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摘 要 : 不等式问题是高考的热点，用函数单调性处理不等式是常用的一种方法.若生搬硬套 直接使用单调性去处理一些不等式问题，会感觉有力使不上.正确的方法是需要将不等式变形、变 更主元、问题转化等变换，然后构造出适当的函数，再运用函数的单调性进行解决.
函数的单调性是函数的重要性质之一，在研究 比较大小时发挥了重要作用. 但在解决一些稍为复 杂或者含有多变量不等式问题时，若生搬硬套直接 使用单调性去处理不等式问题，往 往 会 束 手 无 策，感觉无 能 为 力. 正确的思路是需要对不等式 或函数先进行适当变 形 、变 更 主 元 、重 构 函 数 、变 换问题的角度，然后再利用函数的单调性进行解决.如何灵活运用函数的单调性处理不等式问题 呢? 下面举例介绍.
1 变更主元
最小值.因为导函数 g'( x) 含有 a，且结构比较复杂， 很难求出极点和极值.个别学生在此自觉与不自觉 产生分离参数法.
由题意知 a>0.解关于 a 的二次方程
所得的式子较复杂，要确定 a 的范围更为困难. 绝大多数学生的解题思路在此受阻、中断.其实此题 需要逆向思维，重新审视题目中信息，调整思维，改 变解题思路.
首先从特殊情况出发， 由题意，得
明显，最小值易求。（下略）
评注 此题以 函 数 、不等式等核心知识为背 景，是不等式恒成立条件下求参数范围问题.本 题通过变换主元，将不等式恒成立问题化归为二 次不等式恒成立问题，然 后 使 用 单 调 性 进 行 处 理.需要解题者用批判性思维审视问题，破 解 新 情境对问题的迷惑.此题不仅考查了数学基本知 识和基本技能，还重点考查了考生的灵活应变的 能力和自我调控能力.
2 重构函数
例 2 ( 2020 年山东新高考第 22 题第 ( 2 ) 问) 已知函数f ( x) = aex-1 -lnx + lna.若 f ( x) ≥ 1.求 a的取值范围.
分析 本题若从 f( x) 的 最 小 值 入 手，需 要 知
所以 lna + x -1 ≥lnx.
即 lna≥lnx-x + 1 恒成立.
下面只需求函数 h(x) = lnx -x + 1 的最大值. 利用导数易求 h( x) 最大值为 0.所以 a≥1.
评注 此法对代数式运算能力要求较高，正如 章建跃博士所说 : 推理是数学的命根子，运算是数学 的童子功.通过调整原函数的结构，重新建构一个 “好”的函数，单调性发挥其应有的作用，使问题起 死回生.
3 变换问题
例 3 ( 2018 年 浙 江 高 考 第 22 题) 已 知 函 数
评注 一些不等式证明以及研究方程解的个数 和解的范围问题，若从函数的目光去审视，可将方程 问题化归为函数问题进行处理，然后结合函数的单 调性，问题一蹴而就. 同时，也表明函数、不等式、方程三者之间密切相关，相互之间互为转化.
评注 此题的处理方法充分利用了函数单调性 的特有功能，比较变量大小问题与比较函数值大小 问题可以进行互化. 此法利用函数单调性先得一 个零点 x1 <2.然后通过放 缩 变 换，将 原 不 等 式 中 含 2 个零 点不等关系问题转化为一个零点 的 范 围问题，再利用函数的单调性，将函数零点大小 问题化归为函数值符号问题. 一些函数的零点往 往较难求 出，它们零点之间的不等关系问题，常 常通过函数的单调性转化为函数值大小问题进 行处理.处理函数的单调性常用方法有观察法 、 定义法 、导 数 法，其中导数是研究函数单调性的 重要工具.
参考文献 :
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (2017 年版 2020 年修订) [M].北京人民教育出版社，2020.
[2] 教育部考试中心. 中国高考评价体系 [M].北京: 人民教育出版社，2019.
[3] 蔡 勇全.善用八种函数的单调性证明不等式[J].理科考试研究，2017.24 (11) : 10 -12.
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