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摘要：文章从理解运算一致性，提高教学有效性;合理利用算法，培养程序意识;形成说理习惯，强化推理意 识;深化运算认知，感悟数学思想;鼓励多种算法，优化运算途径五个方面论述了基于新课标的初中生数学 运算能力提升策略。
关键词：数学运算能力,新课标,初中生
在《义务教育数学课程标准(2011 年版)》(以下 简称“2011 版课标”)中，运算能力尚未被确定为初中 阶段的核心素养，人们习惯性称它为十大核心关键 词之一，但在《义务教育数学课程标准(2022 年版)》 (以下简称“新课标”)中，运算能力明确被确定为初 中数学学科的核心素养，其重要性进一步得到彰显。 运算能力在小学阶段是最为重要的能力之一，到了 初中阶段它仍然是数学学习的基石，特别是初中生 要想在数学学科学习上高屋建瓴，就必须具备强大 的运算能力[1-2] 。在 2011 版课标中，对初中阶段运算 能力内涵的界定只有短短三句话，虽然覆盖了三个基 本问题“怎么算”“为什么这么算”“怎么算更快”，但 是并未说明具体的内容，明确具体的要求，缺乏可操 作性。新课标对初中阶段运算能力的内涵进行进一 步细化和扩充，明确提出了四个核心要求：①能运用 法则和运算律正确计算(解决了“怎么算”的问题); ②明晰运算对象和意义，理解算法和算理之间的关 系(与 2011 版课标相比，明确了“为什么这么算”的 具体检测标准);③理解运算问题，选择合理简洁的 运算策略解决问题(补充了“怎么算更快”的前提—— 先要理解);④通过运算促进学生数学推理能力的发 展(这是有别于小学的部分，是初中阶段运算能力的 新要求，目的是强化形式化的计算，提升学生的运算 能力) [3]。另外，还增加了运算能力在培养学生必备品 格方面的重要作用，主要是指对学生规则意识和程序 意识的培养，对学生“对称、转化、消元、降次、数形结 合”等数学思想的培养，对学生一丝不苟、严谨求实 科学态度的培养[4] 。下面本文拟基于新课标，对初中 生数学运算能力提升策略加以论述。
一、理解运算一致性，提高教学有效性
无论是 2011 版课标还是新课标，都强调帮助学生理解运算一致性的重要意义。从小学开始，运算的 一致性就是运算类教学的重点，因为体会运算的一致 性可以帮助学生顺利适应各种类型数的运算，对提升 学生的运算水平有重要作用。 初中阶段虽然侧重于代 数运算，但是数式存在通性，式子运算的本质是与数 相通的。因此，初中数学教师在教学中阐明运算和算 理的一致性，同样也是必要的。在学生理解运算一致 性的前提下，教师通过类比和顺应，可以提高运算类 教学的效率，确保教学的有效性[5]。
初中阶段数学教学中，对运算一致性的渗透可从 有理数的运算开始，教师把握好有理数的单元教学， 可以唤醒学生小学阶段已有的对运算一致性的理解， 且可以在新的数系扩充(自然数到有理数)过程中，加 深学生对运算一致性的感悟。在原有的认知中，学生 已经知道整数、小数、分数的运算除了增加新的运算 法则，运算律并未发生改变，而当他们发现在引入负 数之后，对原有的运算系统也没有特别的影响时，他 们便会对数的运算系统的兼容性产生更明确的认识。 另外，在原有认知中，学生已经知道加减法、乘除法的 互逆关系，知道乘法是特殊加法的简洁表达，当在有 理数章节引入相反数、倒数、乘方后，学生对运算的一 致性有了更进一步的认识，能更加明确运算之间的关 系，而当未来数系再次扩充时就能够自然接受，这将 极大提高学生对运算的认知水平。
除了理解数的运算具备一致性，教师还需要引导 学生理解代数式的运算也具备一致性，但在此之前需 先引导学生体会数式之间存在通性，这样才能顺利把 学生在数的运算中的活动经验迁移到代数式运算中。 不同于数的运算，代数式的运算多了一个运算单位， 学生需要理解运算单位的意义，然后在用运算律处理 运算单位的过程中感悟数式的通性，进而把对数的运算经验迁移到代数运算中，提高运算学习的效率。 以 “合并同类项”这节课教学为例，教师可以实施以下教 学环节。
环节一：一个苹果的单价用 a 表示，一个梨的单 价用 b 表示，那么买 10个苹果和 15个梨的总费用， 你能用一个式子来表示吗?
生：10a+15b。
师：你觉得你列出的式子简洁吗?能否对它进行 简化?
生：当 a 与 b 相同的时候可以，即把 15个梨的总 价用 15a 来表示，这样 10a+15a 就可以简化成 25a。
师：能不能说一说你简化的依据?
生：我把 10a看成 10个 a 相加，把 15a看成 15个 a 相加，那么它们的和就是 25个 a 相加。
师：非常好，我们知道相同数的加法可以简化写 成乘法。把 10a+15a 简化成 25a，还可以怎么做?
生：可以利用分配律，10a+15a=(10+15) a=25a。
师：当两个代数式所含字母(运算单位)不 同 时，大家无法简化;但是当两个代数式所含字母(运 算单位)相同时，大家都能从数的运算中积极寻找 简化的方法。所以数的运算可以给代数运算提供方 向和途径。
环节二：请在下列代数式中任意选取两个进行合并：2a，3mn，4x2.5mn，x2.1/2a。
师：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同 的项叫作同类项，它们可以进行合并。
环节三：化简 2a+3mn+4x2+5mn+x2+1/2a。
师：=2a+1/2a+3mn+5mn+4x2+x2(加法交换律) =(2a+a) + (3mn+5mn) + (4x2+x2)(加法结合律) =(2+1/2) a+ (3+5) mn+ (4+1) x2(分配律)=2
师：上述把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。
基于数式通性，学生知道代数运算与数的运算存在一致性，它们的区别就在于运算单位不同，但是涉 及的运算法则和运算律基本和数是一致的，同时代数 运算也可以借助运算法则和运算律帮助学生理解运 算单位。有了整式加减的运算经验，学生在以后整式乘法、分式运算学习中便会有更明确的思路[6]。
二、合理利用算法，培养程序意识
算法指的是程序化的运算方法，利用算法可以培 养学生的程序意识。初中常见的算法有求中位数(算 之前先要对数据排序)、方差(需先算平均数，然后利 用公式计算)及解一元一次方程、二元一次方程组、分 式方程和不等式(需要按步骤变形)等。这些算法可以 弥补学生思维上的不足，帮助学生简化运算思路，特 别是帮助“学困生”掌握运算方法。有学者认为算法的 过度使用会扼杀学生的创造力，同时由于运算公式的 存在，学生变得不爱动脑筋，运算时更依赖于运用公 式。实际上这样的想法是偏颇的，因为在信息化时代， 形成一定的算法意识是必要的，而合理利用算法可以 帮助学生形成良好的运算习惯[7]。
算法存在诸多的优点。第一，算法可以帮助教师 精准诊断学生学情。当学生运用算法进行运算时，教 师可以从学生的运算过程中准确地知道学生的错误 所在，从而对学生的知识掌握水平进行直观评价，并利 用算法的规律有针对性地对其进行强化训练。例如，先化简，再计算(1+x/x-1) ÷x2-1/x2+x，其中 x=■3 。这样的计算题很常见，教师可以从学生的计算过程迅速判 断学生可能存在的知识缺漏。像有些学生可能是对 分式的加减掌握不到位，可能是对因式分解不熟悉，也 可能是对二次根式的化简没理解透彻，但不论是哪一 种运算技能上的缺失，都能通过他们的运算记录看出 来[8]。第二，算法可以有效解决某一类问题。在实际的 教学中，虽然一元二次方程是个复杂方程，但是大部 分学生都能通过简单训练做到基本掌握，原因就在于 它有一个通法—公式法，在反复的机械化训练下，很 多“学困生”在不明白其背后原理的情况下也能按算 法算对。而在遇到复杂情形时，其他的解法对学生来 说是一个巨大的挑战，如遇到“2x2+3x-1=0”时，利用 配方法比较复杂，利用因式分解法又无法处理，而公 式法可以用来求解全部的一元二次方程，不受限于方 程结构是否特殊。第三，算法可以让学生更好地理解 信息技术。信息技术的背后其实就是各种算法，教师 经常渗透算法意识，可以更容易地让学生理解计算机 的程序化特点。在二次函数的章节就有体现算法价值 的内容，如利用二分法(夹逼法)求二次函数与 x 轴的 交点，就是不断依据算法精确计算的过程，教师还可 以利用算法估算二次根式的具体值(其背后隐藏的也是逼近法)，在未来，算法是数学的重要分支[9]。
概言之，算法其实就是在传递一种程序化的思 维。虽然存在按部就班的弊端，但是总体上能帮助学 生形成有条理的做事风格，建立按照规范步骤解决 问题的科学方式，同时它也是一种简便实用的运算 方法[10]。
三、形成说理习惯，强化推理意识
要想提升初中生的运算能力，最为重要的就是要 让学生明晰运算对象和意义，那么培养学生的运算说 理习惯就显得尤为重要。运算说理就是让学生先说说 算式中所涵盖的运算类型有哪些，接着说说运算是否 可执行， 是否遇到无法用现有的知识解决的运算类 型，然后说说每一步的运算依据(所凭借的法则和算 理)，最后自我论证运算过程是否准确、是否达到最优化。例如，在解一元一次不等式“x-3/2-x+1/3>1”时，教师可先让学生说出运算的对象是什么(一元一次不等 式) ，接着让学生初步判断是否可算(可以) ，然后让 学生说出每一步的运算依据(去分母—— 不等式的性 质 2.去括号和合并同类项—分配律，移项—不 等式的性质 1) ，之后让学生检验(从解集里找一个特 殊值代入不等式，简单判断不等式两边是否成立)，最 后让学生判断这样的解法是否达到最优化(通分是否 更快) 。
把运算的每一个环节用说的方式呈现出来，可以 帮助教师快速诊断学生知识的掌握水平，同时借助说 理将思维可视化，可促进学生之间思维的碰撞，当然 这种方式最为重要的作用就是可提高学生规范化表 达的水平，促进学生思维条理性的形成。对于运算来 说，会说比会写更重要，因为形成说理的习惯，可以大 大降低学生运算的错误率，提高学生自我纠错的水 平。算理是运算的本质所在，除了要说出来，更要懂得 把它运用到数学的其他模块中去，所以强化推理意识 是新课标新增加的要求之一。 要想强化学生的运算推 理意识，教师就必须开展好与运算推理有关的关键点教学。例如，已知 x 为整数，是正整数，那么满足条件的所有 x 的值的和为 ____。这样的分式如果不做 变形，那么学生判断起来非常困难，因此教师可以将x+8/x+2进行下列变形x+8/x+2=(x+2)+6/x+2=1+6/x+2，这样学生就能轻松解决上述问题，在这种类型的题目中运算推理发挥了重要作用。如此，学生只有体会到运算推 理的重要性，才会对运算推理有足够的重视。
除了让学生感知运算推理，教师还要时常训练学 生运算推理的能力，如在一元二次方程求根公式的推 导教学中应让学生自主演练、合作研究，而不只是简 单地进行示范，应该要多一些启发;三角函数中有很 多恒等式，故也可以让学生多多尝试进行证明。
四、深化运算认知，感悟数学思想
2011 版课标对运算的定位侧重于技能训练，对于 运算中蕴含的数学思想和学科素养并未进行强调，新 课标则有所不同，它特别强调了运算能力在培养学生 必备品格方面的重要作用，这是对运算内核的进一步 挖掘。对于初中数学来说，运算不仅仅是基本技能，其 背后更蕴含着研究数学的基本套路和重要的数学思 想。因此，只有深化学生对运算的认知，才能够有效地 提升学生的运算能力。
教材在探究各类运算法则和运算律时经常会列 出一系列有规律的算式，如在探究异号两数相乘时， 课本就引用了“3× 3=9、2× 3=6、1× 3=3、0× 3=0”这些算式，让学生从等式的规律变化中猜想“(-1)×3=”等算 式的运算结果，从而得到异号两数相乘的法则。借助 有规律的算式进行运算法则的探索与归纳，是研究代 数运算的基本套路。另外，统计学中可以利用运算的 结论帮助进行决策与分析;几何模块中可以利用运算 进行定量分析;应用题中可以利用数量关系建立代数 模型进而获取问题的定论，那么在进行这些课时的教 学时，教师就要特别注意引导学生体会运算在数学探 究中的重要作用，让学生明白运算不仅是为了得到一 个结果，更要关注运算的过程，理解运算的深层次意 义，因为只有深化对运算的认知，学生才能获得高阶 的运算能力和运算思维。
除深化运算认知外，教师还需要帮助学生掌握运 算中蕴含的数学思想，因为很多特殊代数结构里其实 蕴含着图形的特征。例如，我国古代数学家赵爽用来 证明勾股定理的弦图，如图 1 所示。弦图是由四个全 等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正 方形。如果大正方形的面积是 13.小正方形的面积是
2.直角三角形的较短直角边长为 a，较长直角边长为 b，那么(a+b) 2 的值是 ______。从上述例题可以看出， 小正方形面积对应(a-b) 2.大正方形的面积对应 a2+ b2.四个直角三角形的面积和对应 2ab，这些都是与完全平方公式相关的代数结构，且存在于赵爽弦图的 各个局部。 那么在讲解赵爽弦图时，教师就可以适时 引入完全平方公式，让学生从特殊图形中蕴含的特殊 代数结构里感悟数形结合的思想。
除图形外，最能突显数形结合思想的就是函数模 块的教学，其中，数值的变化规律体现到图像上就是 上升下降;求解函数上的特殊点往往需要借助方程; 不等式往往对应的就是平面直角坐标系里的某一个 区域;两个式子比大小往往就是两个函数比较高低。 可以说感悟数形结合思想，可以让学生的运算境界得 到升华。同样，运算中蕴含的其他数学思想也可以提 高学生的思维品质。
五、鼓励多种算法，优化运算途径
为了提高学生运算的积极性，促进学生思维多样 性的发展，教师应该介绍多种运算的方法，让学生通 过运用不同的方法感受运算的多样性，在对比中寻找 算法的优化途径。另外，能否优化算法，并选择合理简 洁的运算策略解决问题是衡量学生是否具备高水平运算能力的标准 。例如， 已知关于 x、y 的方程组x+2y=k-1，2x+y=4的解满足 x+y=5.求 k 的值。遇到这种类型的题目，学生一般会采用三种算法。第一种是直接利 用原方程组进行消参运算，这种算法要求学生具有高 水平的运算能力，不适合“学困生”，因此不算优化的方法。第二种是把题目中的方程进行重新组合，得到简单方程组x+y=5，2x+y=4从而完成求解，这种算法经过了优化，明显运算量减少了不少，适用于大部分学生。第 三种是先观察代数式，发现里面的整体结构，然后利 用整体进行消元，这样是最为优化的运算方式，在实 际教学中也很适合“学困生”，为其解决这一类题 目创造了可能性。三种算法特点各不相同，学生可以根据自身的情况选取适合自己的，从而拓宽自己的运算 思路。
2011 版课标主张先培养学生的运算能力，然后学 生就能寻求合理简洁的运算途径，它把运算的优化当 作最终的目的，颠倒了提升运算能力和优化运算途径 之间的因果关系。而新课标重新厘清了二者之间的关 系，并且提出优化运算途径的前提是要理解面临的运 算问题，而不是盲目地选择简便运算，而忽视复杂运 算本身的价值，忽视学情。要想真正优化学生的运算 思维，其实最为重要的就是要培养学生自我反思的能 力，让学生自省自己的运算方法和运算过程，发现自 己运算方法上的不足，然后选取适合自己的运算途 径，并且在面对不同运算问题时，能够自主地从多个 角度对运算的优化途径进行辩证审视，可以说这样的 自我顿悟是最好的教育。 除了自省，不同运算思维之 间的碰撞也尤为重要。在日常的教学中，教师可以通 过有效组织和高效呈现，让学生之间多交流运算方法、 多互通运算思路、多畅听相互评价，这样可以促进不 同层次的学生实现真正的成长。
总之，在新课标背景下，初中数学教师要提升学 生对运算的认识，除了要使学生明白“怎么算”“为什 么这么算”“怎么算更快”，还要使学生深入挖掘运算 蕴含的内在价值。另外，在提升学生运算能力时，教师 要重视运算在培养学生品格、思想、素养等方面的作 用，从而促进学生全面成长。
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