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摘 要 : 立体几何大题是高考的必考考点，通常需要借助于空间向量进行求解.本文给出了基 本题型、最值问题和存在型问题三种题型的示例，展现了不同题型的问题形式、解答过程和所体现 的不同数学思想.
利用空间向量解决立体几何问题是历年高考的 热点，主要考查空间直角坐标系的建立、空间向量的 坐标运算能力和分析解决问题的能力.立体几何问 题可以分为三种题型 : 基本题型、最值问题、存在型 问题.我们采用三种数学思想“转化思想”“函数思 想”和“方程思想”去求解对应的三种题型.
1 基本题型——— “转化与化归思想”
问题形式 一般为证明点线面的空间位置关 系、求空间角、求空间距离.
求解思路 利用转化与化归思想，将空间点线 面位置关系转化为空间两向量的数量关系( 线性表 示或数量积表示) ，将空间角与空间距离的计算转 化为空间两向量的运算.
( 1) 将线面平行问题转化为直线的方向向量与平 面的法向量垂直，利用向量的数量积运算即可得证;
(2) 将线面所成角的正弦值转化为直线的方向 向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值，利 用向量的数量积运算即可得解 ;
(3) 将二面角的余弦值转化为两个平面法向量 的夹角余弦值，再结合同角三角函数的平方关系即 可解得二面角的正弦值.
在解决立体几何问题时，要善于借助空间向量 这个工具，根据图形的几何特征建立合适的空间直 角坐标系，将问题转化为空间向量的坐标运算. 要 求学生能够做到根据问题的形式，分析出为何种题 型，选择恰当的解题思路，在解题的过程中不断积累 和掌握数学思想方法，提高数学素养.
参考文献 :
[1]徐涛.“空间向量与立体几何”的若干教学建议[J].中学数学教学参考，2021 (06) : 62-64 .
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