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摘要:以例举的方式，分三种情况分别介绍如何根据地球表面两点的经纬度，确定两点之间的最短路程，以及最短路径长度的计算方法.
关键词:地球表面;经线;纬线;最短路径;圆弧长度
由于球体的表面是曲面不是平面，所以，沿地球表面运行质点的运动轨迹一定是曲线，而非直线．运用数学知识可以证明，在球面上连接任意两点的所有曲线中，过这两点及球面球心的平面与球面的交线(是一个半径等于球面半径的圆)上，这两点之间的圆弧(劣弧)的长度最短.
运用这一结论，对于地球表面上给定的两点，在已知它们经度和纬度的情况下，依地球半径作为已知条件，利用数学知识可以确定两地间最短路径的长度.
1同一经线上两点之间的最短路程
例1已知地球的半径为6 400 km，E、F是地球表面上的两点，其经纬度坐标分别为E(20°W，50°N)、F(20°W，40°S)，求地球表面上这两点间最短路径的长度.
分析依题意可知，E、F两点在同一条经线上，由于经线所在圆的圆心就是地球的球心，所以，地球表面上同一经线上两点间的最短路程，等于这两点之间的经线圆弧的长度.
解析设地球的半径为R,球心为点O，E、F两点间的经线圆弧的长度为l，则有
2同一纬线上两点之间的最短路程
需要说明的是，如果两点在同一条纬线上(即一个点在另一个点的正东或正西方向)，且这条纬线不是赤道的话，它们之间的最短路径不是经过这两点纬线圆弧的长度(相当一部分人有这种错误观点，认为地球表面上东西方向上两点之间最短路径的长度，等于这两点之间纬线圆弧的长度).
例题2已知地球的半径为6400 km，E、F是地球表面上的两点，其经纬度坐标分别为E(20°W，60°N)、F(80°W，60°N)，求地球表面上这两点间最短路径的长度
答:地球表面上这两点间的最短路径的长度是3 236 km.
我们将这一数据与过EF两点纬线上，圆弧EF的长度相比较，设该圆弧长度为l，则
可以看出，纬线上EF两点间的圆弧长度比球面上经过EF的最大圆的圆弧长度多出了114 km.
3地球表面任意两点间的最短路程
例题3如图2所示，已知地球的半径为6 400 km，E、F是地球表面上的两点，其经纬度坐标分别为E(20°W，15°S)、F(80°W，75°N)，求地球表面上这两点之间最短路径的长度.
分析由题目条件可知，E、F两点既不在同一条经线上，也不在同一条纬线上．参照上面两例题的解法，我们只需确定E、F两点所对地球球心圆心角的大小即可.
解析如图2所示，分别作出过E、F两点的地球的经线和纬线，并作出赤道平面．设∠EAC=α(两条经线的经度之差)，半径OC、OF与赤道平面的夹角分别是β和θ,由题目条件可知∠EAC=α=60°,β=15°,θ=75°,则:
将图2中的等腰梯形ECFD隔离出来单独分析，如图3所示，过其顶点D、F作该梯形的两条高线DP和FQ，垂足分别为P、Q，由勾股定理可知
答:北京和悉尼间最短航线的长度约为8 200 km.
当然，这里计算出的数据只是理论数据，两地间的实际航线还要受地理环境等多种因素的影响，飞机的实际飞行路线很可能会偏离“标准”的圆弧线，中途出现“拐弯”的情形，所以实际航线的长度会比理论值大一些.
参考文献:
［1］陈龙．追溯“源头”拨开云雾见“真身”:例析“与圆相关的最值问题”［J］．数理化解题研究，2022(6):84－86.
［2］许婷婷．例谈立体图形表面最短距离［J］．高中数理化，2019(10):16－17.
［3］牛可新．巧解“求曲线上的点到直线的最短距离”题［J］．数学学习与研究，2013(9):99.
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