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摘要：运用等价无穷小求极限是学习的一个难点，针对学生运用等价无穷小求极限存在的问题，利用等价无穷小的定义、等价无穷小的充要条件和无穷小等价代换定理来重新理解等价无穷小，消除学生什么时候可以使用和怎么使用等价无穷的疑惑，达到让学生熟练地运用等价无穷小求极限的目的，以及为后面泰勒公式求极限做铺垫。
关键词：等价无穷小；极限；高等数学
本文引用格式：王成祥.关于等价无穷小求极限教学内容的探讨[J].教育现代化,2019,6(48):201-202.
在高等数学的教学中，无穷小等价代换是求极限的一种重要方法，但是运用等价无穷小求极限是学习的一个难点。许多教材讲解时通常根据无穷小等价代换定理直接使用等价无穷小替换。但是学生在实际运用中，往往忽略无穷小等价代换定理中的条件或者没有理解到定理的本质，在例题计算时进行生搬硬套，随意等价替换，从而导致求极限出错。例如求下面 2 个极限：
学生对什么时候使用和怎么使用等价无穷小替换存在很大的疑惑。另外，无穷小等价代换定理不便于学生理解与后面章节中泰勒公式求极限的联系。因此，需要对讲解方式进行调整，利用等价无穷小的定义、等价无穷小的充要条件，并结合无穷小等价代换定理来讲解等价无穷小，使得学生更容易理解无穷小等价代换定理的内涵，到达熟练运用等价无穷小求极限的目的，以及为后面泰勒公式求极限做铺垫，使得学生通过泰勒公式理解更容易无穷小等价代换的实质。本文将对此进行简单探讨。定义 1[1] 设 与 是自变量在同一变化过程中的
通过后面泰勒公式的学习可以知道 o(x) 关于 x 的阶数是依赖于分母的，至少要保证与分母 x 的阶数同阶。也就是说 o(x) 关于 x的阶数要么取到等于分母 x的阶数，要么高于分母 x 的阶数，否则极限不存在。
对比例 3 的两种解法，错误的解法是对每个子部分的高阶无穷小进行简单截断，从而导致错误。例 3 这类型的题在已学的知识下，需要根据极限四则运算进行等价转换，如：乘积形式，然后再进行等价无穷小替换。通过后面泰勒公式的学习，可以确定推论 1 中 o( ) 和 o( ) 至少需要展开关于 的阶数， 这样方便于求更复杂的极限。推论 1 的理解 ( 保留高阶无穷小量 ) 有如下优势：(a) 可以消除学生关于为什么在做减法时不能进行简单的等价无穷小替换的疑惑。(b) 为后面利用泰勒公式理解等价无穷小以及求极限埋下伏笔。
下面我们对等价无穷小求极限进行总结：(1) 如果利用定理 2 进行等价无穷小替换，一定要注意等价无穷小的定义中关于无穷小量在同一变化过程中无穷小量非 0 的约束条件。(2) 在含有加减号联结项情形，不能对每一项直接进行简单的无穷小替换。 (3) 对于不能直接用定理 2 求解的极限，可以根据夹逼准则，对要求极限进行适当合理的放缩，然后在求极限。(4) 对于不能直接用定理 2 求解的极限，可以根据极限的四则运算，对要求极限进行适当整理，然后再利用定理 2 求极限。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学[M].第六版.北京：高等教育出版社,2007.
[2]王绵森，马知恩.工科数学分析基础[M].第二版.北京：高等教育出版社,2006.
[3]马知恩，王绵森等.高等数学疑难问题选讲[M].第一版.北京：高等教育出版社,2014.
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