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摘 要
“展开与折叠”是北师大版小学数学五年级下册第二单元的教学内容。本文通过对“展开与折叠”的学习活动的设计，一 方面深化学生对长方体和正方体本质特征的认识，另一方面通过空间图形与平面图形相互转化的空间想象和空间推理活动， 发展学生的空间观念。基于动手实践与空间想象相结合的研究帮助学生构建立体与平面之间的对应关系。
一、教学内容分析
“展开与折叠”是图形与几何领域 中图形的认识内容。《义务教育数学课 程标准(2022 年版)》中对第三学段 学生的要求：探索几何图形面积和体 积的计算方法，会计算常见平面图形 的周长和面积，会计算常见立体图形 的体积和表面积;能用有序数对确定 点的位置，进一步认识图形的平移、 旋转和轴对称;形成量感、空间观念 和几何直观。
1. 在本册教材中的知识联系和需 要解决的问题
“展开与折叠”一课的学习活动要 深化学生对长方体和正方体本质特征 的认识，同时通过空间图形与平面图 形相互转化，培养学生的空间想象和 空间推理活动，发展学生的空间观念。
结合沿棱剪正方体盒子的示意图， 教材中按照“模仿—拓展—还原—比 较”几个层次，设计了四个问题。
问题一：“动手剪一个正方体盒子，得到其展开图。”目的是使每个学 生都经历和体验剪正方体盒子的过程， 获得相应的操作经验。
问题二：“交流得到几种不同的展 开图。”通过比较，了解到不同的剪法 得到的正方体展开图可能不同，进一 步加深对正方体的认识。
问题三：“将展开的正方体展开图 折叠成正方体盒子。”也就是还原成原 来的正方体盒子。目的是在折叠的过 程中，感知正方体展开与折叠之间的 对应关系。
问题四：“判断长方体和正方体与 展开图之间的对应关系。”目的是帮助 学生进一步认识正方体和长方体展开 与折叠之间各个面之间的对应关系， 发展学生的空间观念。
2. 北师大新旧版本教材内容的对比
首先，新旧版本教材的知识呈现 顺序是一致的。
其次，从导入情境的要求来看， 旧版教材没有明确剪成什么样子才可 以算作正方体的展开图。新版教材更加细致地提出了“剪”的要求，即展 开图至少有1条边相连，用描述性的 语言进行了展开图概念的界定。
第三，新版教材中的问题一“请 你找一个正方体的盒子剪一剪，把你 得到的展开图画下来”这一环节是旧 版教材所缺少的，画的过程是一个记 录发现的重要过程，学生经历画的过 程也能为后续“还原”和“比较”环 节提供一些经验。
3. 北师大版与人教版教材的对比
从知识内容的编排来看，人教版 教材没有编排“展开与折叠”这一课， 而是在“长、正方体表面积”一课增 加了“剪长、正方体纸盒”的活动， 让学生们通过观察课本上给出的展开 图的特点，发现长、正方体面的特点。 不同的教材从不同的角度让学生经历 动手操作、自主探索的学习历程，发 展学生的空间观念。
4. 笔者的思考
教材中要求“全班交流，剪出了 几种不同形状的展开图?说一说，分别是如何得到的?”学生应该怎样解 释和描述自己剪的过程?这个环节的 可操作性如何?
二、学情分析
1. 已有基础
学生已经了解了平面图形与立体 图形的区别，还掌握了长、正方体的 特征，并且具有一定的动手能力和观 察能力。本节课的教学重点和难点是 发展空间观念也就是建立立体与平面 之间的对应关系。
2. 前测分析
前测对象：本校五年级学生 36 人。
前测题目：请你用硬纸板制作一 个棱长为 10 厘米的正方体。
78% 的学生已经有了一个初步的 认识和感知。在制作正方体的过程中， 学生们的空间想象能力得到了锻炼， 同时也有了一些自己的想法和感受。 学生能通过想象，把正方体展开后的 样子画出来，还关注到了上面、下面 这两个对应面在展开图上的位置关系。
结果总结：学生发现了正方体展 开图可以是多样的;但要归纳出 11 种 展开图十分困难，尤其是在没有指定 面时，对同一个展开图的理解也存在 不同的考虑方式。教师需要考虑如何 为学生搭建知识之间的桥梁，让更多 的学生能够通过实践操作来感受正方 体展开图的多种情况和面与面间的位 置关系。
三、教学目标和教学重难点
结合学生的调研情况，笔者深入思 考后，确定了以下教学目标和重难点。
教学目标：1. 经历正方体的展开 与折叠过程，体验正方体图形的展开 与折叠之间的关系，加深对正方体的 认识。 2. 在想象、操作等活动中，发 展空间观念，激发学习数学的兴趣。
教学重点：通过动手操作，认识正 方体的展开图，加深对正方体的认识。
教学难点：通过动手操作，掌握 正方体的展开与折叠的关系。
四、教学过程
【导入环节】 初步感知正方体的展 开图
谈话引入：老师今天带来了一个 正方体，这里面有一个正方体框架， 我想取出来，怎么办?引导学生把正 方体盒子完全展开。
启发思考：像这样，把正方体沿 着棱拆开形成 6 个正方形连在一起的 平面图形，我们把它叫作“正方体的 展开图”。(揭示教学内容)
【活动环节】 研究正方体的展开图 1. 小组操作。
引导操作：利用学具围成的正方 体，拆开就可以得到正方体的展开图， 从而进行研究，并记录在学习单上 (见图 1)。
(2)辨析反例。
这样摆放行吗?(见图 2)
反例 1 ：田字形;反例 2 ：凹字 形;反例 3 ：大 L 形(贴在黑板上)
启发思考：如果只拆一次，得到 一种展开图，还有没有和它类似的? 什么样子?它们之间有什么联系?
2. 全班交流。
小组汇报，分享找到的展开图;观 察，找一找这些展开图有什么特点?
启发思考：通过你们组的操作和 画了这么多展开图，你觉得正方体的 展开图中，一行(或一列)最多可以 摆几个正方形?
【辨析、思考环节】利用正反例研 究正方体的展开图
1. 一行(或一列)中最多摆 4 个 正方形。为什么?五个、六个行不 行?为什么?借助反例演示重合的过程。
(1)研究正例
从围的角度想，4 个正方形正好 围成一圈，另外两个相对的面被“一 圈”隔开来的，所以要分在 4 个正方 形的两边，两边的面是相对的面。
小结：现在，你们觉得“一列中 最多有 4 个正方形”的展开图，有什 么特点?
预设回答：下面四个可以围好了正 方体的侧面，上面的面会与侧面重合。
小结：学生正确认识“一四一 ” 型展开图预设回答：中间 4 个正方形围成 侧面， 1 上 1 下正好是上面和下面。
2. 一列最多摆 3 个正方形。
(1)研究正例。
过渡：研究了一列最多可以摆 4 个 正方形的情况，下面想研究什么类型?
引出：一行(一列)最多有三个 正方形的情况。
(2)辨析反例。
依次摆出含有“田字形 — 凹字 形—大 L 形”的图形。
(3)回到正例。
小结：正确认识“二三一”型展 开图预设回答：中间 3 个，剩余的 3 个其中 2 个放一起和另 1 个上下摆放， 不能出现田字形。
3. 一列最多摆 2 个正方形。这种 的见过吗?还有其他样子吗?引导学 生正确认识“二二二”型展开图
【深化、提升环节】 经验迁移，提 升拓展
过渡：研究了正方体的展开图， 可以发现展开的过程是由体向面的变 化，变化过程中同学们能够很好地关 注到各个面的位置。在展开过程中除 了关注面，也有人很关注正方体的棱， 尤其是剪开时，都是从棱开始的。
请同学们拿出学习单，根据学习 单的要求，看看这些展开图剪了几条 棱，你能标注出来吗?
【总结环节】 投影演示、小组交流
小结：大家发现了吗，每个展开图 剪开的棱的数是相同的，有什么办法能够 帮我们比较快地确定哪些棱被剪开了吗?
预设回答：可以先找没被剪开的 棱，标注后剩下的就是需要剪开的棱。
学习思考
(1)本节课给你留下印象最深的 地方是哪里? (2)正方体展开图共有 几种?分别是什么样子的? (3)请根 据手中的模型，想一下“展开”一个正 方体，需要剪开几条棱?
五、课后反思
1.“展开与 折叠 ”一课中 关于 “正方体的展开图”的研究，对于学生 空间想象观念的培养很重要，对于立 体图形与平面图形的转换，仅凭学生 的想象能力是不够的。需要教师特别 关注学生的“观察”“思考”“表达” 能力，提升学生的数学综合能力。
2. 在解决问题过程中，利用模型 让学生经历看、剪开玩、再还原的实 践过程，在这个过程中记录下变化的过程。通过小组交流发现问题，尝 试寻找规律，达成共识，以小组汇报 的形式分享研究成果。重点研究了 1-4-1 型的变化过程，同时在研究过 程中，充分制造矛盾和反例，让学生 动手操作演示正确的思维，使学生充 分感受立体到平面再到立体的过程。
3. 在研究 2-3-1 型和 2-2-2 型 展开图时，因为没有指定确定地面， 学生在理解相对的面后，对于上、下、 左、右、前、后面，产生了分歧。经 研究发现，答案不唯一是因为展开时 参照的面不同。从不同的情境出发解 决问题，使学生的理解产生困难。为 了更好地进行空间想象，笔者对后面 的练习评价重点进行了设计。
4. 整堂课，虽然能够基于动手实践 和空间想象进行设计，但是对学生来说 还是存在一定的难度，后续课程应该大 胆地放手让学生去操作，去体会正方体 六个面的位置关系，在情境中发现问题， 解决问题。同时，研究的过程中应该淡 化知识点，通过实践和想象，引导学生 理解“体”到“面”的转变过程，理解 展开过程中面的变化、棱的变化，让数 学知识回归生活，从生活中发现数学问 题，在生活中应用数学知识解决问题。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部 . 义务 教育数学课程标准 (2022 年版 ) [S]. 北 京 : 北京师范大学出版社 , 2022.
[2] 邓红梅 . 基于空间想象力培养 的小学数学教学研究 [C]// 广东省教师 继续教育学会 . 广东省教师继续教育 学会教师发展论坛学术研讨会论文集 (十五) .[ 出版者不详 ],2023:8.
[3] 张新兰 . 小学生数学空间想象 能力的发展特点及培养策略研究 [J].数 学学习与研究 ,2020(23):105-106. 22.
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