信号与系统课程中周期信号正交分解教学设计探讨论文

　　摘要：为了激发学生学习兴趣，提高教学成效，文章探讨了信号与系统课程中周期信号正交分解教学设计，即首先论述了理论教学设计，然后阐述了实验教学设计，包括实验设计框图和实验结果分析。

 

　　关键词：周期信号正交分解教学；信号与系统课程；理论教学；实验教学

 

　　信号与系统课程是通信专业的一门重要专业基础课，并为通信原理、数字信号处理等专业课奠定了理论分析基础。信号与系统课程主要研究时域信号与频域信号的相互转换及时域系统的频域分析方法。时域信号与频域信号的相互转换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换；时域系统的频域分析方法包括系统的频域分析、复频域分析、Z域分析[1]。

 

　　信号与系统课程中有许多难点内容，如“信号的频谱与时域信号有什么联系，是如何从时域信号中推导得到的，信号的拉普拉斯变换是怎么从傅里叶变换这一频谱分析中推导而来的，离散信号的Z变换是怎么从拉普拉斯变换的推导中得到的”等，这些难点知识如果只通过数学分析是很难达到理想教学效果的，因此，在教学中，教师需要对数学公式的物理意义进行分析，再设计实验，以达到理想的教学效果[2]。而在教学实践中，时域信号转换成频域信号的关键点—周期信号的正交分析是课程承上启下的重要内容，通过周期信号的正交分解，周期信号的频谱得以呈现，从而开启了信号频域分析的大门。但学生在学习过程中，对时域周期信号正交分解的理解仅停留在数学层面，不能理解数学公式代表的物理意义，以及频率提取原理和频谱的概念[3-4]。因此，本文针对信号与系统课程中周期信号的正交分解展开理论教学和实验教学研究，从理论分析、图像分析、实验分析三个角度展开教学设计，重在建立数学公式和物理意义之间的联系，建立理论分析和实验直观体验之间的联系，进而实现教学重难点突破。

 

 

 

　　周期信号的正交分解是时域信号转换成频域信号的桥梁，为了明确怎么从时域信号中提取出频谱，教师可进行如下教学设计。①对周期信号的正交分解进行数学分析：在信号与系统中，周期信号用正交的三角函数分解，再对三角函数的系数进行分析，并阐述其物理意义及频谱概念；②利用欧拉公式将三角形式转换成正交的指数形式，对指数函数的系数进行详细分析，阐述其物理意义及频谱概念；③利用时域波形图说明时域周期信号与正交三角信号的关系，利用频域图说明频谱大小和间隔。

 

　　(一)周期信号的三角形式正交分解

 

　　1.数学公式分析。正交函数集的选取：三角函数在一个周期内是一个完备的正交函数集，因此选取{1,cos(nΩt)，sin(nΩt),n=1,2,…}作为周期信号分解的基，可得出[5-6]：

     

 

　　2.三角函数系数An的分析。针对公式(2)，学生很难从信号的时域表示中理解频谱的概念，以及它的物理意义是什么，而信号与系统课程主要的研究对象就是如何从时域信号中分解出频域信号，以达到频域分析信号和系统的目的，所以在教学中，当讲到周期信号正交分解时，教师就需要逐步引出频谱的概念，让学生理解频谱的物理意义，为理解傅里叶变换、拉普拉斯变换打下基础。

 

　　对公式(2)的分析阐述：周期信号由n个正交的三角函数表示，每个三角函数的频率都满足谐波特性，均为nΩ，An表示第n条三角函数的幅度，值越大，频率为nΩ的信号越强，反之越小。An的本质就是信号的频谱，因为An的大小表示了角频率为nΩ信号的大小。例如，A100表示角频率为100Ω的三角函数的幅度值，如果该值较大，说明时域信号中含有较强的角频率为100Ω的信号频率，如果该值为0，说明时域信号不含角频率为100Ω的频率分量。

 

　　(二)周期函数的指数形式正交分解

 

　　1.数学公式分析。由于三角函数的正交展开形式不集中，n的取值只能取正值，因此可根据欧拉公式推导出指数形式[7-8]：

      
    

       2.指数函数系数Fn的分析。公式(5)即周期信号指数展开时得到的频谱。周期信号f(t)由n条指数信号叠加而成，每条指数信号的角频率为nω，具有谐波特性，指数信号的幅度值为Fn，Fn表示第n条指数信号的幅度值，值越大，信号越强，值越小，信号越弱。Fn表示信号的频谱，在分析信号时只需分析Fn，就可以分析出信号的频率范围，以及各个频率信号的大小[9]。例如，时域信号Fn的其取值范围为0~1 000，说明该信号只含有Ω~1 000Ω的频谱分量，不含有频率大于1 000Ω的频率分量[10]。

 

　　(三)利用图形说明周期信号的正交分解

 

　　1.周期信号三角形式正交分解时域波形。为了更好地说明周期信号展开的物理意义，在教学过程中，教师可以用时域波形图像展示周期信号的分解，以帮助学生理解时频转换。如图1所示，f(t)=sin(Ωt)+sin(8Ωt)，由两条角频率为Ω，8Ω的正弦信号合并而成，反之，如图1所示的时域信号也可以分解成频率为Ω，8Ω的正弦信号，说明时域信号只有两个频率分量：Ω，8Ω。A1=1，A8=1，表示正弦信号的幅度值为1。
 

 

　　2.周期信号三角形式正交分解频谱图。为了方便又明确地表示一个信号中所含频谱分量的大小，教师可采用频谱图的表示方法。公式(2)中p频谱An的图形如图2所示，可知周期信号由若干大小不同的频率分量组成，每个频率分量之间的间隔是Ω。

 

 

 

　　为了直观展现周期信号的正交分解，说明周期信号频谱的由来，更直观的办法是进行实验教学设计，教师可设计如下方案：①利用不同中心频率的滤波器将周期信号的不同频率分量提取出来；②利用开关将其不同频率成分有选择地进行合并，展现周期信号的正交分解。

 

 

　　(一)实验设计框图

 

　　为了直观展现实验硬件电路框图，如图3所示，教师可利用多个滤波器设计实验，将8个中心频率分别为Ω，2Ω，3Ω，4Ω，5Ω，6Ω，7Ω，8Ω的滤器并联在一起，构成实验的核心部分。当被测信号送入，滤波器的中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致时，滤波器有输出。被测信号所包含的各频率分量可以由滤波器分解，再使用拨码开关控制滤波器输出信号的合成，这样就可以直观展现周期信号的正交分解。

 

 

　　(二)实验结果分析

 

　　根据以上实验设计，教师可以在输出端利用示波器直观展示周期信号的分解：当闭合开关1和开关3时，第1路和第3路信号合并，表明1次谐波和3次谐波的合并，实验结果如图4所示。当闭合开关3和开关5时，第3路和第5路信号合并，表明三次谐波和5次谐波的合并，实验结果如图5所示。当拨码开关全部闭合时，8路信号合并，表明所有8次谐波的合并，实验结果如图6所示，因此通过拨码开关可以灵活展现信号的合并。

 

 

 

　　本文研究了信号与系统课程中周期信号正交分解的教学改进方法，从理论教学、实验教学两方面进行了教学设计。理论教学重在分析数学公式的物理意义，说明频谱的物理意义，文中给出了教学中分析的重点内容和具体的教学方案，并以周期信号的频谱为例，详细分析了An和Fn的数学表达式推导过程，说明了An和Fn的物理意义，即傅里叶级数An和Fn中的下标n对应第n次谐波，An和Fn表示第n次谐波的幅度值大小，幅度值的大小代表对应频谱分量的大小，幅度值为0时表示没有对应频谱分量，具体说明了频谱的物理意义。实验教学通过滤波器核心组件实现周期信号的分解和合成，直观展现出周期信号的频谱特点，给出了详细的实验设计方案，以及实验设计框图和实验中示波器显示的信号分解结果图，实验的验证结果是对理论分析的有效补充，具有直观性和较强的说服力，有助于学生理解时域信号的频域转换这一难点内容，是教学设计中的重要环节。

 

 

　　[1]陆伟,顾理,刘勇.“信号与系统”课程中LTI系统描述方法分析[J].工业和信息化教育,2018(12):25-28.

 

　　[2]任蕾,薄华,金欣磊,等.应用卷积和的离散线性时不变因果系统零输入响应求解[J].电气电子教学学报,2021,43(2):71-74.

 

　　[3]樊敏,杨金,鲁世斌.傅里叶级数实验教学中的算法优化能力训练[J].合肥师范学院学报,2018,36(6):94-96.

 

　　[4]潘永才,沈君凤,谌雨章,等.信号与线性系统课程的产学合作教学改革研究[J].高师理科学刊,2019,39(6):77-80.

 

　　[5]詹平红,丁函,尹爱兵.“信号与系统”教学模式的研究与实践[J].工业和信息化教育,2016(9):23-25,44.

 

　　[6]吴大正.信号与系统[M].4版.北京:高等教育出版社,2005.

 

　　[7]奥本海姆.信号与系统[M].刘树棠,译.2版.北京:电子工业出版社,2013.

 

　　[8]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统[M].北京:高等教育出版社,2000.

 

　　[9]管致中,夏恭恪,梦娇.信号与线性系统[M].4版.北京:高等教育出版社,2004.

 

　　[10]拉兹.线性系统与信号[M].刘树棠,王薇洁,译.2版.西安:西安交通大学出版社,2006.