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摘要：数学建模要立足于学生已有的知识与能力，以学生为本，以核心素养的培养为目标组织和实施课堂教学．要引导学生积极参与，通过观察分析，主动发现情景的本质属性和规律，要在模型的分析与建立，以及模型的应用与反思的教学过程中，引导学生会用数学的眼光观察和发现问题，会用数学的思维思考和分析问题，会用数学的语言表达和解决问题．
关键词：数学核心素养,数学建模,三角函数的应用,教学设计
数学建模一般包括问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用七个步骤．数学建模的教学能更好地发挥数学的育人功能，在引导和培养“学生会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界”上意义更加深远．本文拟结合高中数学（人教Ａ版）第一册第五章中的《三角函数的应用》的几个教学片断和大家交流这方面的实践与思考，不当之处还请批评指正［１］．
１模型的分析与建立
首先从学生生活中熟悉的情景出发，引出要解决的问题，引导学生观察思考，教师结合前面学习过的三角函数知识来揭示探究的方向．
教学片断１
师：生活处处皆数学，数学无处不生活．正如法国著名的雕刻家奥古斯特罗丹所说：“生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛，数学亦是如此．”在我们的生活中有许多这样的现象：日出日落、春夏秋冬、潮汐潮落、天体运动等等，这些现象的共性是都具有周期性，我们已经知道三角函数是刻画周期性现象的一个重要模型，这不由得让我们产生这样的思考：可否借助于三角函数去研究这些周期现象，并进一步对现实中的一些实际问题做出决策、给出有参考价值的建议．
师：同学们先来看一个动画（课件演示弹簧振子的运动）．暂停动画后，大家想想，现在开始计时，怎样可以得出１０秒后弹簧振子离开平衡位置的距离？
师：开始动画演示，继续观察一下这个弹簧振子的运动，发现有什么特点？
生１：来回摆动．
师：对，经过一段时间振子又回到原来的位置了，这种运动的特点是循环往复，具有周期性特征．
师：既然这样，我们要解决刚刚提出的问题，同学们说说看要先解决什么问题？
生２：先求出振子离开平衡位置与时间的关系式就好了．
师：很好，我们要抓住其运动规律，也就是“函数关系式”，利用其规律来解决问题．
师：（追问）你能求出这个函数关系式吗？还记得函数的表示方法有哪些吗？
生２：可以从演示开始，先采集一些数据，然后列表、描点，连线，…
师：好，我们一起来采集一些数据（呈现教材中提供的数据，如表１）．大家观察一下，这些数据的变化有什么特征？
生３：有正有负，先是随时间变化变大（增），然后再变小（减），再变大，…
生４：数据会重复的出现，ｔ＝０时位移是－２０，ｔ＝０．６秒时又变成－２０了，还有ｔ＝０．１５和ｔ＝０．４５的位移也是一样的，…
师：很好，接下来我们借助计算机，将其对应的散点图绘制出来．（师演示绘制散点图）
师：通过散点图，我们能较为直观地感受到其运动变化的特点，现在把这些散点用线连起来，大家有什么发现？
生５：与我们前面学习的三角函数图像“雷同”！
师：散点图可以让我们直观地感知到位移和时间的变化特点，将这些点连线后可以观察到质点运动的一般规律，从而便于找到合适的模型来解决问题．
设计意图立足核心素养的培养目标，引导学生观察生活现象，观察数据、表格，观察散点图，让学生在观察中思考，在思考中观察，运用所学的知识去分析问题，运用所学的方法去探究问题．
教学片断２
师：实际上，这个运动在物理中叫简谐运动，我们来看一下物理中简谐运动的原理．教师播放动画“简谐运动的运动原理”和“单摆沙漏”．
师：这些弹簧振动，单摆沙漏都是简谐运动，根据我们所学的物理知识，我们正是用三角函数来刻画其运动的位移和时间的关系．设计意图借助情境中相关的物理知识，从理论和运动图像上简短地加以说明和验证用三角函数模型刻画周期性现象的可行性，从而验证了数学思维的正确性．
师：物理中也给出其位移和时间的关系式是ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ），这里我们要做一点说明，在数学中，三角函数更一般地形式是ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋ｂ，因为我们这里的ｘ轴就是平衡位置，所以ｂ＝０，那么如何根据我们的数据来确定另外三个待定的系数呢？
生６：观察知，最大的位移是２０，所以Ａ＝２０．
师：那ω呢？求ω就要先求什么？
生７：周期．
师：对！那周期是多少呢？你是怎么得到的？
生８：周期等于０．６，相邻两个最小值之间就是一个周期，所以ω＝
π．
师：好，到这里就得到了解析式ｙ＝２０ｓｉｎ（
πｔ＋φ），现在还有一个φ没有确定，同学们有办法吗？
生９：选择一个点的坐标代入解析式．
师：这样可以得到一个关于φ的三角方程，再
通过解方程就可以求出φ，那么你选择了哪个点呢？
生９：ｔ＝０时ｙ＝－２０．
师：（板书过程）化简得ｓｉｎφ＝－１．我们知道这样的φ有很多个，可以统一表示为φ＝２ｋπ＋π（ｋ∈Ｚ）．为方便起见，我们可以在前面引入三角函数模型的时候，对其中的系数进行适当的规定，如｜φ｜＜π．这里我们要做两点说明：第一点ｔ＞０，因为我们是用函数模型去刻画实际问题，所以函数模型的定义域要受到实际问题限制；第二点求φ时，是将初始位置的数据代入得到的，这个点是函数的最小值点．
师：根据上述求解过程，你能总结一下由函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ）的图像求解析式的基本思路吗？
学生尝试总结后，教师总结基本思路：先观察得Ａ；再由周期得ω；最后代入初始位置解三角方程得φ．
师：现在再请同学们思考一个问题，能不能用ｙ＝Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）表示位移和时间的关系式？
生１０：可以．
师：为什么呢？生10：因为余弦函数和正弦函数的图像变化规律是一样的，它可以由y=A sin(ωt+φ)经过左、右平移得到.设计意图立足核心素养：用数学的语言去表达世界．培养学生对已有知识和方法的运用能力，提升学生的数据分析与数学运算能力[2].
2模型的应用与反思
教学片断3
师：（面向全体学生）现在同学们能不能回答本节课开始提出的问题？
学生齐声回答可以.
师：根据我们得到的位移和时间的变化关系，代入时间t就可求解出相应的位移，即可以得到任何一个时刻的物体的近似位移．为什么说得到的是近似位移呢？请同学们思考，然后分组交流、讨论.教师可加入学生小组，聆听学生的讨论，根据讨论情况对预设的教学过程做出调整.
师：（小结学生的发言）因为我们得到的函数模型是在遵循其特征的前提下的“理想模型”，由于受到诸多因素（如重力作用、数据采集误差）的影响，两者之间通常还有一定的误差，所以我们即使选择合适的、正确的数学模型，也只能近似地刻画实际问题，并不是完全地吻合，同学们会不会有这样的想法：这样的结果有实际应用价值吗？下一节课的学习会帮大家找到答案.
师：一旦确定好适合的函数模型，我们就可以将问题放大，解决任何一个时刻的位移．这就是我们数学工具的作用，来源于生活，又回归应用于生活.
师：大家来回忆一下我们解决这个周期性现象，经历了怎样的过程？
学生齐声回答：观察，描点，画图，计算.
师：一个物理运动，动态感知，收集数据，绘制图像，函数模型，解决实际.设计意图数学建模的意义不仅仅是要让学生应用所学的数学知识和方法去刻画和解决生活中的实际问题，也不仅仅是要让学生感受数学来源于生活，又服务于生活的学科价值．我认为更重要的是将新课标的“三会”落实到我们的课堂中，这样才能更好地激发学生学习的潜能，才能让学生更爱数学，学好数学.
师：三角函数模型中的系数实际上都有一定的物理意义．我们一起来看一下：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T=
,它是做简谐运功的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f=
=
给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位，x=0的相位φ称为初相.
师：了解了三角函数模型系数的相关物理意义之后我们就可以把它用于处理物理相关问题了.给出实例：交变电流问题.
师：你们能不能解决这个问题呢？（让学生自己组织研究，并将解答的过程在黑板上呈现）设计意图凸显应用问题来源于实际，最后回归于实际，真正体会建模的价值.
从上面教学的过程中我们不难发现，在新课程标准明确要求转变教育理念，培养学生核心素养为教育目标的指引下，做为数学核心素养之一的数学建模，能够引导学生在实际情境中从数学的视角提出问题，用数学的思维思考分析问题，用数学的语言揭示表达问题，从而有效地培养和发展了学生的核心素养[3].
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]徐梦园，初晓琳，赵宝江．浅谈中学生数学建模核心素养的培养[J].中外企业家，2019(13):186-187.
[3]陈凯．培养学生建模思想发展数学核心素养摭探[J].成才之路，2019(06):41.
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