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摘 要 : 高考数学中立体几何是必考的六道大题之一，这道题是学生得分的关键，而向量方法 是解决立体几何的重要方法之一.文章从向量法的第一步建立空间直角坐标系入手，分析了不同题 型下建系方法的选择，并通过一道典型例题结合考点加以阐述.
立体几何是高考必考的大题之一，而向量法是 解决立体几何问题的重要方法之一，《普通高中数 学课程标准(2017 年版 2020 年修订) 》中提到 : 运用
量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向 量是研究几何问题的有效工具.运用向量法的关键 是空间直角坐标系的建立，不同的建系对运算结果 会产生不同程度的影响，因此如何选择建系的方法 是解题的关键，从近三年的全国高考卷中可以发现 立体几何问题主要考查二面角的正余弦值、二面角 的大小以及线面成角，点面距等，具体考点见表 1 :
从表 1 中可 以 发 现，以空间几何体作为载体 考查空间角的相关问题是高考命题的重点，而 二 面角的求解则成为 高 考 的 热 点，对学生来说解决 这类问题的关键就是建系方法的选择以及计算， 恰当的建系对于简化运算有着良好的促进作用.
1 向量法的使用前提——— 建立空间直角坐标系
建立空间直角坐标系主要有以下几种类型 :
1.1 用共顶点的互相垂直的三条棱建系
例 1 ( 2020 年 北 京 高 考 第 16 题 第 ( 2 ) 问) 如图 1.在 正 方 体 ABCD -A1 B 1 C 1 D1 中，E 为 BB 1 的中 点. 求 直 线 AA1 与 平 面 AD1 E 所 成 角 的 正弦值.
分析 根据题意，要解决问题可以选择用向量 法，首先要建立空间直角坐标系，题目所给出的是正 方体，根据正方体的几何特征对正方体进行建系，主 要是以正方体的其中一个顶点作为坐标系原点，以 此顶点为线段端点的棱所在的直线作为 x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，从而解决问题.
因此，具体的建系过程如下 :
以点 A 为坐标原点，AD，AB，AA1 所在直线分别 为 x，y，z 轴建立如图 2 所示的空间直角坐标系 A- xyz.
1.2 用线面垂直关系建系
例 2 ( 2019 年 全 国 Ⅰ 卷 第 18 题 第 ( 2 ) 问) 如 图 3.直 四 棱 柱 ABCD -A1 B 1 C 1 D1 的 底 面 是 菱 形，AA1 = 4.AB = 2.∠BAD = 60 °，E，M，N 分 别 是 BC，BB 1.A1 D 的中点.求二面角 A -MA1 -N 的 正 弦值.
思路 1 根据直棱柱的特点可知，侧棱垂直于 底面，如 D1 D⊥面 ABCD，D1 D⊥DA，因此只需要在面 ABCD 中再找一条线与 DA 垂直即可完成建系，根据 题意可知直 四 棱 柱 ABCD -A1 B1 C1 D1 的 底 面 是 菱 形，∠BAD = 60°，E 是 BC 的 中 点，所 以 可 以 得 到∠ADE = 90°，即 DA ⊥ DE，所以可以以点 D 为坐标原点，DA，DE，DD1 所在直线为 x，y，z 轴正方向建立 空间直角坐标系，如图 4 所示.
思路 2 建系的关键是要在底面中找到两条相 互垂直且有交点的线为 x 轴，y 轴，根据题目的条件 可知，底面 ABCD 为棱形，因此 AC ⊥ BD，设其交点 为 O，只需过点 O 找到一条与侧棱垂直的直线作为 z 轴即可完成建系，具体过程如下 :
设 AC∩BD = O，A1 C1 ∩B1 D1 = O1.由直四棱柱性质可知 : OO1 ⊥平面 ABCD，因为四边形 ABCD 为 菱形，所以 AC ⊥ BD，则以 O 为原点，可建立如图 5所示的空间直角坐标系.
例 3 ( 武汉市 2022 届高中毕业生二月调研卷 第 18 题) 在如图 6 所示的多面体中，点 E，F 在矩形 ABCD 的同侧，直线 ED⊥平面 ABCD，平面 BCF ⊥平 面 ABCD，且△BCF 为等边三角形，ED = AD = 2.AB= 根号2 求平面 ABF 与平面 ECF 所成锐二面角的余 弦值
分析 由题意可知直线 ED ⊥平面 ABCD，四边 形 ABCD 为矩形，满足侧棱垂直于底面的情形，且有DA，DC，DE 两 两 垂 直，所 以 可 以 以 点 D 为 坐 标 原点，DA，DC，DE的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立如 图 7 所示的空间直角坐标系.
1.3 用面面垂直关系建系
例 4 ( 2019 年全国Ⅲ卷第 19 题) 图 8 是由矩 形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图 形，其中 AB = 1.BE = BF = 2.∠FBC = 60°，将其沿AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重 合，连 接 DG，如 图 9所示.
( 1) 证明 : 图 9 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE ;
( 2) 求图 9 中的二面角 B -CG-A 的大小.
思路 1 根 据 题 意 可 知 △ABC 为 直 角 三 角形，所以有 AB ⊥BC，因此常见的建系思路为以 B为原点，BC，BA 为 x，y 轴 的 正 方 向，再 过 点 B 作 BB 1 为 z 轴，如 图 10 所 示.但是这样建系存在一 个问题，就 是 点 E 的坐标不好表示，因 此 有 了 建系的第二种思路 ;
思路 2 由 问 题 ( 1 ) 可 知 平 面 ABC ⊥ 平 面 BCGE，因此可以找到这两个面的交线，作出交线的垂线，同时建系建在已有的点上，方便写出点的坐标，如 : 过点 E 作 BC 的垂线交 BC 于点 O，因为 ABOG，OE的方向为x，y，z 轴的正方向，建立空间直角 坐标系，如图 11 所示.
两种建系方法相比较，明显思路 2 的方法简化 了点 E 坐标的求法，因此，恰当的建系可以简化点的运算，提高解题效率.
1.4 用正棱锥，圆锥的高所在的直线建系
例 5 ( 2020 年全国 Ⅰ 卷第 18 题第 ( 2 ) 问) 如 图 12.D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形，
分 析 由 题 意 易 得 DO 为 圆 锥 的 高，AE ⊥ BC，过点 O 作直线 OF /BC 交 AB 于点 F.具体建系如下 : 以 O 为原点，OF，OE，OD 的 方 向 为 x，y，z 轴的正方 向，建 立 如 图 13 所示的空间直角 坐 标系 O -xyz.
2 应用——— 典型例题
例 6 如图 14 所示，斜三棱柱 ABC -A1 B 1 C1 中，平 面 ABC ⊥ 平 面 BCC1 B1.AB ⊥ BC，∠B1 BC =60°，AB = 1.BC = BB1 = 2.
( 1) 求 A1 B 与 CB1 所成角的余弦值 ;
( 2) 求 A1 B 与平面 ACC1 所成角的余弦值 ;
( 3) 求二面角 B -CC1 -A 的余弦值.
3 小结
用空间向量法求解空间角的一般步骤: ( 1 ) 建 系; (2) 求相关点坐标; (3 ) 求相关向量坐标; (4 ) 向量运算; (5 ) 得出结论.到目前为止，立体几何中的 向量方法仍旧注重几何直观与空间想象的培养，因 为建立适当的空间直角坐标系是关键，而这需要空 间认识，只不过因向量是自由向量，兼具大小和方向 两个要素，可以将抽象的空间位置关系用一个基底 加以转化来研究，故而向量方法的教学既有助于培 养逻辑思维与数学运算，也有助于培养学生的直观 想象核心素养，渗透数学转化与化归思想.为培养学 生良好的政治素养、道德品质和科学思想方法起到 有效的促进作用.
参考文献 :
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (2017 年版 2020 年修订) [M].北京: 人民教育出版社，2020.
[2] 教育部考试中心. 中国高考评价体系 [M].北京: 人民教育出版社，2019.
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