基于变式教学培养高中生的数学再创造思维—以“直线与圆的综合问题”专题复习课教学设计为例论文

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　　摘要：培养学生创新能力的关键是培养学生的创造性思维。创造教育是以培养人的创造力为主要目标的新型教育方式。“变式教学”遵循目标导向、启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新等教学原则，努力培养学生的求异思维、创新意识和创造水平。笔者以“直线与圆的综合问题”的专题复习课为例，提出了如何有效运用变式教学引导学生深入思考，积极应变，主动求变，培养学生创新精神和关键能力的教学策略。

　　[关键词]创造教育;变式教学;直线与圆的综合问题

　　创造教育是以培养人的创造力为主要目标的新型教育方式。荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔认为数学教学方法的核心是学生的“再创造”。在教学活动中，荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔认为“学一个活动的最好方法是实践”。在课堂实践中，教师应通过有效方式来培养学生的创造意识、创造思维、创造才能、创造心理，从而造就具有创造性素质的创造性人才。那么哪种教学方式是有效的呢？事实上，数学教学不应局限于课本，应让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步地深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三。

　　数学复习课是对数学概念课与原理课的延续，是对数学知识的进一步巩固应用与深化提升，以形成灵活完善的整体知识网络的重要教学过程。如何提高复习教学的有效性，发挥整体把握和数学育人功能，是值得数学教师深入研究的重要问题。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》在教师实施课程标准应该注意的问题中明确强调：为了培养学生的数学学科核心素养，数学教师必须提升自身的“四基”水平、提升自身数学专业能力，自觉养成并发展“三用”素养。笔者认为：数学教师要在把握高中数学四条主线脉络的基础上，深化理解数学知识之间的内在关联，主动探索如何把科学形态的数学转化为教育形态的数学。这就需要教师努力提升教学实践能力，不断改进和发展数学教学方法，并恰当运用之。本文基于数学学科特点和笔者以往教学经验认为，通过有效运用“变式教学”能够引发学生的数学思考，使学生在掌握数学知识和技能的同时，提升学生的数学思维品质，感悟数学知识的本质，实现数学教育的价值。

　　华东师范大学特聘教授、博士生导师，中国当代教育实践家、“青蒲实验”的开创者顾泠沅先生及其研究团队将变式教学分为概念性变式和过程性变式两类，其中，过程性变式主要用于习题教学和复习教学。笔者认为，所谓“过程性变式教学”，就是指教师基于学生的认知水平和学习规律，有目的、有计划地对问题内容进行合理转化，即通过保留问题中的本质因素，更换问题中的非本质特征，例如，变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置问题的实际情境等，指导学生在解决问题的过程中，掌握数学的基础知识和基本技能，感悟数学知识本质，理解蕴含其中的数学思想方法，提炼数学活动的基本经验。由此可见：高中“变式教学”具有目标性、时效性和层次性的基本特征，通过多元化、多途径、开放式的设问和变化，培养学生的创造性思维，发展学生的数学思维，提高学生的数学关键能力。

　　为更好地培养学生“再创造”的思维和良好的思维品质，笔者启发学生自主变式，训练学生积极思考，提升学生思维的敏捷性。下面，笔者以专题复习课“直线与圆的综合问题”为例，分享开展过程性变式教学提升学生创造能力的实践与思考。

　　一、教学内容解析

　　直线是解析几何的灵魂，而圆是解析几何中最简单的曲线。本节课是继复习“直线与圆的方程”和“圆锥曲线”之后的一节综合复习课，旨在培养和提升学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象等数学学科核心素养。

　　解决有关圆的问题，特别是直线与圆的综合问题，常用的数学思想方法是数形结合方法，这也是解决圆锥曲线综合问题的基本思想方法。指导学生通过观察图形间的位置关系，揭示问题本质，利用数学语言表达几何关系，再运用数学知识探求结果。

　　二、教学设计思路

　　(一)设计理念

　　在前期的复习阶段中，学生已经完成了《解析几何》章节的基本知识点复习。在解决综合问题的学习中，学生还需要提升总结解决问题的一般方法的能力，提升对问题“再创造”的能力。本课在教学中，采用“变式教学”的教学方法，课堂从预习中的问题出发展开教学，教学活动同样以该问题为基点，启发学生自主变式，独立思考，充分发挥学生的主观能动性，从而达到落实教学目标的目的，这也契合了新课程改革精神。

　　(二)教学目标

　　(1)通过例题解析，能梳理并提炼直线与圆相关问题的一般解题方法，提升逻辑推理核心素养。

　　(2)通过改编例题，能在不同情景中解决直线与圆的综合问题，提升数学抽象和直观想象核心素养。

　　(三)教学重点和难点

　　教学重点：运用数形结合的思想方法解决直线与圆的综合问题。

　　教学难点：一类直线与圆综合问题基本解法的归纳概括与灵活运用。

　　三、教学过程设计

　　(一)习题回顾反思，知识梳理总结在课前的预习题目中，学生对如下例题的作答情况不乐观。这既说明学生对这部分知识有所遗忘，也反映出学生的解题能力、知识迁移和对已有知识的加工创造能力欠佳。

　　例题已知直线x-2y+a=0与圆O：x2+y2=2相交于A、B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为________．

　　1.解题方法分析

　　本题主要考查了直线与圆的位置关系及平面图形的相关知识。解题可从几何角度出发，利用图形解决问题，也可从代数角度入手，利用方程解决问题。

　　从几何角度出发，是解决本题的基本方法。充分利用已知条件“△AOB为等腰直角三角形”，探究“半径、半弦、弦心距”三者存在的直角三角形的重要关系，再结合“点到直线的距离”公式解决问题。

　　从代数角度入手，需联立直线与圆的方程进行消元，得到关于x(或y)的一元二次方程，再与几何条件“△AOB为等腰直角三角形”联系解决问题。这种方法不是解决直线与圆的位置关系的常用方法。

　　2.学生问题分析

　　(1)基础知识不扎实，知识结构不完整

　　从知识层面上，部分学生没有完全形成对“直线和圆”这部分的知识结构；从能力层面上，部分学生缺乏构建各知识结构分支间的逻辑关系。

　　(2)解题方法不全面，直观想象素养弱

　　从几何角度出发的学生，存在由于没有充分理解和利用“△AOB为等腰直角三角形”这个已知条件而使思维受阻，也存在不熟悉“点到直线的距离”公式而使运算不能进行下去的现象。从代数角度入手的学生，难与几何条件“△AOB为等腰直角三角形”联系，无策而罢手。选用这种方法的同学对试题的认识只停留在题目的表面，不能全面掌握、灵活运用相关知识。

　　3.方法总结梳理

　　本题涉及的知识点包括直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式，基本解法是利用图形解决代数(参数a)问题。学生共同梳理相关知识点、解题流程图、解题过程。

　　(1)与圆位置关系的判断方法

　　方法1几何法：通过圆心到直线的距离d与半径r的大小比较来判断：若直线与圆相离，则d＞r；若直线与圆相切，则d=r；若直线与圆相交，则d＜r。

　　方法2代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式的取值情况来判断：若Δ＜0，则直线与圆相离；若Δ=0，则直线与圆相切；若Δ＞0，则直线与圆相交。

　　通常，判断直线与圆的位置关系利用几何法，即“d-r”法。

　　(2)点到直线的距离公式

　　设计意图：例题条件简洁，学生结合图形易于设计解题思路，形成解题过程。以较为简单的典型题目为载体，在分析题目过程中，学生既全面习并理解相关知识内容，建构知识网络结构，又为例题的再创造、思维的再提升铺垫知识基础。

　　(二)习题自主变式，创造激发思维

　　变式训练的本质是题型变知识点不变，也就是万变不离其宗。培养学生的创造力是教育的主要目标之一，在教学中融入变式教学训练，引导学生自我思考，自主变式，对于开发与培养学生的发散性思维、知识迁移拓展，乃至自主探究能力、创造思维能力都有很大作用。

　　师：我们对例题进一步思考。如果弱化或改变题目的某些条件或结论，可以改编成怎样的试题呢？

　　学生1改变题目中三角形的形状。

　　变式1已知直线x-2y+a=0与圆O：x2+y2=2相交于A、B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等边三角形，则实数a的值为____________。

　　学生2让圆心也动起来。

　　变式2已知直线x-2y+a=0与圆O：(x-a)2+y2=2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为

　　_________。

　　学生3例题中的直线是平行移动的，我们也可以让直线围绕某点转动起来。

　　变式3已知直线y=a(x+)与圆O：x2+y2=2相交于A、B两点(O

　　为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为_________。学生4变式3中，直线斜率变成了变量，直线就转动起来了，使我想起类似问题。

　　变式4直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M，N两点，若|MN|≥，则k的取值范围是

　　__________。

　　设计意图：基于例题的思考，引导学生重构题目情境，培养学生探究创新精神。在学生间相互启发的过程中，既开拓了解题思路，又克服了对已有知识的生搬硬套，从而培养学生的创新能力。

　　(三)考题综合实践，思维迁移提升

　　师：很棒！大家通过改变三角形的形状、变化圆心的位置、改变直线的运动方式等途径，改造出呈现方式不同的新题目。学生4又以“不等关系”这一条件提出了新的命题方式。好题就是一个既把握数学本质，又探寻恰当载体的创编过程。可以看出，同学们对考点把握得很到位，思维也很活跃，我很欣赏大家的想法。

　　在此基础上，老师再提出进一步的变式，请大家思考下面这道题。

　　变式5(2018海淀一模文8)已知直线l:y=k(x+4)与圆(x+2)2+y2=4相交于A、B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x-4y-6=0的距离的最大值为()。

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　(1)解题方法分析

　　本题考查直线与圆位置关系的应用，同时考查点到直线的距离公式、圆的性质以及学生求解综合问题的能力。具体方法如下。

　　首先，观察图像，利用圆的垂径定理，得到垂直关系，根据圆的性质判定动点轨迹，即挖掘题目中的隐性条件，得到圆的轨迹，实现将问题进行转化与化归。

　　其次，利用直线与圆的位置关系的知识，并结合“d-r”法解决问题。该题中动点M的轨迹是圆，与直线3x-4y-6=0的相离关系，故所求最大值为d＞r。

　　(2)解题流程提炼(如图3)

　　(3)预设设计

　　预设1：如图4，设圆心为点C(-2,0)，连接MC。设直线l所过定点为A(-4,0)，易知点A在圆C上。由垂径定理可知，MC⊥AB，垂足为M，此时，MC⊥MA。故点M的轨迹是以线段AC中点(-3,0)为圆心。以AC=1为半径的圆，其方程为(x+3)2+y2=1。所以原命题等价于圆上一点M到直线3x-4y-6=0的距离的最大值，即圆心(-3,0)到直线3x-4y-6=0的距离加上半径1的值为最大值4。

　　预设2：如图4，设圆心为点C(-2,0)，连接MC和BO。设直线l所过定点为A(-4,0)，易知点A在圆C上，易知AB⊥BO。又因为MC//BO，所以MC⊥AB，垂足为M，此时，MC⊥MA。

　　(下同预设1)

　　(四)总结提炼

　　教师提出以下几个问题，请学生进一步思考交流，共同总结提炼解决直线与圆综合问题的基本策略，以启迪学生学习智慧，增强课堂教学效果等最终目标。

　　1.问题中涉及的基本量有哪些？(弦心距半径半弦长)

　　2.解决问题的基本方法是什么？(几何法即“d-r”法，代数法)

　　3.解决问题过程中蕴含的数学基本思想方法有哪些？(数形结合、转化与化归等)

　　当然，教师还可以根据学生情况，适当教授一些小口诀，指导学生解题过程中灵活运用，以提高解题效果。例如，将圆化成标准式，精准作图找要素；线圆关系交切离，利用几何“d-r”法；相切d、r值相等，切点圆心线线垂；相交找到直三角(Rt△)，勾股定理点线距。

　　4.反馈训练

　　(1)已知直线x-y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A、B两点，且△OAB为正三角形，则实数m的值为()。

　　A.B.

　　C.或-D.或-

　　(2)在平面直角坐标系中，从点P(-3,2)向直线kx-y-2-k=0作垂线，垂足为M，则点M到直线x+y-5=0的距离的最小值是_________。(3)(2022届北京市通州区高三第一学期期中试题)函数的值域为_________。

　　(五)教学反思

　　课堂引入从学生的问题入手，教师剖析学生“错因”，学生在小组合作中一起梳理有关知识点和解题方法，彰显了学生的主体地位；在教师的启发引导下，学生多侧面、多角度、多渠道地审视例题，深入思考，积极参与自主变式、重构题目条件，实现了学生的创新思维发展，对例题再创造的目标；在实施变式教学过程中，课堂中的学习小组仅在例题分析和方法总结的环节中起到合作学习的作用，没有在变式教学活动中发挥小组合作探究的作用；课堂中对学生的评价方式比较单一，有待改进，在评价学生的表现时应既肯定学生在学习过程中的进步，又强调和关注他们的主体地位。

　　例题是学生预习题目中的错题。

　　其错误真实地揭示了学生在学习过程中存在的问题。作为教师，若能平和、全面、理性地看待学生的错题，并辅之以有效教学策略进行科学处理，不仅能从源头上防止错题的蔓延，还能让学生的错因成为弥足珍贵的教育资源，成为启迪学生数学智慧的关节点。

　　古人云：“变则通，通则灵。”笔者采用变式教学策略，与学生一同实现“一题多变”，感悟“变中不变”，在应变求变中促进自身数学思维的发展，这一教学过程既能有效地加深学生对数学基础知识的理解、数学基本技能的掌握，更能引导学生深化对数学思想方法及基本活动经验的感悟和思考，激发学生对数学学习的持久兴趣，提升数学思维的灵活性，培养学生的创新精神，切实将发展学生的数学思维品质和提高学生数学关键能力落实到课堂教学之中。

　　参考文献：

　　[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[S].北京：人民教育出版社，2020：97-99.

　　[2]朱清波，王海青.基于变式理论的数学习题课教学模式探究—以一道解析几何问题的解决为例[J].数学通报，2022,61(8):50-54.

　　[3]周世彦.高中数学变式教学的三性：目标性、时效性、层次性[J].数学教学通讯，2022(12):73-74.

　　[4]黄新如.高中数学错题成因分析及应对策略[J].中学生数理化(学研版),2015(5):36.

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