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摘要:初中阶段，动点问题属于一种比较复杂的变换问题，涵盖了圆、三角形、直角坐标系等知识点，很多学生很难把握动点问题中的变量与不变量，因而不能有效地解决动点问题．教师应从动点问题的本质出发，依据学生的知识情况和思维能力，引导学生掌握正确的解题方法，发展学生的思维能力，有效提高学生综合运用数学知识解决动点问题的能力.
关键词:动点问题;解题指导;教学策略
初中数学动点问题一直都是数学教学重点，也是学生不易解答的难点．动点问题不仅具有综合性和复杂性，还蕴含了化归、数形结合、分类讨论等数学思想，需要学生有较高的信息处理能力和知识综合应用能力．因此，教师要结合动点问题的特点和本质，引导学生对其进行分析和探讨，渗透相应的数学思想方法，锻炼学生的思维，引导学生以动态的、综合的视角去分析和解决动点问题，提高学生的解题能力.
1联系生活，有效解决问题
新课程下，有些题目不但考查学生的基础知识和运算能力，而且将数学问题融合到实际的生活情境中，要求学生能够从中提取出有效的信息，并对其进行分析，形成数学问题或模型，然后运用所学理论解决实际问题，提高数学知识的应用能力，实现学以致用的目的［1］．在生活中，常常存在一些运动现象，学生要能结合具体的情境，对生活现象进行抽象和概括，并将其转化为动点问题，这样才能利用已有的数学知识分析和解决问题［2］.
例1 A、B、C三地之间的距离相等，都为60 km，三地连线构成一个等边三角形，已知自行车的速度为20 km/h，电动车的速度为30 km/h，已知P骑自行车，Q骑电动车，在某一时刻，P、Q二人同时出发，P从B地出发向A地运动，Q从C地出发向B地运动，那么，在P、Q二人到达目的地前:
(1)是否会形成等边三角形PQB，如果会，请计算出P、Q二人出发后经过的时间，如果不会，请说明理由.
(2)若某一时刻，P、Q二人与B地组成的三角形PQB为直角三角形，求P、Q运动的时间.
分析题目以运动为背景，考查学生的信息提取能力和知识综合应用能力，依据题目信息，可以将P、Q二人运动的方向在图中画出来，如图1所示，当三角形PQB为等边三角形的时候，需要满足PB=BQ=QP，这样通过题中的数据计算即可．而当三角形PQB为直角三角形的时候，分为∠BPQ和∠BQP为直角两种情况，学生需要分类讨论，这样才能够全面的解答问题.
2动中寻静，找到解题关键
动点问题的难点在于某一个或几个点处于运动状态，动点在不同位置会出现不同的图形，以此增加了问题的难度，使问题复杂化，学生不易从中找出解题的思路和方法，常常不能有效地解决问题［3］．动静结合是初中动点问题的突出特点，在分析动点问题时，要结合动点运动的轨迹或规律，分析动点运动到某一状态时出现的特殊位置或数量关系，将运动的点转化为静态的点，以静制动，将运动的问题化为静态的问题，找到解决问题的关键点，然后运用数学知识进行综合分析，这样才能够动静结合，从动中寻找不动，从而有效解决动点问题［4］.
例2如图2所示，在长为3■3，宽为3的矩形ABCD中，BC边上有一个动点E，现在连接AE，并将三角形ABE沿着直线AE折叠，使得点B落在图中的F处.
(1)假设动点E运动到BC中点时，将三角形ABE沿着直线AE折叠，判断AE与FC的位置关系.
(2)假设三角形ABE沿着直线AE折叠后，B点落在矩形ABCD的内部点F处，此时CD=FD，则BE的长为多少?
分析(1)判断AE与FC的位置关系，需要利用折叠方面的性质，因此连接BF，得到AE⊥BF，BE=EF，因为E为BC中点，可以得到BE=EF=CE，三角形EBF，FEC为等腰三角形，利用等腰三角形和三角形内角和知识可以判断AE与FC的位置关系．(2)过点F做AB的平行线分别交AD，BC于M，N，利用折叠性质求出AM，FM，FN等线段的长度，然后在直角三角形FEN中，利用勾股定理可以求出FE的长度.
解(1)如图3所示，连接BF交AE于H点，由折叠的性质可知，AE⊥BF于H点，BE=EF，因为E为BC中点，则BE=EF=CE，所以，∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠FCE，在ΔBFC中，∠CBF+∠BFC+∠FCB=180°,∠BFE+∠EFC=∠BFC，即∠CBF+∠BFE+∠EFC+∠FCB=180°则∠BFE+∠EFC=90°,所以FC⊥BF，则FC∥AE，因此AE与FC的位置关系为平行.
3巧妙转化，求最值
在初中数学动点问题中，求最值是常见的类型，要求学生能够从不同的层次和角度去思考问题的解决方法，运用数形结合、化归等数学思想，将复杂、运动的问题巧妙地转化为静态的问题，然后依据初中数学知识点有效地解决问题［5］．一般来说，应把所求最值问题转化为两点间的距离，然后依据题设条件求取最值．因此，教师要因地制宜，引导学生依据题设条件对问题进行巧妙转化，这样才能够化动为静，有效地解决点点、点线、线线之间的最值问题.
例3在棱长为2的菱形ABCD中，已知∠DAB=60°,AC为菱形ABCD的一条对角线，P为AC上的一个动点，且P不与A，C点重合，E为AB上的一个动点，且E不与A，B点重合，F为BC上的一个动点，且F不与B，C点重合，连接PE，PF，求PE+PF的最小值.
分析本题中有三个动点P，E，F，直接求PE+PF的最小值并不现实，因此需要对问题进行转化，如图5所示，由于E，F在AC的同侧，因此要想求最小值，应该将E，F转化到AC的两侧，通过两点间的线段求最小值，以AC为对称轴做E的对称点E'，连接FE'，则FE'≤PE+PF，当P点在FE'与AC交点处取等号，这样就将两条线段的长度和转化为一条线段的长度问题，由于ABCD为菱形，当FE'与AD垂直时，FE'的值最小，也就是PE+PF的最小值.
总之，在初中动点问题中，常常包含着丰富的数学思想方法，需要学生能够从不同的角度对问题进行分析和探索，将动点问题转化为静态问题，找准试题的关键点，突破试题的难点，这样才能够有效地解决问题．教师要关注动点问题的育人价值，引导学生以静制动，依据试题的条件和设问的角度，寻找最佳的试题解决思路，强化学生对于数学思想的理解，培养学生的思维能力，帮助学生解决动点问题，提高学生的数学知识综合应用能力.
参考文献:
［1］唐静，姜锐武．探究初中数学中动点问题的解法［J］．数学学习与研究，2019(16):122.
［2］黄欲涵．问题特征解读，方法关联探究:以动点线段和最值问题为例［J］．数学教学通讯，2022(11):86－88.
［3］曹伟林．例谈初中数学的解题指导策略:以“动点问题”为例［J］．数学大世界(上旬)，2021(01):69.
［4］赵玉叶．初中数学中“含有一个动点的线段和(差)的最值问题”的解题策略［J］．数学教学通讯，2021(32):86－88.
［5］孙世军．浅谈初中数学动点问题的解题策略［J］．中学课程辅导(教师教育)，2015(23):65.
［6］杨道林．初中数学动点问题解析与思路探讨［J］．新校园(中旬)，2016(05):107.
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