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摘 要
新时代发展学生的理性思维处于学生数学素养培养的核心地位，是数学教育的重要育人目标，实现这个目标需要一个循序渐 进、螺旋发展的过程。数学育人过程既需要教师提高教学站位，满怀激情，躬身入局，主动作为，还需要教师脚踏实地，认真实 践，深度反思，更需要教师葆有那份真诚相伴、耐心守候与静待花开的教育理想和价值追求。全面理解学生的学习过程、 深刻理 解数学的教育内容，这是教师形成“静待花开”般的胸怀格局并拥有“静待花开”般的教育理想的两个重要途径。
[ 关键词 ] 数学教师,数学育人,静待花开,教育理想,价值追求
作为培养人的活动，教育的根本宗旨在于丰富人性、 培育德性、发展理性，实现学生作为人的社会、文化和精 神属性的持续发展。因此，“育人”是教育的第一价值。数 学教育的目标之一就是发展学生的理性思维，它处于学生 数学素养培养的核心地位。培养学生的理性思维需要一个 循序渐进、螺旋发展的过程。在这个过程中，不同数学学 习水平的学生表现不尽相同，需要教师耐下心来，放慢节 奏，根据学生的课堂学习状态、日常作业情况以及测试诊 断成绩等方面的具体表现进行综合研判，善于基于数据精 准分析学生的具体问题，并及时调整课堂教学进程，给予 学生更多有针对性的指导和引领。但是，在实际教学过程 中，很少能看到教师从容的提问，耐心的等待，真诚的倾 听;更少看到教室里学生全神贯注的阅读，认真安静的思 考，充满自信的质疑，看到更多的还是教师大容量的讲授、 高频率的提问、快节奏的训练以及学生不假思索的接受、 不求甚解的回答和机械模仿的执行。上述种种“慢不下来” 的教学行为至今依旧在课堂教学中盛行，在教学难点处、 关键概念处，敢于慢下来，舍得花时间，肯于多体验，俨 然成为一种难得的教育品质。究其原因，是因为教师缺少 了一种“静待花开”的胸怀与格局。
一、静待花开的内涵解析
成语“静待花开”是一个非常美好的词语，其字面意 思是说静静地等待花儿开放，用来比喻人们期待美好事情 开始或发生的一种心境。近年来，“静待花开”这四个字已 经成为教育界的热词。诚然，每个学生都是独一无二的， 存在个性差异、性格差异和认知差异等。因此，教育中所 倡导的“静待花开”最终指向的应该是促进每一个学生的全面发展，体现了尊重学生、尊重差异的育人理念，表达 了教师相信每一个学生都能成长、成人、成才的教育理想。 笔者认为：一个理性的教育工作者所讲的“静待花开”，是 在教育教学活动中，遵循学生的身心发展规律、认知发展 规律，积极主动地为学生的全面、健康和可持续发展营造 安全、愉悦、和谐的学习环境，这是一种体现教育实践智 慧的“静待花开”，是落实为党育人、为国育才责任的集中 体现。在这样的学习过程中，教师、家长以及学生本人， 都可以不急不躁、静下心来、耐下性来，在满怀希望、真 诚鼓励、适当引导、恰当干预的过程中，支持和引领学生 获得全面发展。
以数学教学为例，教师不能仅仅着眼于概念、定理、 公式或法则等基础知识的教学，也不能只注重解题活动等 基本技能的训练，更不能单纯服务于应试，让学生在大量 的、高强度的和机械性的训练中成为解题机器，而是要通 过数学基础知识、基本解题技能的学习，帮助学生深化和 丰富对数学知识的结构化认知，巩固基本解题技能，形成 研究数学问题的基本方法，提炼解决数学问题的基本策略， 获得数学学习必备的思维品质和关键能力，开拓数学学习 视野，发展数学核心素养。在此过程中，获得明晰的思维 条理、深刻的思考能力，学会欣赏隐藏其中的数学理性之 美。上述学习过程就需要教师慢下来，甚至停下来，通过 组织实施适切的观察猜想、实验计算、作图验证、推理证 明、研讨交流、归纳概括、总结反思等基本活动，在“做” 与“思”的过程中帮助学生积累数学学习经验。
二、静待花开需要积累教育实践智慧
奥苏伯尔指出：如果我不得不将教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已 经知道了什么。学生是学习的主体，更是学习的目标。因 此，全面精准地理解学生学习是静待花开的前提。
(一)静待花开需要全面理解学生学习过程
读懂学生是一切育人的开始，经常换学生之位去思考 教学是理解学生的重要途径。教师不仅要能够把握所教学 段、所带班级学生的整体特征，更要理解所教的每个学生 的性格特点、学习基础、学习习惯等。正如孔子所强调的： 有教无类是大爱，因材施教是智慧。这种爱与智慧是在教 育实践过程中积累出来的，也是教师在和学生教学相长的 过程中修炼得来的。因此，热爱学生、相信学生，甚至是 感恩学生，应该说是由内而外自然而然生发出来的。
在教育教学实践中，大部分教师关注和研究比较多的 还是教什么、怎么教以及怎么教好，关注学生怎么学、怎 么学好却很有限。如学习是怎样发生的，有哪些重要的规 律?到底什么样的学习才是有意义的学习?群体学习与个 体学习有什么差异?在班级授课制的环境中，教师怎样关 注和指导学生成功地开展学习? ……
研究证实：人们在学习新东西时，就是在人的大脑内 建立联系。因此，在脑科学、认知科学、人工智能等不断 发展的今天，如何理解学生的学习是需要每个教师认真学 习和思考的。在学习同一个数学内容的过程中，不同学生 认知上存在的个性化问题更容易被忽视。因此，正确认识、 深度理解并合理利用学生的数学错误，才能更好地帮助学 生基于数学错误建构数学知识。
案例 1 到底错在哪里了?
作为教师，我们经常会抱怨：一道题都讲了多少遍了， 学生就是不会，真可谓“反复练反复错，反复讲还是反复 错”。实际上，出现这种情况，很多时候还是因为我们并没 有真正理解学生的错误，没有精准发现问题到底出在哪里。 因为找不到“病因”或“病根”，当然也就不能做到“对症 下药”和“药到病除”，也就是不能做到针对问题的精准讲 解和启智增慧。
问题：等腰三角形中有一个角是 30°，则其余两个角 分别是 _____________。
本题是人教版八年级上册第 11 章“等腰三角形”部分 的常见问题，大部分学生都能够运用分类讨论的数学思想 方法分两种情况展开求解， 即：
情况 1 当底角为 30°时，另一个底角也为 30°，根 据三角形内角和定理，顶角为 120°，等腰三角形其余两 个角的分别是 30°和 120°。
情况 2 当顶角为 30°时，根据三角形内角和定理， 两个底角的和为 150°，所以等腰三角形其余两个角都是 75°。
在测试中，有几个学生只给出了一组答案。当时，笔者主观认为，这些学生的“错因”肯定是忽略了等腰三角 形的特点，忘记了分情况讨论进行求解。但是，通过面批 作业和与学生深度交流，才了解到这部分学生真正的错因。
以下是笔者和学生的对话片段，从中我们可以窥见学 生的真实想法。
师：上述解题过程大家理解了吗?以后大家再遇到涉 及等腰三角形的边或角的计算问题时，都要多想一点，就 是要有分类讨论的意识。
生 1 ：老师，我当时也讨论了，也得出了两组解。
师：那另一组解呢?
生 1 ：我舍了呀?(理直气壮地)
师：为什么要舍掉呢?
生 1 ：三角形两边之和必须大于第三边呀!
生 2 ：老师，我也是这么想的，所以就舍掉了一组解。
师：嗯?哦!那既然你都说了是“两边之和”与“第 三边”的关系，这和角的大小有什么关系呀?
生 3 ：哦，我知道了怎么错的了，在这道题中三角形 的三个内角只要满足和是 180°就可以了。(学生沉默了数 秒钟，恍然大悟地说道)
师：对的。(频频点头，并看着生 1 和生 2)，你俩真 明白了吗?
生 1 和生 2： 明白了!
师：能把你认为理解了的内容说出来吗?
生：就是边的关系不能错用到角的关系中，三角形的 内角和就是等于 180°。
……
通过深度思考和与同事进行交流，笔者认为学生出现 “错误舍解”原因主要包括以下两个方面：
第一，边角关系混乱。在学习三角形的过程中，研究 三角形中的三条边的关系、三个内角的关系以及三角形中 的边角关系是一个重要内容，学生在学习中，由于对三角 形中的基本元素认识不够，就容易将结论混淆。
第二，理解不够深刻。三角形中主要涉及三条边、三 个角以及几条重要线段，因此研究三角形中几何要素之间 的关系，至少需要明确三个问题：一是几何要素是什么; 二是具体关系是什么;三是使用条件和基本要求是什么。
因此，出现上述错误的主要原因就是学生误用边角关 系所造成的。这给我们以下教学启示。
一要强调对研究对象的认识。在进行这部分内容教学 的时候，不仅要强调关系是什么(研究结论)，更要强调要 素是什么(研究范围或使用条件)，也就是要指导学生明确 几何研究对象，即三角形中的几何元素，再明确相对应的 结论，以确保学生能够避免混记乱用。
二要突出几何直观教学的作用。在平面几何学习开展 定理教学的过程中，不仅要强调定理文字语言的准确表述， 更要突出强调几何图形表达与数学符号表达的对应关系，结合图形准确理解定理的内涵和本质。
(二)静待花开需要深刻理解数学教育内容
所谓学习的快乐与快乐的学习，都是需要教师运用智 慧去创造并让学生在学习过程中去体验的。在这样的过程 中，只有学习成绩提高了，学生才能有继续学习和发展下 去的积极愿望与内在自信，也只有学科核心素养真的获得 发展了，也才能培养出适应未来社会发展需求的国之人才。 从这角度上说，一个真诚、真情、真心的好老师，他一定 既是一个现实主义者，更是一个理想主义者，既有努力拼 搏的勇气和毅力，更有静待花开的潇洒与豁达。
案例 2 怎么就是不理解呢?
如何基于学生的认知水平，通过不同的问题设计，指 导和促进学生的数学内容理解，达到学会甚至是会学的教 学目标。比如，对于下面的问题，笔者在所教班级中(33 人)进行了测试，答题结果具体如下：
问题：方程(p + q) x2 + 5x = 15x2 +(3p - q) x 对任意实数 x 都成立，求其中p 和 q 的值。
通过表 1 可以看出：面对上述问题，36.4% 的学生会 感到束手无策，没有给出任何思考和解题过程，33.3% 的 学生即使解题过程与结果全部正确，但是对整个解题过程 也不是完全确信的。这主要缘于“对任意实数 x 都成立” 这样一个抽象条件的理解水平在影响学生对本题的认知。 事实上，学生在初等代数学习中，面对抽象的数学符号语 言，很容易出现上述错误，比如，学生会将每项简单地 “拼接”然后得出答案。如果教师总是用习惯性的教法简单 重复“同类项”的概念，然后试图通过大量重复性练习归 纳解题步骤，常常只会收到反向效果。究其原因，笔者认 为是因为师生都只是将重复和记忆事实性与概念性知识作 为学习的目的。如果我们将代数作为一种数学语言的表达 方式，通过转换不同情境，提高学生对这一代数工具的有 效运用能力，那么就会指导学生学会思考和正确选用数学 语言合理表达所要解决的问题及其结果，从而促进学生更 有意义地使用代数变换。
看到学生出现五花八门、千奇百怪的错误，教师要认 认真真地去研究这些错误及其成因。有时候，还需要师生 一起坐下来，耐心而坦诚地进行深度交流。在认真倾听学 生表达解题思路和理解过程的基础上，教师要善于分析研 判导致错解的真正的、内隐的原因。即使教师找到了学生 的出错原因，学生也明白了怎么修改解答过程，但是，如果再次考查这道题或类似的问题，学生可能还会出现相同 的或者不同于上一次的错误。在平静而漫长的一次次的重 复之后，终于有一天，你会发现学生像是“顿悟”了一样， 真正理解了这个解题过程，领悟了其中的真谛，数学学习 的大门也会就此敞开。从这个意义上说，课堂教学是一门 “等待”的艺术，需要数学教师在“如何等待”方面下真 功夫，让积极主导型等待替换消极放任式等待，在智慧的 “等待”中让师生的学习智慧得以升华。
众所周知：教之道在于“度”，学之道在于“悟”。笔 者认为，这里的“度”和“悟”都是在强调教学是一个有 意义的活动过程。因此，有效教学的过程就是教师探寻一 种平衡的过程，其中包括教与学的平衡，讲与练的平衡， 集体教学与个性化辅导的平衡，独立思考与小组合作、传 统教学技术手段与信息技术应用之间的平衡，等等。正如 我国古代教育名篇《礼记 ·学记》里所强调的：“君子之教， 喻也。道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。”这一观点鲜明地 指出优秀的教师要善于通过诱导来教育学生，即教师要做 到引导而不牵制，策勉而不抑制，启发而不灌输。
“教育是什么”的哲学追问代表了一种价值认识，探 寻其答案的过程是一个运用实践理性寻求多元统一的过程。 笔者认为：数学育人的过程同样是这样的过程，这是一个 育体、育脑、育情、育心、育德协调统一的过程，是一个 丰富多彩、具体灵动、循环往复和持续发展的全过程。在 这样的过程中，每时每刻都在考验着教师学科育人的意识、 经验、能力和智慧，静待花开正是这样一种实践理性与教 育智慧。
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