩之间、动量与动量矩之间的相似性更为明显[2]。
在上述物理学中力学的发展过程中处处可见向量理论若隐若现，然而遗憾的是，由于物理学家们没有充分意识到力学中力矩、角速度、笛卡尔坐标等概念在数学方面与向量相对应的显著特征，当时没能衍生出向量理论。数学的概念和理论从来都不是凭空产生，背后都有着研究的背景和故事，学生一旦了解这一点，就能更加深刻地认识数学的本质和未来的发展。
三数学的符号化进程
现代向量理论概念的正式产生发展还是要从数学符号化与复数的产生说起。正是符号化和复数带给了向量理论诞生所需要的基础条件和丰沃土壤。
数学符号化发展的黄金时期是欧洲文艺复兴时期，以韦达的符号代数为界，前期出现了大量的运算关系符号，而后期由于韦达符号意识的影响，代数学获得了长足的发展[3]。
向量空间理论便是抽象和符号的典范产物，莱布尼兹在符号化的基础上探究表示叠合点集和类似向量的理论。在莱布尼兹写给惠更斯的信件以及他后来寄给惠更斯的论文中他提出了这样一个系统——运用符号的技巧，不用添加太多点和线，就可以进行几何或者线性分析，并且能像代数表达量值一样直接表达位置。他暗示了这个系统可以用来作为空间分析的一种直接方法。这个系统的提出对向量理论发展的推动作用十分明显，格拉斯曼
（Grassmann，1809-1877）就是在这个系统的基础上提出了他的扩张演算，发表了《扩张论》。
四扩张论与四元数
格拉斯曼还在《扩张论》和他后来的几篇论著中详细论述了超复数的概念，对超复数总共给出了16种不同类型的乘积，其中包括高阶乘积和上述所示的向量乘积。他还给出了这些乘积在物理学领域中力学、磁学、晶体学上的具体应用。很可惜的是，格拉斯曼的表述风格含混不清，语言晦涩，导致他的这些蕴藏巨大价值的著作很少有人去读或读懂。很长的一段时间内，格拉斯曼的工作都处于被忽视的状态，这也导致了由几何线索出发的向量空间理论未能在格拉斯曼扩张理论的基础上发展开来。
与《扩张论》出版后很长一段时间内的沉寂无名相比，哈密顿同时期所提出的四元数理论则一面世就被无数物理学家和数学家研究和应用，引发了当时科学界的思想风暴。哈密顿所描写的四元数具有如下形式：a+ib+jc+kd，其中i,j和k起着i在复数中所起的作用，而a,b,c,d为实数。a表示的实数部分称为四元数的数量部分，而其余的是向量部分。向量部分的三个系数是点P的笛卡儿直角坐标，而i,j和k是定性的单元，几何上其方向是沿着三根坐标轴（莫里斯·克莱因，2014）。依照哈密顿的定义，可以实现四元数的加减乘除。
哈密顿还引进了一个重要的微分算子，它产生向量。这个向量随着空间的点而变化，现在称为u的梯度。它代表u的最大的空间增长率的大小和方向。哈密顿在四元数上的研究是近代西方数学的一个伟大发现，四元数从此成为代数学研究的关键工具。四元数理论系统可以说是超复数理论的开端，它的出现对于引出向量分析的作用是无可替代的。由于四元数不满足乘法交换律，但满足结合律等，它自成一套新颖有用且逻辑前后符合的理论体系。由此引发了代数学的高速发展，行列式、二次型、矩阵、向量理论、超复数等一系列的代数重要理论纷纷建立。
五 四元数到向量理论的过渡
在哈密顿创建四元数之后，四元数被迅速的运用到物理学中，在这方面，泰特和麦克斯韦为四元数的推广和深入研究做出了巨大贡献。泰特在1867年出版了著作《论四元数基础理论》，他非常关注四元数在物理方面的应用，并提出了算子：。
麦克斯韦作为泰特的好友，可以猜想他对四元数的兴趣很可能是来自泰特。麦克斯韦在其1873年出版的物理学巨著《电磁通论》中，很多观点的表达方法是用向量的分量符号撰写的。书中同时使用了笛卡儿坐标和四元数两种形式，引用了有关向量和四元数的内容，对向量进行了点积、叉积和混合积的运算。
在此之后，从四元数渐渐过渡到向量分析理论的一个重要推动人物是克利福德。他吸收了由泰特、麦克斯韦所展现的四元数理论，并对格拉斯曼的《扩张论》有着浓厚的兴趣。这促使他完成了关于向量分析理论最重要的著作即《动力学基础》。在这部著作中他分别定义了向量积和数量积，对算子有了更深入的讨论，同时研究了线性向量函数。克利福德的工作使现代向量理论的成型又向前迈动了一大步。
六吉布斯-亥维赛向量理论
独立的三维向量代数和向量分析，也就是现代意义下的向量空间理论，是由吉布斯(J.W.Gibbs，1839-1903)和亥维赛(O.Heaviside，1850-1925)建立的。他们的理论大概在19世纪80年代分别独立面世，其内容有相通之处也有不同特色。由于吉布斯所提出的向量理论略微早于亥维赛，我们先来讨论吉布斯向量理论。
吉布斯是闻名世界的美国化学家、理论物理学家，他的名著《统计力学基础原理》是他最伟大的成就之一。吉布斯对向量的研究体现在他私自印刷的小册子《矢量分析基础》中，因为他认为哈密顿的四元数不适合于用来研究物理学，想要找到一种更优越的系统来作为数学物理中的关键工具。
我们研究吉布斯向量理论的来源，发现他基于对电磁学的兴趣阅读了麦克斯韦的《电磁通论》，了解了四元数的概念，并且受到格拉斯曼、泰特等人的影响。吉布斯的系统虽然从中可以看见格拉斯曼系统和哈密顿四元数的影子，但他的系统分析和表述在很多领域都是原创性的，对当时的数学物理学界的影响十分深远。在此意义上，可以说吉布斯的向量理论是应运而生，是时代催化下的产物。
七小结
向量空间理论的诞生过程中，哈密顿四元数的创立和格拉斯曼扩张理论的演变无疑是两条重要的线索。四元数的出现直接带动了向量理论的产生，而格拉斯曼的扩张论一开始的作用并不明显，但却在之后间接促进了向量空间的公理化进程。在这一理论诞生的同时，其他数学、物理学分支的发展也伴生出现，极大地促进了科学界的繁荣。因此，向量空间理论的研究让我们得以独立的观察数学核心理论的诞生及其与其他领域理论的复杂关系，帮助我们理顺科学的脉络，进行更加深入的研究。
参考文献
[1]张奠宙.关于数学史和数学文化[J].高等数学研究，2008，11(1)：18-22．
[2]孙庆华.向量理论历史研究[D].陕西：西北大学，2006．
[3]梁建.试论数学符号对数学发展的影响[D].南京师范大学，2005．
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