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摘 要：数学方法是一门研究物理学的基础工具,在初中物理解题中利用数学函数图像和几何等方法可以简化物理学科相关现象解释上的流程,有利于学生的理解.笔者从教学实践中总结了数学方法解决物理问题的几个实例.
关键词：新课标；数学方法；物理问题
新课标的基本理念中提到“让学生了解自然界事物的相互联系,注意学科之间的联系与渗透”,所以初中物理教师在教学过程中注重学科之间的渗透也尤为重要,且教学实践证明利用正确的数学方法解题更有助于学生的理解.下面是笔者在教学实践中总结的数学方法解决物理问题的几个实例.
１ 用数学函数图像帮学生理解密度计的特点
在自制密度计的时候会涉及到两个问题,一是刻度线越靠上对应的密度值越小,二是刻度线是不均匀的,越往上间隔越大.若利用函数图像帮助学生理解更易理清.密度计的制作过程如下：
图 １
ａ.取一根饮料吸管,将一些铁丝从吸管的下端塞入作为配重,并用石蜡将吸管的下端封起来.
ｂ.将其漂浮在液体中,在吸管上标出液面位置,如图 １ 该刻度为此时液体密度线,测出该位置到吸管下端的距离,即吸管浸入液体的深度 h.
ｃ.设吸管横截面积为 S,因为在液体中漂浮,浮力与重力二力平衡, 所以 G ＝ F浮 ＝ρ液 gV排 ＝ρ液 gsh,ρ液 h ＝
,因为 G,g,s 是定值,所以 ρ液 h 的乘积为定值,ρ液 与 h 成反比.
图 ２
用该结论可解释问题一,h 越大,刻度线越往上,对应的液体密度越小.用 ρ液 与 h 的反比例函数图像解释第二个问题,如图 ２ 所示在函数图像中画出密度别 １.１ ｇ／ｃｍ３,１.０ ｇ／ｃｍ３,０.９ ｇ／ｃｍ３所对应的 h１ ,h２ ,h３ ,发现 h１与 h２之间的间隔小于 h２与 h３之间的间隔,说明密度越大,刻度之间的间隔就越小,即越往上刻度线越密.
２ 数学代数式展开帮助学生突破思维定式
在计算变化电功率时,如果加在定值电阻两端的电压由 ６ Ｖ 增大 ２ Ｖ 时,通过的电流相应地变化了 １００ ｍＡ,则相应的电功率的变化量是多少？ 这类问题时,很多同学会认为,变化的电功率等于变化的电压乘以变化的电流 Δp ＝ΔUΔI ＝６Ｖ ×１００ ×１０ －３Ａ＝０.６Ｗ,在讲述时可以将学生列的这个式子展开,Δp ＝ΔUΔI ＝ U１ －U２ I１ －I２ ＝U１ I１ ＋U２ I２ －U２ I１－U１ I２①,而电功率的变化量应该是 Δp ＝p１ －p２ ＝U１ I１ －U２ I２②,所以①式的做法是错误的.
３ 用相似三角形解释相关物理问题
用相似三角形理解定值电阻的求法,上题中定值电阻两端的电压由 ６Ｖ 增大 ２Ｖ 时,通过的电流相应地变化了 １００ｍＡ,计算定值电阻阻值可以用 R ＝ΔUΔI,可以用相似三角形解释.因为三角形 OAB 与三角形 BA′B′相似如图 ３,所以对应边成比例
因此
图 ３
图 ４
用相似三角形解释动态平衡问题,L１L２如图 ４ 所示,用方向始终竖直向上
,将杠杆从水平位置匀速提升到某一位置的过程中,F的大小变化情况,可以用相似三角形解决,从 １ 位置移动到 ２ 位置,在 ２ 位置作出动力臂阻力臂,可知△OBB′∽△OAA′,所以对应边成比例,因为 OB,OA长度不变,所以比值不变,又因为杠杆平衡条件变形式 ,所以 F１与 F２的比值不变,因为 F２即物重不变,所以 F１不变.
４ 利用二次函数解决极值问题
计算变化电路的电功率时,会遇到求最大功率的问题.例如,如图 ５（甲）所示电路中,电源电压恒定不变,R０为定值电阻,R１为滑动变阻器.图（乙）是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系的图像.则滑动变阻器移到哪一位置时滑动变阻器消耗的电功率最大,最大为多少？
图 ５
可用二次函数关系式解决此类问题,电源电压为 U总 且保持不变,串联电路电流相等均为 I,定值电阻两端电压 U０ ＝IR０ 列出滑动变阻器电功率计 P＝UI ＝（U总 －U０ ） I ＝（U总 －IR０ ） I ＝U总 I －I２R０ ,最后式子与二次函数一般式 y ＝ax２＋bx ＋c 对比可写成 P ＝－R０ I２＋U总 I,其中 a ＝－R０ ,b ＝U总 ,二次项系数为负数所以二次函数图像开口向下,P 有最大值,根据二次函数 x ＝－
时,y 取最大值得,I ＝
,即电路总电阻 R总 ＝２R０ 时,P 取最大值,即满足滑动变阻器阻值 R１等于 R０ 时,P 取最大值,此时 U０ ＝IR０ ＝
,所以滑动变阻器电压 U１ ＝
,则滑动变阻器消耗的最大电功率 P＝U１ I ＝
.
５ 列方程组使物理意义更明确
在物理学中,求解过程中列的式子所包含的物理意义比结果更重要,所以遇到多个未知数,可以先根据物理公式列出方程,再解未知数,更便于学生的理解.如图 ６ 甲所示的电路中,R 为滑动变阻器,R０为定值电阻,电源电压恒定不变.（不计温度对电阻的影响）,在滑片 P 滑动过程中,电压表与电流表的示数变化如图乙所示,则定值电阻阻值及电源电压分别为多少.
图 ６
本题可根据串联电路中电路总电压等于各部分电压之和列方程组 U总 ＝U０ ＋UR ＝IR０ ＋UR ,在图乙中取（１.６,０）（０.２,７）两点代入可得 U总 ＝１.６R０ ＋０①,U总 ＝０.２R０ ＋７ ②,①②两式连列成方程组,解之得,R０ ＝５Ω,U总 ＝８Ｖ.
６ 利用图像上的特殊点解决问题
在上题中还可以根据图像上的特殊点求电源电压,如图 ６ 所示的电路中,R 为滑动变阻器,R０ 为定值电阻,电源电压恒定不变.（不计温度对电阻的影响）,在滑片 P 滑动过程中,电压表与电流表的示数变化如图乙所示,则定值电阻阻值及电源电压分别为多少.
根据串联电路中电路总电压等于各部分电压之和,可知电压表电压 U ＝U总 －U０ ＝U总 －IR０ ,当 I 等于 ０ 时 U 等于 U总 ,因此,只需延长图像使之与纵坐标有交点,该交点对应的电压大小就是电源电压.
７ 总结与反思
当然除了以上数学方法,还有比例的数学思想求解串并联电路中电压电流问题.用几何作图的方法解决光学问题.可以说数学方法是一门研究物理学的基础工具,可以非常好地对物理问题进行综合性的计量、分析,简化物理学科相关现象解释上的流程.此外,数学方法也提供了一种推理以及抽象上非常实用的手段,可以尽可能地将物理问题同数学方法结合起来,从而推导出一种合理的规律性定律.当然,在教学过程中也应该引导学生注重物理概念物理意义的理解,数学只是一门解决物理问题的工具,数学含义不可套用物理含义,例如,密度 ρ的定义式 ρ ＝mV ,可以根据此式计算密度大小,但不能依据数学含义把密度理解成与质量成正比,与体积成反比.
参考文献：
［１］ 朱晓峰.浅谈数学方法在初中物理解题中的应用［Ｊ］.新课程（教育学术）,２０１４（１１）：５８.
［２］ 杨晓玲.浅析初中物理问题中的数学技巧［Ｊ］.物理教学探讨,２０１１（８）：３７ －４１.
［３］ 刘德斌.巧用数学方法解答初中物理问题［Ｊ］.数理化学习（初中版）,２０１４（０４）：２４.
［４］ 陈林桥.谈数学知识在初中物理解题中的运用［Ｊ］.物理教师,２０１２（１２）：２８ －３０.
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