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摘 要：数学教学要遵循数学知识生长机理和个体的认知特点．学生已有的 CPFS 结构是数学 学习的基础，喻平教授提出的生长教学策略理论是完善学生 CPFS 结构的重要方法．数列是蕴含丰 富数学思想的特殊函数模型，在该理论基础上提出有关于“ 等比数列”的教学设计，可以完善学生 “ 等比数列”的 CPFS 结构.
关键词：CPFS 结构；生长教学策略；等比数列；教学设计
喻平教授于 2002 年在其博士论文《 数学问题 解决认知模式及教学理论研究》中首次提出 CPFS 结构 理 论. CPFS 结 构 的 核 心 是 概 念 域 ( Concept field) 、概念系( Conceptsystem ) 、命题域( Proposition field) 和命题系( Proposition system ) [1] , 这四个部分 共同构成了学生的认知结构．在概念学习中，学生如 果不能从多角度学习概念，没有建构好相关数学知 识的概念域与概念系，没有形成概念体系，那么一旦 遇到概念的变式问题，学生对问题无法表征，就难以 找到解决问题的途径．对于命题学习也是类似，学生 如果没有构建好数学知识的命题域和命题系，面对 问题情境时就无法快速找到与之匹配的命题，就无 法找到解决问题的路径．因此，教学过程的重心就是 要构建和完善学生的 CPFS 结构.
等比数列在数学学习中起着承上启下的作用. 首先，数列是离散的函数，学好数列有助于回顾函数 知识，同时等比数列为后续学习导数奠定了重要的 理论基础，是大学学习微积分的重要基础．《 新课 标》对等比数列的要求是从生活情境出发，理解等比数列的概念和通项公式的意义；能在具体情境中 发现其中蕴含的等比关系；体会等比数列与指数函 数的关系[2] . 从高考来看，等比数列的考查趋势逐 年递增．因此，学生在学习时应建立起“ 等比数列 ” 的 CPFS 体系，为后续学习提供数学学习方法，搭建 起知识框架.
概念域指某个概念所有等价定义的图式，如等比数列的概念域：
学生有从多角度探究等比数列的定义（ 即完 善等比数列的概念域），才能当问题以不同形式提 出时，迅速检索出与之相匹配的解决方案[3] .
概念系指学习者头脑中所形成的不同概念间的 知识网络体系．如采用类比的方法可以将等差数列 的思想方法迁移到等比数列的学习中，发现等差数 列和等比数列的关系，进而构建等比数列的概念系．
为了完善 ＣＰＦＳ 结构，喻平教授和鲍红梅老师 提出了生长教学策略．生长教学策略指根据数学知 识内部的生长机理，学生认知特点，指导学生主动参 与数学知识的探索、发现、研究和发明，进而促使学 生数学知识和认知结构的自然生长［４］．其中，生长 教学策略包括生长策略、变式策略、反思策略和结构 策略．生长策略指数学教学要从数学知识的生长点 出发，根据数学知识的生长机理展开教学；变式策略 指教师利用变式训练使学生辨别数学知识的不同表 达形式或错误表达形式，从多角度理解数学概念、命 题或数学思想方法，达到一题多解、一法多用、一题 多变等［５］；反思策略是引导学生对数学学习内容以 及活动过程的系统反思，巩固在 ＣＰＦＳ 结构的知识 点；结构策略指数学教学要注重整体性教学，引导学生 对学习的知识进行结构化整理，并以一定的策略引导 训练，使学生的知识结构不断更新和重组［６］．
１ 教材与学情分析
《 等比数列》选自人教 Ａ 版选择性必修第二册 第四章第三节，它是函数的重要内容之一．等比数列 的学习为之后等比数列前 ｎ 项和的学习奠定了良好 的知识基础．数列是一种特殊的函数，在日常生产、 生活和科学技术上应用广泛．因此，本节课内容不仅 在知识上具有承前启后的作用，而且还具备一定的 现实意义．在本节课之前，学生已经学习了等差数列的 定义及其通项公式，具备类比归纳等数学思想方法的 基本运用能力，有一定的观察、分析、猜想和归纳的能 力．同时，高二学生的思维能力由形象经验型转向抽象 理论型，对假设、推理和判断有着一定的认识．但是，学 生看待问题的方式比较单一，抽象概括能力较弱，对构 建学生等比数列的 ＣＰＦＳ 结构造成了一定困难．
２ 教学目标与重难点
教学目标：理解等比数列的概念及其通项公式； 构建等比数列定义和通项公式的概念域和概念系； 培养学生类比归纳的数学思想方法的运用能力，提 高学生观察、判断、猜想和归纳的能力．
教学重点和难点：学生构建等比数列的 ＣＰＦＳ 结构．
３ 教学过程
３．１ 生长环节（ 等比数列的定义）
问题 １ ：等差数列的定义、通项公式是什么？
问题 ２：等差数列通项公式是怎么证明的？
学生答：恒等变形法和连续代入法。
设计意图：以等差数列为生长点，为等比数列的 定义及其通项公式的学习奠定基础．并且，这里复习 不只是加深学生的记忆，更是引导学生对知识产生 过程的深入反思，同时通过对等差数列通项公式的多 种证明方法的深入探讨，达到一法多证的变式效果．
思考下列问题：
在不考虑限制条件下，某种细胞通过分裂繁殖 下一代，已知该细胞每 ３０ｍｉｎ 分裂一次，分裂得到的 细胞也是每 ３０ｍｉｎ 分裂一次，那么一个该细胞各次 分裂后的细胞个数依次是多少？
答：２，４，８ ，１６，３２，６４，…
问题 ３ ：这个数列是等差数列吗？ 它有什么特 点？
答：从第二项起，每一项和前一项的商都是同一 个常数．
问题 ４：能不能给这种数列起个名字？
学生答：“等商数列”．
教师回答：“商”又称之为“ 比”，因此会称为“等 比数列”．
问题 ５：完整地叙述一下等比数列的概念
答：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一 项的比都是同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，常用 ｑ 表示．
问题 ６：用符号来叙述等比数列的概念。
答：如果数列{ａ ｎ }满足，当 ｎ≥２ 时，都有
＝ｑ（ 常数），那么数列{ａ ｎ }就称为等比数列．
３．２ 变式环节（ 等比数列的定义）
变式题组：判断下列数列是否是等比数列：
（１）３ ，９ ，２７ ，８１ ，…
（２）２，２，２，２，…
（３）ａ，ａ，ａ，ａ，…
问题 ７：对等比数列的项和公比有什么限制？
答：ａ ｎ ≠０，ｑ≠０
设计意图：利用变式练习引导学生发现等比数 列的本质属性，并自行命名，充分体现了学生的主体 地位．同时通过展示等比数列的非本质属性和错误 范式来突出等比数列的内涵．
３．３ 生长环节（ 等比数列的通项公式）
问题 ８：回到最开始的细胞分裂问题，过了一天 后，会有多少细胞？
答：根据等比数列的定义，前面几项的求解还是 比较容易的，但是第 ４８ 项就不是那么容易列出来 了．和等差数列一样，如果能求出通项公式就容易解 决该问题了．
问题 ９：等比数列的通项公式是怎样的？ 要如 何证明？
设计意图：这里将证明等差数列通项公式的方 法类比迁移到等比数列通项公式的证明，进一步完 善了学生等比数列的命题系．
问题 １０：公式的特点是什么？
教师：公式中含有ａ ｎ ，ａ １ ，ｑ，ｎ 四个量，知道其中 三个可求出第四个．
问题 １１ ：等比数列和等差数列的通项公式是类 似的，对比分析一下两者有没有联系？
学生回答：ａ１ 的下标与 ｄ 的系数和为 ｎ，由此推出了ａ ｎ ＝ａ ｍ ＋（ ｎ －ｍ）ｄ，猜想：ａ ｎ ＝ａ ｍ ｑ ｎ－ｍ．证明（ 由学生类比思考得出）：
问题 １２：类似于等差数列与一次函数的关系， 等比数列会和什么函数相关呢？
教师活动：利用几何画板展示等比数列的散点 图．学生通过观察发现其趋势像指数函数的图像．
设计意图：以等差数列的通项公式为生长点，从 不同角度引导学生研究等比数列的通项公式，从而 构建出等比数列通项公式的命题域与命题系，以此 培养学生类比归纳的数学思想方法，让学生体会到 观察、猜想、证明等合情推理与逻辑推理方法在数学 学习中的重要作用．
３．４ 巩固练习
若等比数列为 ２ ，－１ ，
，
，…，求第 １０００项的值．
设计意图：为了完善学生等比数列的 ＣＰＦＳ 结 构，通过例题加深学生对概念体系的认识．喻平教授 指出，概念的巩固需要在两种水平上应用，包括知识 水平和思维水平［３］．通过对上述问题链的解决，采 用变式教学方式来挖掘等比数列的内涵，并且指出 等比数列与等差数列概念和命题间的关系，不仅让 学生学习到数学知识，更重要的是领会到蕴涵在 ＣＰＦＳ 结构中的数学思想方法．
３．５ 反思策略环节
引导学生说出等比数列的定义及其通项公式． 并带领学生还原本节课知识网络体系中所蕴含的数 学思想方法．
主要方式为“ 还课 ”，要求学生将学习过的数 学知识重述给同学或老师听，并能用多种方法讲 解，从而构建和完善等比数列的概念系以及所蕴 涵的数学思想方法，培养学生学习数学知识和解 决问题的能力．
３．６ 作业布置
（１）课本 Ｐ３１ 练习 １ ，２，４
（２）尝试写出等比数列通项公式不同的证明 方法．
设计意图：采用一法多证的变式方法完善巩固 学生等比数列的概念域与概念系．
以上是基于喻平教授的生长教学策略理论的 “ 等比数列的定义及其通项公式”的教学设计，通过设计关于等比数列的问题链，构建出 等比数列的概念域和概念系，提高了学生综合运用 数列知识解决问题的能力，同时注重了等比数列通 项公式的证明过程，将具有内在联系的命题按等价 关系或抽象关系进行整理，构建了关于等比数列的 陈述性知识体系[9] . 并且，在概念的引入和证明过程中让学生感受到了数学的应用美和抽象美．通过 帮助学生建立 CPFS 知识结构，促使学生在头脑中 形成良好的知识结构网络，而且在面对变式问题和 多样复杂的命题时能快速检索出相关的概念、公式、 定理等，从而大大提高了解题的速度与准确性.
参考文献：
[1] 喻平．数学问题解决认知模式及教学理论研究 [ D] . 南京：南京师范大学，2002 .
[2] 陈秦，李中平．基于 CPFS 结构理论的余弦定理教学设计[J] . 试题与研究，2022(16) : 143 - 145 .
[3] 鲍红梅．完善中学生 CPFS 结构的生长教学策 略研究[ D] . 南京：南京师范大学，2004 .
[4] 刘长春，张文娣．中学数学变式教学与能力培养 [ M] . 济南：山东教育出版社，2001 .
[5] 傅赢芳，喻平. CPFS 结构理论及其对数学概念教学的启示[ J] . 教育研究与评论（ 中学教育教学），2020(06) : 28 - 33 .
[6] 喻平，单墫．数学学习心理的 CPFS 结构理论[ J] . 数学教育学报，2003(01) : 12 - 16 .
[7] 鲍红梅，喻平．完善中学生 CPFS 结构的生长教学策略研究[J] . 数学教育学报，2006(01) :45 - 49.
[8] 林雅馨. CPFS 理论视角下高中生学习数列的认 知分析[ D] . 漳州：闽南师范大学，2021 .
[9] 郭施敏．基于CPFS结构理论的导学案编写— 以“ 等差数列”为例[ J] . 中学数学研究（ 华南师范大学版），2018(06) : 32 - 35 + 10 .
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