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摘 要:数学建模具有复杂度高、应用性强的特点，一直以来都是数学教学的难点;“双减”政策的落地使作业设计成了热点。本 文将二者结合起来，探究以作业设计反向促进数学建模。教师在进行数学建模的作业设计时，要注意到数学建模的整体性、 独立性、融合性和层次性，并在此基础上从“用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言描述世界”三个维度 分成“课前作业、课后拓展”两个方面进行作业设计。
[关键词] 素养指向,数学建模,作业设计
一、问题的提出
《关于进一步减轻义务教育阶段学 生作业负担和校外培训负担的意见》明 确指出，要“将作业设计纳入教研体系， 系统设计符合年龄特点和学习规律、体 现素质教育导向的基础性作业，鼓励布 置分层、弹性和个性化作业，坚决克 服机械、无效作业，杜绝重复性、惩 罚性作业”“作业主要是指学校教师依 据一定的目标布置给学生，由学生利用 非教学时间完成的学习任务，俗称‘家 庭作业’”。显然，作业理应具有多样 性、合作性和延时性的特点。作业设计 进行“改革的原则在于压缩重复性、机 械性作业的比例，丰富作业类型，创新 作业内容，充分发挥作业育人的功能”。 “数学模型是针对或参照某种事 物系统的特征或数量依存关系，采取 数学语言，概括地或近似地表述出的 一种数学结构。数学模型是利用数学 解决问题的主要方式之一。”《普通 高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)》(以下简称“2017 年版课 标”)对数学建模素养进行这样的描述，“数学建模是对现实问题进行数学 抽象，用数学语言表达问题、用数学 方法构建模型解决问题的素养”。对于 学生而言，数学建模是一个陌生的概 念;对于教师而言，数学建模是一种新 的思维方式。由于只有很少的可供借鉴 的经验，所以数学建模的课不好上，从 而很多课就不上;数学建模的作业不好 留，从而很多该留的作业也就不留了。
于是，怎么把握数学建模的本质， 进行适当的作业设计，就是迫在眉睫 需要解决的问题。本文基于作者实践， 就高中数学建模作业的设计实践与思 考展开论述。
二、数学建模概念内涵、实践困 境与思考
(一)数学建模概念内涵
在初等教育阶段，我们常常把数 学模型理解为“联系一个系统中各变量 间内在关系的数学表述体系”，简单来 讲，利用数学模型解决实际问题的过 程就叫作数学建模。数学建模的全过 程一般包括发现问题、提出问题、分 析问题、建立模型、求解模型得到答案、回到实际情境验证答案、如果答案 不合理则加以改进等步骤，如此循环直 到实际情境中的问题得到合理的回答。
(二)数学建模实践困境
1. 概念不清
尽管 2003 年版的《普通高中数学 课程标准(实验)》就明确指出，学校 要“开展‘数学建模’的学习活动”， 并要求“高中阶段应至少为学生安排 一次数学建模活动”。在“2017 年版 课标”中，更是将数学建模作为数学 学科核心素养提出，并要求学生“学 会用数学模型解决实际问题”。但是在 实践中，很多老师往往将解应用题与 数学建模概念相混淆，这是错误的。
应用题的提问直截了当，已知条 件明确充分，解题要求清晰，答案存 在且唯一。数学建模是应用数学解决 实际问题的基本手段。简单来讲，利 用数学模型解决实际问题的过程就叫 做数学建模。数学建模问题要比解答 应用题考虑的因素复杂得多，一般而 言，有这样几个特点：数学建模的问 题一般都是开放性的，不是那么确定、 明确的;它本身的条件可能并不完备，需要自己探索，补齐，一些细节有待 补充;数学建模问题的答案常常不唯 一，且答案的形式也多样。
2. 课时不足
由于很难在一课时或几课时的时 间内完整经历整个建模过程，所以在 高中数学教材中，更多的是在渗透模 型思想。以人教 A 版教材函数的教学 为例，其基本遵循“背景─概念─图 像和性质─应用”的顺序进行研究。 由于一节课的容量限制，也没有办法 让学生经历过于复杂的“建模”过程， 所以教科书中的案例基本未让学生经 历发现问题、提出问题的过程，而是 让学生直接根据所提供的问题进行分 析，抽象得出模型。
还有一点，由于现阶段考试并不能 直接考查数学建模素养，所以也会使 得老师们觉得开设数学建模课程有点 “浪费”时间，从而将数学建模的规定 课时一再压缩，最终大多不了了之。
3. 对教学提出更高要求
由于数学建模的素材来自实际生 活，背景材料五花八门，既可以是理科 知识也可以是人文知识，这就要求授课 老师的视野要开阔，不能仅仅局限于教 科书已有的案例或模型，而要有创新精 神、要能根据实际问题情境发现问题并 解决问题。实际情况却往往相反，大多 数高中数学老师并没有亲身经历过数 学建模活动，所学专业多数是数学教 育，对于数学建模的理解仅仅局限于函 数建模、几何建模。反映到课堂教学 中，要么不上数学建模课，要么所授数 学建模课的知识陈旧、方法僵化，很 难激发学生进行数学建模活动的热情。
(三)以作业促实践的思考
由于开展数学建模活动面临着上 述一系列的困境，我们不妨将数学建 模活动与作业设计结合起来，通过作 业设计，促进教师专业能力的发展，同时激发学生数学建模的兴趣，提升 数学建模素养。
怎么通过作业设计促进学生数学 建模素养的发展呢?关键在于以下几 个方面：
1. 作业的设计要有适应性。数学 建模作业需要考虑到学生的实际水平， 作业的内容应当与课程内容相符，作 业的难度要适中，要求应当明确具体。
2. 作业的布置要有针对性。数学 建模作业要能够帮助学生回顾和巩固 已学的数学知识，并能够引导学生运 用所学知识解决实际问题。
3. 作业的辅导要有指导性。在学 生完成作业的过程中，老师适时提供 帮助，给学生一些建议和提示，引导 他们进行问题分析和解决策略的选择。
这就对老师提出了具体要求。首 先，老师在备课的时候要有整体观念， 从数学学科的本质进行整体思考;其 次，老师还要有分层教学的意识，针 对不同层次的学生，即使是同一情境， 也可以进行不同的问题设计;最后， 老师要尊重学生的主体地位，不要怕 麻烦，要有耐心进行辅导，也要有信 心相信学生能学好。
三、素养导向的数学建模作业设 计目标、特点及结构
(一)作业目标
进一步发展学生数学建模的核心 素养。
(二)作业特点
整体性：由于学生核心素养的发展是一个整体的“工程”，教材是在课程结 构的整体约束下进行的编写。所以，“数 学建模”的“作业设计”也应该是一个 整体的结构体系，既要关注到内容的连 续性，也要注意各部分内容的阶段性。
独立性：开展数学建模活动的载体 是函数、几何与代数、概率与统计等具 体知识，在每一模块开展具体建模活动， 并留作业的时候，要注意知识的独立性。
融合性：数学建模的素材来自实 际生产生活，不仅仅应用在自然科学、 社会科学领域，其实在思维领域也有 广泛应用，因此进行数学建模作业设 计的时候，要能融合最新的材料。
层次性： 由于学生知识的学习过 程是具有层次性的，由浅入深，所以 在通过作业巩固所学知识的时候，也 要注意到层次性。
(三)作业结构
为了发展学生“数学建模”的核 心素养，我们将培养目标分为：用数 学眼光观察世界、用数学思维思考世 界和用数学语言描述世界。为了达成 用数学眼光观察世界的培养目标，可 以具体看学生发现问题和提出问题的 水平;为了达成用数学思维思考世界 的培养目标，可以具体看学生分析问 题和构建模型的水平;为了达成用数 学语言描述世界的培养目标，可以具 体看学生求解模型和解决问题的水平。 为了考察学生是否达成了上述目标和 水平，我们可以从课前作业和课后拓 展进行评价(如表 1)。
四、数学建模作业设计案例分析
在作业的设计中，笔者思考从数 学建模意识激发、建模逻辑塑造到建 模能力的形成，逐步培养学生的数学 建模能力。
(一)依托问题链激发数学建模意 识，培养学生用数学眼光观察世界
【应用】二次函数与一元二次方 程、不等式
【目标】通过课前作业发展学生发 现问题、提出问题的能力
【分析】教材的问题情境是：园艺 师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区 域种植花卉，若栅栏的长度是 24m， 围成的矩形区域的面积要大于 20m2. 则这个矩形的边长为多少米?
我们可以进行如下的问题设计。
问题 1 一园艺师打算在绿地上 用栅栏围一个矩形区域种植花卉。若 栅栏的长度是 24m，则(1)当矩形 的宽为多少时，所围矩形区域的面积 最大?(2)若所围矩形区域的面积为 20m2 ，则这个矩形的宽为多少? (3) 若所围矩形区域的面积要大于 20m2. 则这个矩形的宽在什么范围?
这样的问题设计就是我们俗称的“应 用题”，一问一答，看起来课堂很完美， 但学生缺少了发现问题、提出问题的训 练。针对这个遗憾，重设了问题情境。
问题 2 一园艺师打算在绿地上用 栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅 栏的长度是 24m。请同学们，根据这个 实际背景，提出你能想到的数学问题。
这样设计问题情境，使得这个问 题变成了一个“数学建模”的起始问 题，这样进行设计，问题更具发散性， 更有利于培养学生的发散思维。同时 体现了作业设计的整体性和层次性。
(二)设置实践情境建构数学建模 逻辑，培养学生用数学思维思考世界
【应用】直线与平面平行
【目标】通过课前作业发展学生分 析问题、构建模型的能力
【分析】教材的问题情境是：“门扇 的两边是平行的，当门扇绕着一边转动 时，另一边与墙面有公共点吗?此时门扇 转动的一边与墙面平行吗?”这样的设计， 显然是老师上课的“套路”，问题是已知 的，只需按部就班提出问题即可。针对 “套路”问题，我们可以进行如下设计。
活动 1 分小组，用视频记录身边的 平行关系，并选出代表在课上进行汇报。
通过探究活动的作业，让学生主动 抽象得出线线、线面、面面平行关系， 但这明显不够，因为并未体现出其中 的逻辑关系，所以可以设计下面问题。
问题 2 请你研究你得出的平行 之间的关系，并从理论上加以说明。
至此，我们就将一个讲授式的教 学过程，转化为一个学生活动设计。 通过课前作业，让学生经历动手实践， 发现并提出问题，为课上分析问题、 构建模型做好铺垫。事实上，一部分 能力较强的学生，通过这个作业设计， 已经能够构建出本节课想要学习的线 面平行的判定定理的模型了。
(三)链接生活实际形成数学建模 能力，培养学生用数学语言描述世界
【应用】推断一个水库所有鱼的数量
【目标】通过课后拓展作业发展学 生求解模型、解决问题的能力
【分析】在学习了抽样方法以后， 如果仅仅局限于解决教科书的习题或 者相应考试题，那么学生往往会感觉 这部分知识枯燥乏味，很难理解随机 抽样的重要性和必要性。针对这个问 题，可以带领学生解决教材课后练习 中的这个问题，“调查一个水库所有鱼 中草鱼所占的比例。”
方案 1 可以完全将水库的水抽 干，一条条去数，做完全抽样。这种 解决问题的方法，明显是不现实的， 破坏性强、所需代价太大。
方案 2 (1)先在鱼塘中打一网鱼 清点鱼的数量，比如，有 m 条，之后 将这些鱼都做上记号放回鱼塘。(2)过 一段时间后，再打一网鱼进行清点，比 如， 有 n 条，发现其中有 x 条是有标 记的。(3)第二次打捞过程中，被标 记鱼所占的比率为。(4)用样本估计 总体，我们认为该鱼塘中被标记鱼所 占的比率为，如果记该鱼塘鱼的总数 为X，则有能进一步感受到由于精力、财力、物力 的限制，普查是很难实现的。所以传统 统计学几乎都是按照一定的规则从总体 中抽取样本，进而再用样本对总体进行 估计。这个过程中，我们希望从样本中 得到的数据能够正确反映全体的实际情 况，所以上述例子中，我们强调要过一 段时间，力求能达到均匀混合的目的。
对标学生核心素养的发展，理想 的数学建模作业理应能巩固知识熟悉技 能、发展抽象和推理的思想，树立应 用意识培养创新精神，最终实现“人 人都能获得良好的数学教育，不同的 人在数学上得到不同的发展的目标”。
参考文献：
[1] 王月芬 . 重构作业——课程视 域下的单元作业 [M]. 北京：教育科学 出版社 , 2021.
[2] 支梅 , 朱世城 , 曾拥军 . “双减” 背景下，研修机构的专业作用如何发 挥 [J]. 中国教师 , 2023(1):104-106.
[3] 孙宏安 . 谈数学建模 [J]. 中学 数学教学参考 , 2018(4) ：2-6.
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