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摘要：弹簧连接体问题是近年高考的热点问题，此类模型多涉及对动量、能量问题的综合考 查，运动过程和运算过程都比较复杂．本文通过转化参考系，研究微过程，结合图像和过程的对称 性，研究了 2022 年全国乙卷 25 题，给出了本题的几种快速解法．在此基础上，本文强调复习过程中应注意物理学科思想的渗透，从而有效地发展学生的学科核心素养.
关键词 : 质心参考系, 微元法,对称性
高考真题中蕴含着丰富的物理学科思想，深入研究真题，尤其是压轴大题，有助于教师准确把握高考考查方向，改进教学行为，提升课堂教学实效. 2022 年高考全国乙卷的 25 题就是一道学科思想丰 富的好题，值得深入钻研．本文通过一题多解的形 式，展示其背后的物理思想，有利于在课堂上开阔学生眼界，提升学生的学科核心素养.
1 题目呈现
(2022 年全国高考乙卷 25 题) 如图 1(a) ，一质 量为 m 的物块 A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平 面上 ; 物块 B 向 A 运动，t = 0 时与弹簧接触，到 t = 2t0 时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B 的 v －t 图 像如图 1(b) 所示．已知从 t = 0 到 t = t0 时间内，物 块 A 运动的距离为 0．36v0 t0．A、B 分离后，A 滑上粗 糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的 B 再 次碰撞，之后 A 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同．斜面倾角为 θ(sinθ = 0．6) ，与水平面光滑连接．碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内．求 :
(1) 第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值 ;
(2) 第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值 ;
(3) 物块 A 与斜面间的动摩擦因数.
2 试题精析
本题是常见弹簧碰撞模型，属于学习探索类情境.
作为甄别最优秀学生的压轴大题，本题的设问 比较创新，尤其是第(2) 问，由于不是常见的运动形式，不能直接用运动学公式求解 ; 也不宜用所谓的 “平均速度” ，含混地表述物体对地位移．笔者认为 应该运用守恒定律或对称性，结合微元法对微小 位移进行分析，再累计求和，从而得到对地位移. 这一过程 的难点在于，对于微小位移的分析容 易 造成失误．第(3 ) 问，是对于能量、动量、动能定理 等必备知识的综合考查，计算难度较大，在考场上不易解得.
下面尝试采用多种解法，从多个角度分析本题，展示探讨题目背后所蕴含的学科思想.
2．1 解析第(1) 问
解法一 (动量－能量双守恒) ( 略)
解法二 (质心参考系、柯尼希定理) A、B 质心位置
，质心速度
由图像知 : vC = v0 ，vB = 1．2v0 ，vA = 0，解得 : mB = 5m.
由孤立二体系统的柯尼希定理 :
相(其中折合质量
相对初速度 v0相= vB －vA = 1．2v0 ) ，解得 :
2．2 解析第(2) 问
解法一 (微元法 + 守恒律) 物块 A、B 通过弹 簧发生相互作用，做变加速运动，应选用动量守恒定 律和微元法解题．共速时，弹簧压缩量最大，最大压缩量即 A、B 的相对位移.
在任意时刻 t 时，A、B 速度分别为 vA 、vB．由动 量守恒 :
mAvA + mBvB = (mA + mB ) v0 ，即 : vA + 5vB = 6v0 .
取一段极短 时 间 Δt，A、B 可视为匀速直线运 动，各自位移为 : ΔxA = vAΔt，ΔxB = vBΔt，
两者相对位移 Δx( 即图 2 中的阴影部分面积) : Δx = ΔxB - ΔxA = 1．2v0Δt －1．2ΔxA，
由题中条件，0 －t0 时间内，xA = 0．36v0 t0 ，对上 式累计 :x = 1．2v0 t0 －1．2xA = 0．768v0 t0 .
解法二 (转换参考系) 由 A、B 任意时刻动量守恒，mAvA + mBvB = (mA + mB ) v0 ，变形得 :
mA ( v0 －vA ) = mB (vB －v0 ) .
可取以 v0 向右匀速运动的参考系 C．在 C 中， A、B 的速度记作 v
A= vA －v0 、v
B = vB －v0 .
则有 : v
A = －5v
B，则极短时 间 Δt 内，位移有 :Δx
A = －5Δx
B ，累计求和，位移大 小有 : x
A = 5x
B，( 如图 3 中阴影部分比值为 5: 1)
由图 像 x
A = v0 t0 － xA = 0．64v0 t0． 则 x = 0．128v0 t0 ，相对位移 x = x
A + x
B = 0．768v0 t0 .
解法三 ( 质心运动) 系统不受外力，A、B 质心将以 v0 做匀速运动，xC = v0 t0．质心位移满足 xC =
，xA 、xB 为 A、B 的 对 地 位 移，xA =0．36v0 t0 ，解得 xB = 1．128v0 t0 ，相对位移 x = xB －xA =0．768v0 t0 .
2．3 解析第(3) 问
解法一 (动量 －能量双守恒) 物块 A 第二次 到达斜面的最高点与第一次相同，说明物块 A 第二 次与 B 分离后速度大小仍为 2v0 ，方向水平向右动 量守恒定律、能量守恒定律得 : μ = 0．45
解法二 (质心系中的弹性碰撞) 设A 返回后，对地速度大小为 vA1 ，B 与之碰前速度 vB1 = 0．8v0 .
取 A、B 质心系为 D 系，
; 亦即 :
vA1 －vD = －5(vB1 －vD ) ①
A 与 B 第二次弹性碰撞后，设 A、B 对地速度分 别为 vA2 、vB2．显然必须有 vA2 = 2v0 ，A 才能返回相同 高度.
在 D 系中，弹性碰撞有 :
vD) 1 = －v) ，即 vA1 －vD = － (vA2 －vD ) ②
②代入① , 解得 vD = 0．5v0 ，vA1 = －v0 .
由 A 上，下斜面位移大小相等得 :
解得 : μ = 0．45.
解法三 ( 图像法 + 对称性) 由题目中 0 －2t0 时间内图像可知，弹性碰撞有如下特点 :
(1) 每个物体碰前 v前 、碰后速度 v后 关于共速 v共 对称，即 : v前 －v共 = v共 －v后 ;
(2) 碰前、碰后速度偏离共速的大小与质量成反比，即 : mA (mA －m共 ) = mB (mA －m共 ) .
定性画出之后的图像( 如图 4 ) ，由对称性得 : mALA = mBLB，即 :2－vD = 5(0．8－vD ) ，则 vD = 0．5v0 . LA = 1．5v0 ，LB = 0．3v0 ，vA1 = v0．之后同“解法二”.
3 探讨本题物理思想及教学启示
高考评价体系明确指出，高考题的核心功能是 立德树人、服务选材、引导教学．本题中所蕴含的物 理思想的确值得我们深入思考，从而更好地将其融入到我们的日常教学之中.
3．1 守恒思想
本题每一问都有对守恒思想的重点考查，但角 度不同各有侧重．可见，高考对于如能量观念、守恒 思想等基础性必备知识的考查是不遗余力，我们应 该在新课教学和复习过程中更加重视基础知识的生 成，以及在各种真实情境下的呈现，促进物理观念的
立体化生成.
3．2 微积分思想
本题第(2) 问颇为创新，意料之外但又情理之 中．教材关于微积分思想的渗透是循序渐进的，例如 在“平均速度和瞬时速度”中初次展现微元思想; 又如运用微积分思想，结合 v －t 图像推导匀变速运动位移公式 ; 再如，结合 F －x 图像，探究弹性势能的 表达式．在相关的不同章节之中反复使用，我们应注 重微积分思想培养的连续性，使学生由衷地欣赏，自然地接受，全面的掌握，并主动地运用这一重要思想.
3．3 对称思想
题( 1) － (3) 问均可由对称性，得到简便解法. 题目以图像的形式给出了条件，从中很容易看出关 于共速速度( 即质心速度) 的对称性 ; 在弹性碰撞 中，由对称性替代能量守恒，直接从相对运动的对称 入手，使问题得到快速地解答．事实上不仅是碰撞问 题，在很多问题的教学中，我们都能从对称性的角
度，为学生展示更加清晰的物理图景.
3．4 等效思想
本题多次出现利用质心的相关性质和定理的解 法，是因为这样能够将复杂物体运动，等效为“质心的 匀速直线运动 + 相对质心的简谐振动” ; 另外，质心承 担了系统的总动量，那么相对于质心的总动量即为零; 再者，由于质心匀速运动动能不变，那么就只有相对质 心的能量可供使用( 资用能) 等，以上都是等效思想很 好的应用．等效思想作为“化繁为简”的重要物理思想，出现在物理学习的诸多章节，值得我们更多地关注.
总之，本题以常见的模型作为压轴大题，兼具基 础性和创新性．其熟悉的情境符合学生的学习实际， 设问上的创新能有效增加试题的区分度．在日常教 学中，作为教师不仅要明白知识、规律的来龙去脉， 更应该引领学生关注题目所蕴含重要的物理思想. 因此，强调基础模型的研究，拓展知识的内涵外延， 重视其中物理学科思想的培养，应是一条提升学生的物理学科素养的有效途径.
参考文献 :
［1］赵凯华，罗蔚茵．新概念物理教程·力学( 第二 版) ［M］．北京: 高等教育出版社，2004 .
［2］ 中华人民共和国教育部．普通高中物理课程标 准(2017 年版) ［M］．北京: 高等教育出版社，2017．
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