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摘 要 : 质点与圆弧槽系统构成的物理问题，频频出现在各地高三模拟试题中，试题以学习探 索情境为载体，通过对“物理观念”中运动与相互作用观念及能量观念等要素的凝练，重点考查学生的理解能力、推理论证能力.
质点与圆弧槽系统构成力学中一类典型的组合 模型.该模型涉及力学中的功能关系、牛顿运动定 律、平衡条件、圆周运动等知识的应用，由此模型演 绎的物理问题，综合性强、设计方式灵活、能力要求 高.以下从“物理观念”素养中的运动与相互作用观 念以及能量观念的视角，进行分析.
1 质点与圆弧槽系统问题情境设计
如图 1.在质点与圆弧槽系统中，质点在槽中可 分为加速运动型及动态平衡型两类 ; 而槽又可分为 固定型与可动型两类.根据质点与圆弧槽的相互作 用方式，以及质点与圆弧槽系统对系统外约束物体 的作用方式，可以设计出丰富多彩的运动情境，运动 情境设计主要有以下方式 :
( 1) 圆弧槽不固定、置于水平地面上，因外界约 束而保持静止，质点运动时，探究圆弧槽所受作用力的变化规律 ;
(2) 圆弧槽固定或不固定，内壁光滑或粗糙，质 点在下滑过程中，考查质点或系统功能关系的应用 ;
( 3) 圆弧槽固定或不固定，质点在圆弧槽某位置，通过法线方向建立牛顿运动定律方程求解有关问题 ;
(4) 圆弧槽固定，通过分析水平方向及竖直方 向加速度的变化，探究水平方向、竖直方向速度、重力瞬时功率等物理量的变化规律 ;
( 5) 圆弧槽不固定、置于光滑水平面上，从动量 与能量的角度，分析质点与圆弧槽的运动，定性判断或定量计算有关物理量 ;
( 6) 质点从圆弧槽外进入槽，并与圆弧槽发生 相互作用，多角度探究小球与圆弧槽的作用.
2 情境分类与解答方略
2.1 质点与圆弧槽系统的平衡问题
例 1 质量为 M 的凹槽静止在水平地面上，内 壁为半圆柱面，截面如图 2.A 为半圆的最低点，B 为 半圆水平直径的端点.凹槽恰好与竖直墙面接触，内 有一质量为 m 的小滑块.用推力 F 推动小滑块由 A点向 B 点缓慢移动，力 F 的方向始终沿圆弧的切线 方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确 的是( ).
A.推力 F 先增大后减小
B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大
C.墙面对凹槽的压力先增大后减小
D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大
解析 设滑块和 O 点连线与竖直方向夹角为 θ， 由平衡条件有
F = mgsinθ ; FN1 = mgcosθ
滑块从 A 缓慢移动 B 点时，θ 增大，则推力 F 增 大，支持力 FN1 减小.
对凹槽与滑块整体分析，得墙面对凹槽的压力为
FN2 = Fcosθ = mgsinθcosθ =mgsin( 2 θ)
可见，当 θ 增大时，墙面对凹槽的压力先增大后 减小.
水平地面对凹槽的支持力为
FN3 = ( M + m) g-Fsinθ = ( M + m) g-mg sin2 θ
可见，当 θ 增大时，水平地面对凹槽的支持力减 小.综上，正确选项是 C.
评述 该题情境设计符合上述考查方式中的 ( 1) 要求.试题通过光滑凹槽中滑块沿圆弧切线方向的 力 F 作用下的运动情境，考查受力分析、动态平衡的分析、力的合成与分解等知识点.主要考查“科学思维”素 养中的模型建构、科学推理及科学论证等要素.
2.2 质点在固定粗糙圆弧槽中运动的问题
例 2 ( 2016 年全国 III 卷试题) 如图 3.一固定 容器的内壁是半径为 R 的半球面 ; 在半球面水平直 径的一端有一质量为 m 的质点 P.它在容器内壁由 静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为 W.重力加速度大小为 g.设质点 P 在最低点时，向 心加速度 的 大 小 为 a，容器对它的支持力大小为
评述 本题运动情境设计符合上述方式 ( 2 ) 、 ( 3) 要求.试题主要考查动能定理、牛顿运动定律及 圆周运动规律的应用，侧重考查考生的理解能力及推理论证能力.本题最容易出现的错误是，由于未进 行受力分析而遗漏重力.
2.3 质点在固定光滑圆弧槽中运动的问题
例 3 ( 东北师大附中 2022 年摸底考试) 如图 4.内壁光滑的半圆形凹槽放置于粗糙的水平地面 上，现将一个质量为 m 的小铁球从与圆心 O 等高处 A 由静止释放，在铁球沿凹槽下滑的过程中凹槽保持静止，若研究小铁球从最高点 A 滑至最低点 B 的过程，已 知重力加速度为 g.则下列说法正确的是( ).
A.铁球下滑过程中加速度的竖直分量先减小 后增大
B.铁球下滑过程中加速度的水平分量先增大后减小
C.铁球下滑过程中重力瞬时功率逐渐增大
D.地面对凹槽摩擦力的最大值为 1.5mg
解析 研究小铁球从 A 滑至 B 的过程，小铁球 作加速 运 动.在 A 处小铁球的加速度为重 力 加 速 度，方向竖直向下 ; 在 B 处向心加速度方向竖直向 上，无切向加速度.因此，该过程中，竖直方向的加速 度分量先减小后增大 ; 水平方向的加速度分量先增 大后减小.
重力的瞬时功率取决于竖直方向的分速度.A 处的速度为 0.B 处的速度方向水平向左，所以，A、B 两处重力瞬时功率为 0.可见，小铁球从最高点 A 滑 至最低点 B 的过程，重力瞬时功率的变化规律是先 增大后减小.
如图 5.设凹槽的半径为 R，某时刻运动至小球 与球心连线跟水平方向夹角为 θ 处，速度大小为 v， 此时小球所受弹力为 FN，由机械能守恒定律，有
评述 该题情境设计符合上述考查方式中的 ( 1) 、( 2) 、( 3) 、(4) 要求.要求能通过定性或半定量 的方法，分析竖直方向及水平方向速度、加速度的变化规律，重力瞬时功率的概念在此得到有效考查.其次，地面对凹槽摩擦力的方向，要求能结合牛顿运动 定律、机械能守恒定律、力的平衡条件及数学求极值 的方法，通过科学推理得到最大静摩擦力大小.试题 主要考查考生的推理论证能力.
2.4 质点在可动光滑圆弧槽中运动的问题
例 4 如图 1.在光滑水平地面上静止放置一质 量为 M 的半圆槽，半圆槽内壁光滑，轨道半径为 R， 轨道最低点为 B，两端 A、C 与其圆心 O 处等高.现 让一质量为 m 的小滑块从 A 点由静止开始释放，小滑块可视为质点，重力加速度为 g，若 M = 2m.则在 此后的过程中 ( ).
小滑块相对半圆槽做圆周运动，在 B 处，向心 加速度方向向上，出现超重. 因此，半圆槽对水平地 面的压力大于 3mg.
综上，正确选项是 B、C.
评述 该题情境设计符合上述考查方式中的 ( 2) 、( 3) 、( 5) 要求.试题以小滑块在半圆槽中的运 动为载体，考查动量守恒定律、机械能守恒定律成立的条件 ; 类比人船模型导出半圆槽运动的位移; 能综合应 用动量观念与能量观念，确定小滑块与半圆槽在 B 处 的速度 ; 定性分析半圆槽对水平地面的压力与重力的 关系.主要体现对理解能力、推理论证能力的考查.
2.5 质点在光滑圆弧槽中运动的综合问题
例 5 如图 6 ( a) 所示，带有半圆形轨道的凹槽 放在水平面上，凹槽左侧有一固定的障碍物，a、b 为 轨道的两端，轨道半径为 R.在 a 点正上方某高度从 静止开始释放一质量为 m 的小球，小球下落后从 a 端进入轨道，此后小球只在凹槽内运动，设凹槽质量为 2m，不计摩擦和空气阻力.
( 1) 求小球释放时距离 a 端的最大高度 ;
(2) 在满足( 1) 的条件下，求凹槽离开障碍物后 其轨道最低点对小球的支持力大小 ;
( 3) 现将该凹槽固定在倾角为 30° 的斜面上( 图 6 ( b) )，将小球从距离 a 点某高度水平拋出，小球恰 好能无碰撞地从 a 端进入轨道运动，此后小球能原 路返回到拋出点.试求抛出点距离 a 端的最大高度.
评述 该题情境设计符合上述考查方式中的 ( 2) 、( 3) 、( 5) 、( 6) 要求.要求能根据力与运动的关 系，定性得出小球及凹槽的运动性质与规律，能灵活 地使用机械能守恒定律、水平动量守恒定律及牛顿 运动定律定量研究题设问题. 问题 ( 3 ) 的分析要点 是能找出小球在凹槽右侧上升的最大高度.该题通过多处设置临界状态，考查考生的分析综合能力及 推理论证能力.
参考文献 :
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准 (2017 年版 2020 年修订) [M].北京: 人民教育出版社，2020 :4.
[2] 教育部考试中心.高考理科试题分析(理科综合分 册) [M].北京: 高等教育出版社，2016: 183-184.
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