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摘 要
“无痕教育”是特级教师徐斌的教学主张和教学理念。徐斌老师的数学课堂没有华丽的课件和教具，借助一支粉笔和师生谈话 的方式，让学生在洋葱剥皮式追问中复习“试商”，在一题多变中探究四舍五入“调商”，在分类和审题中发现除数的规律，值得 同行学习和思考。
无痕教育的基本要义是隐藏教育 意图，遵循教育规律，通过间接方式， 使得受教育者在不留痕迹中得到更好 的教育和发展。是顺其自然的一种教 育方式，是一种理想的教育境界。在 徐老师的“除数是两位数的除法”这 节数学课上，他没有华丽的教学课件， 没有创设丰富的生活情境，没有固定 的教学设计，一切的教学环节都是根 据学生的现场生成而定，让教学活动 在不知不觉中开始，让学生在潜移默 化中理解基础知识，在循序渐进中掌 握基本技能，在春风化雨中提升“三 会”能力，真正做到了以学定教，一 切从学生出发，为了学生的一切。
【片段一】在洋葱剥皮式追问中复 习“试商”
师：同学们，我们从一年级到现 在学过不少计算。如果按运算方法来 分类，学过加法、减法、乘法、除法 这四种运算，今天我们来研究有关除 法的计算。哪个同学来说说除法的含 义是什么?
有的学生说除法是把乘法倒过来， 有的学生说除法是乘法的逆运算，有 的学生说了除法算式各部分名称，有 的学生说除法就是平均分。
师：我们学过不少除法，不管是 口算还是笔算，我们在做除法的时候 有时除下来正好没有余数，有时除下 来就有余数。遇到有余数的时候要余 数比除数小。前段时间我们学习了除 法笔算，今天我们着重研究除数是两 位数的除法。请大家看这个竖式，如 果被除数和除数都是两位数，商是几 位数? (商一定是一位数。)如果被除 数是三位数，除数是两位数，商是几 位数? (商可能是两位数或一位数。) 三位数除以两位数商是一位数或两位 数，你能举个例子吗?
生：462÷42=11. 商 是 两 位 数; 116÷58=2.商是一位数。
师：通过这两个例子我们知道三 位数除以两位数的时候，先看被除数 前两位数，前两位够除，商就是两位 数;前两位不够除，商就是一位数。 因此，从高位除起，余数要比除数 小，这是计算除数时两位数除法的两 个基本规则。那同学们除法单元的知识 学得怎么样呢?我请三个同学到黑板上 来做三道除法竖式(96÷20.96÷32. 192÷39)， 其他同学来口答这几道题目 (60÷20 ;150÷30 ;20×( ) < 96. 括号里最大填几; 30×( ) < 96. 括号里最大填几; 30×( ) < 279. 括号里最大填几; 40×( ) < 192.
括号里最大填几;20×( ) < 111.
括号里最大填几)。
师：这三道题目的除数都是两位 数，不过第一题的除数是整十数，计 算起来比较简便。另外两道题的除数 不是整十数，我们在试商的时候有什 么方法?
生：96÷32. 我们把 32 看成 30 试 商，这叫“四舍法”;192÷39.我们把 39 看成 40 试商，这叫“五入法”。
师：同学们，计算除数是两位数 的除法时，不管是“四舍法”还是 “五入法”，有的时候商太大有的时候 商太小，那就要“调商”。
赏析： 无痕教育是一种理想的教 育，是一种智慧的教育。徐老师眼中 无痕教育中的“无痕”有三种境界： 第一种是本来无痕迹，如雁过无痕; 第二种是看不出痕迹，如踏雪无痕; 第三种是不留下痕迹，如润物无痕。 这三种“无痕”的境界中，第三种境 界是徐老师的追求，他在本节数学课 中很好地诠释了这种教育无痕。他和 四年级的学生如同把数学知识像洋葱 剥皮，从计算聊起，不仅聊到运算方 法的分类，还聊着聊着引出了除数是 两位数的除法，通过口答和竖式计算 帮助学生复习了之前学过的除数是两位数的除法竖式方法，小结出试商时 经常用到的“四舍法”和“五入法”。 学生顺着徐老师的无痕引导，都能顺 理成章地理解和掌握除数是两位数的 除法，这是因为徐老师遵循了教育的 规律和学生的认知，在聊天中用间接 方式将数学思考展现出来。
【片段二】在一题多变中探究四舍 五入“调商”
1. 用“四舍法”探究调商的方法
师：我们继续研究有关除法竖式 调商的问题，一起用四舍法竖式计算 279÷34. 你会把 34 看成几十， 首先 想到商几?
生： 我把 34 看成 30.279 里面最 多有 9 个 30. 商 9 ;计算 34 乘 9 等 于 306.发现这个数比被除数大了; 所以我把商改成 8.计算 34 乘 8 等于 272. 最后 279 减 272 等于 7.做完之 后检查一下，余数比除数小。
师：掌声送给小张老师，刚才你 用四舍法试商把 34 看成 30.除数看小 了，实际上你商 9 要和 34 去乘，那会 导致商太大，我们就把商调小一些。同 学们，你在计算过程中有没有遇到过我原来商大了，调小一个发现还是大了? (出示题目：27 □ ÷34)我只改一个地 方，我商 9 太大，调成 8 还是大了，还 要继续下调，个位上可以是哪些数?
生：个位上是 0 或 1.270÷34.我 把 34 看成 30.270 里面最多有 9 个 30. 商 9.34 乘 9 等于 304. 商太大了; 调 商变成 8.34 乘 8 等于 272.商还是太 大; 调商变成 7.34 乘 7 等于 238. 商 是 7 可以了。271÷34. 我把 34 看成 30.270 里面最多有 9 个 30. 商 9.34 乘 9 等于 304.商太大了;调商变成 8. 34 乘 8 等于 272.商还是太大;调商变 成 7.34 乘 7 等于 238.商是 7 可以了。
2. 用“五入法”探究调商的方法
师：如果我用五入法试商，把除 数看成整十数，那有可能你的商会怎 么样呢? 商会小，就要把它调大，是 什么原因使其变小的呢? (出示题目： 111÷16)我们一起用五入法试商。
生： 111÷16. 我 把 16 看 成 20. 111 里面最多有 5 个 20. 商 5.16 乘 5 等于 80.余下 31.余数比除数大 了; 调商变成 6.16 乘 6 等于 96. 余 下 15.商 6 可以了。
师：我们用五入法试商，把 16 看 成 20 后一开始商 5 太小，为什么容易 小呢?
生：我们把除数看大了。
师：同样的问题又来了，会不会 需要有调两次的情况呢? (出示题目： 11 □ ÷16)请大家思考方框里填几需 要调两次商，这个方框里一共可以填 哪些不同的数字。
生： 方框可以填 2~9.112÷16. 我把 16 看成 20.112 里面最多有 5 个 20. 商 5.16 乘 5 等 于 80. 商 太 小 了; 调商变成 6.16 乘 6 等于 96. 商 还是太小;调商变成 7.16 乘 7 等于 112. 商是 7 可以了。113÷16. 我把 16 看成 20.113 里面最多有 5 个 20. 商 5.16 乘 5 等于 80. 商太小了; 调 商变成 6.16 乘 6 等于 96.商还是太 小; 调 商 变 成 7.16 乘 7 等 于 112. 商是 7 可以了……
赏析： 苏联著名教育家苏霍姆林 斯基曾说过，当一个学生感觉到老师 正在教育他的时候，其实教育已经失 败了，我们要追寻这种理想的境界。 在这个教学环节中，徐老师放手让学 生自己探索和在小组里讨论交流，他 只是在恰当的时机对适合的学生出示 了 279÷34 和 27 □ ÷34 这 两 道 题， 先让学生在“四舍法”调商中发现除 数看小，商容易变大的规律，再进一 步引导学生思考什么时候要调两次 商。这个开放性的练习一方面是让学 生用“四舍法”练习除数是两位数的 除法竖式计算，另一方面是启发学生 思考多次调商时被除数和除数的数字 特征。同样，徐老师借助 111÷16 和 11 □ ÷16 这两道题，帮助学生掌握 了如何根据被除数和除数的数字特征 用“五入法”调商，学会正确用竖式 计算除数是两位数的除法。
【片段三】在分类和审题中发现除 数的规律
师：黑板上有这样一些除数是两 位数的除法，我们把这些除法的竖式 分类。假如我在这里画一条线，分成 了除数是整十数和除数不是整十数这 两类。谁再把这四道竖式来分类?
生：这两题是“四舍法”，这两题 是五入法。
师：我们在做除数是两位数除法 的时候，经常要用到“四舍法”或者 “五入法”，目的就是把这些两位数看 成整十数。实际上它不是整十数，所 以我们在试商的时候会遇到有时候调 一次，有的时候调两次。那你觉得你 现在会计算除数是两位数的除法了 吗?只是会还不够，还要算得比较 快，比较灵活，你能做到不?我们拿 到计算题，首先要审题，有时候还要 先 估 计。(出 示： 189÷21.189÷24. 189÷25.189÷28) 这四道题的被除 数是一样的，除数可不一样，你先不 做题，请你先猜一猜哪几道题不需要 调商?哪几道题需要调商?不需要调 商的你在这道题目旁边写“不”，需要 调一次商的你在这道题目旁边写“调 1”，需要调两次商的你在这道题目旁 边写“调 2”。做好记号之后四人小组 交流一下你们猜的情况，看看你们猜 的是否一样。小组交流完后，四个人 分工一人做一题验证一下。
生：第 1 题和第 4 题不需要调商。
师：这是我们猜的，猜错了不要 紧，你们验证了吗?我们来看看不需 要调商的除数有什么特点?
生：不需要调商的除数可能会比 较接近整十数。
师：第 2 题和第 3 题需要调商， 除以 24 的需要调两次，除以 25 的 需要调一次。需要调商的除数有什 么特点?
生：这里除数距离我们看的那个 整十数比较远。
赏析： “除数是两 位数的除法”一课属 于“数与代数”中“数与运算”的 教学内容。《义务教育数字课程标准 (2022 年版)》中对“数与运算”的要 求是让学生经历算理和算法的探索过 程，理解算理，掌握算法;感悟数的 运算以及运算之间的关系，体会数的 运算本质上的一致性，形成运算能力 和推理意识。在这个环节中，徐老师 进一步诠释了无痕教育的实践特征： 学习内容与学生经验相融合，学习方 式与认知规律相适应，学习过程与互 动交流相和谐，学习经历与全面发展 相同步。对计算课的要求，徐老师并 不满足于学生会正确用竖式计算除数 是两位数的除法，而是引导学生在做 题前要学会“审题”：学生不计算，根 据除数的数字特征能估计结果的范围， 能判断出这道题是否需要调商，如果 要调商就要思考调几次商。这个“审题”帮助学生沟通了不同除数之间的 两位数除法，体现了运算的一致性。
总之，计算教学本来很枯燥无味， 但是徐老师的计算教学因为无痕教育 显得丰盈饱满，不仅教会了学生试商 和调商的方法，还教会了学生“审题” 除数是两位数的除法;徐老师的计算 教学因为无痕教育显得大道至简，课 堂上没有课件和学具辅助教育，只是 根据一题多变出示了几组数字具有关 联的计算题组，借助一支粉笔和师生 交流完成课堂教学;徐老师的计算教 学因为无痕教育显得润物无声，课堂 上徐老师没有太多的指导语，有的是 当学生迷惘或思维停滞时徐老师恰到 好处的点拨和启发，让学生感受到被 点拨后有恍然大悟的感觉。
参考文献：
[1] 邵玲 , 刘莉 . 撬动思维内核 ,计算课也能别样精彩—竞赛课“除 数是两位数的除法”的磨课经历与思 考 [J]. 小学教学研究 ,2021(12):12-15.
[2] 方 苏 云 . 基 于 大 概 念， 构 建单元整合教学 — 以“小数除 法”与“除数是两位数的除法”两 个单元为例 [J]. 教学月刊小学版 ( 数 学 ),2022(3):40-44.
[3] 任志梅 , 史颂 . 整体视角下单 元备课 , 助力学生学习力提升— 以 “除数是两位数除法”为例 [J]. 华夏教 师 ,2022(10):19-22.
[4] 孔忠伟 . 改变计算习题 , 发展 推理意识— 以《除数是两位数的除 法》单元习题设计为例 [J]. 小学教学 设计 ,2022(26):6-8.
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