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摘 要 : 高中物理竞赛常涉及非惯性系，达朗贝尔原理提供了动力学问题的静力学处理方法， 本文就质点运动、刚体定轴转动和刚体平面运动几种情况分析达朗贝尔原理的应用.
关键词 :达朗贝尔原理；惯性力；简化中心
在动力学问题中，涉及非惯性参考系常引入惯 性力，这样非惯性系的问题可以用牛顿运动定律来 解决，这种思想源于达朗贝尔原理. 高中物理竞赛研 究较多的是质点惯性力问题，对于质点系的惯性力 很少涉及，本文借助于几个常见模型分析刚体定轴 转动和平面运动中的达朗贝尔原理.
1 质点的达朗贝尔原理
作用在质点上的主动力、约束力和它的惯性力 在形式上组成平衡力系，这就是质点的达朗贝尔原 理，写成方程:F ＋FN ＋FI ＝0，FI ＝ －ma 称为质点 的惯性力. 引入惯性力的概念可以使动力学问题借 用静力学的理论和方法求解，具有很多优越性，下面 举一例说明.
例 1 均匀半圆形金属拱架 ABC 的圆心在 O 点，质量 M ＝ 1000kg. A 端用铰链连接，B 端放在滚 珠上，有一质量 m ＝500kg 的小物块从最高点 C 无 摩擦滑 下，如 图 1 所 示，求 当 物 体 滑 到 D 点 时 ( ∠COD＝30°)，求 A 、B 两支点对拱架的约束力.
小物块做圆周运动，可看作质点，具有切向加速度at 和法向加速度an，分别引入惯性力 FIt 和 FIn . 取 整体为研究对象，列出力和力矩平衡方程:
FAx ＋FIn sinα＝FIt cosα
FAy ＋FB ＋FIn cosα＋FIt sinα＝ (M＋m )g FAyR －FItR －FB R ＋mgRsinα＝0
图 1 图 2
其中，切向惯性力 FIt ＝ m at ＝ mgsinα，法向惯性力 FIn ＝m an ＝m .根据动能定理:mgR ( 1 －cosα ) ＝m v2由以上各式解得:FAy ＝FB ＝6295N，FAx ＝1495N.点评 引入惯性力后，小物块的受力在形式上 达到平衡，可以与拱架整体分析建立平衡方程，避免 了对内力的分析.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理表述为 :质点系中每个 质点 i 上的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系，写成方程 Fi ＋ FNi ＋ FIi ＝0，FIi ＝ －mi ai 是质量为mi 的质点的惯性力.
空间任意力系平衡的充要条件是力系的主矢和对任一点 O 的主矩等于零，由于质点系内力总是成 对出现，且等大、反向、共线，内力产生合力和合力矩 为零，即 ∑Fi 内 ＝0，∑MO ( Fi 内 ) ＝0，质点系平衡方程 写成 : i外 ＋ Ii ＝0，O ( Fi外 ) ＋ O ( FIi ) ＝0.
质点系内每个质点都有各自的惯性力，受力复 杂，在实际应用中，对于惯性力系通常做简化处理.刚体惯性力系向任一点 O 的简化，一般得到一个主矢和主矩，主矢的情况较为简单，不论刚体做何种平面运动，惯性力系的主矢都可以写成 FIR ＝ ∑－ mi ai ＝ ∑－mi r¨i ＝－m ac，与简化点无关.主矩 MIO ＝ － ∑ M0 ( Fi外 )，一般与简化中心 O有关，分析起来较为复杂. 但是在 O 点是定点或者LO
所以刚体做定轴转动时简化中心一般选在轴上一 点，刚体做平面运动时简化中心则选在质心位置.刚体做平移运动时，对质心的动量矩LC ＝rc × m vc ≡0，若选质心为简化中心，主矩为零，因与质点的 应用相似，不做详细分析. 下面以刚体定轴转动和平 面运动为例分析惯性力系的简化.
2. 1 刚体定轴转动惯性力系的简化
对定轴转动的刚体，建立如图 3 所示的直角坐 标系，质点的坐标为 xi，yi，zi . MIx，MIy，MIz 表示惯性 力系对 x，y，z 轴的矩. 质点系的惯性力系对轴上任 一点 O 的主矩写成 :MIO ＝MIx i ＋MIyj＋MIz k，惯性力 系对 x 轴的矩为 MIx ＝ ∑Mx ( Fi ) ＋ ∑Mx ( F )代入切向惯性力 Fi ＝mi a ＝mi ri α，法向惯性力 F ＝mi a ＝mi ri ω2 .
图 3
得到 MIx ＝ ∑ mi ri αcos θ i ·zi ＋ ∑ －mi ri ω2 sin θ i ·zi ＝α ∑mi xi zi －ω2 ∑mi yi zi .
类似的，惯性力系对 y 轴和 z 轴的矩分别为MIy ＝α ∑mi yi zi ＋ω2 ∑ mi xi zi，MIz ＝ －( ∑mi r ) α ＝－Jz α.
若刚体有垂直于 z 轴的质量对称面，把简化中心 O 取在该平面与 z 轴的交点，则 ∑ m i x i zi ＝0， ∑ m i yi zi ＝0 . 惯性力系对 O 点的主矩为 :MIO ＝MIz ＝ －Jz α，这种情况下惯性力系处理起来简单了很多.
例 2 如图 4 所示，均质杆 OA 长 2l，质量 m，绕着通过 O 端的水平轴在铅锤面内转动. 当转到与水平线成θ 角时，角速度为 ω. 求此时 O 端的约束力和角加速度 α.
图 4 图 5
OA 杆做定轴转动，且有垂直于转轴的质量对称 面，选取 O 点为简化中心，受力分析如图 5 所示，根据达朗贝尔原理建立平衡方程 :
FO sin θ＋FOx ＋FO cosθ＝0
FOy ＋FO cosθ＝mg＋FO sin θ
MIO ＝mglcosθ
代入 FO ＝mlα，Fl，惯性力系对 O 点的主矩 MIO ＝Jα＝m (2l )2 α.求得 FOx ＝－mlαsin θ－m ω2 lcosθ，
FOy ＝mg＋m ω2 lsin θ－mlαcosθ，α s θ.点评 由此题可见，对垂直于转轴有质量对称 面的定轴转动刚体，选择质量对称面与转轴的交点 为简化中心，利用达朗贝尔原理分析是比较简单的.
我们还可以利用定轴转动刚体惯性力系的简化 分析一些生活中常见的现象，比如 :爆破工业烟囱时，烟囱落地前会在底部约的位置断裂；木棍打钉 子时，离手约的地方最容易打进去；均质杆的打击中心在距离质点的位置.
2. 2 刚体平面运动惯性力系的简化
平面运动的刚体(平行于质量对称面)，运动可 分解为随基点的平移和绕基点的转动，若简化中心取在质心，此时惯性力系向质心的简化得到的主矩与定轴转动中相似 :MIC ＝－JC α.
例 3 如图 7 所示，长 l，质量为 m 的匀质杆 AB，BD 用铰链 B 连接，并用铰链 A 固定，位于图示
平衡位置. 今在 D 端作用一水平力 F，求此瞬间两杆 的角加速度.
图 7 图 8 图 9 图 10
AB，BD 两杆的运动情况如图 8 所示，AB 杆做 定轴转动，惯性力系简化中心取 A 点. BD 杆做平面 运动，惯性力系简化中心取质心 C.BD 杆受力分析如图 9 所示，由达朗贝尔原理 :
Fl－FI2 －MI2 ＝0，BD 杆惯性力 FI2 ＝m aC2，BD 杆惯性力系对质心的主矩 MI2 ＝m l2 α2 .取 B 为基点，aC2 ＝α 1 l＋α2整体受力分析如图 10 所示，由达朗贝尔原理 :F ·2l－FI2 ·l－MI1 －MI2 ＝0，AB 杆惯性力系对 A
点的主矩 MI1 ＝m l2 α 1 .解得α 1 ＝－ 6F α2 ＝30F点评 本 题 中 既 有 定 轴 转 动 的 杆 AB，又 有 平面运动的杆 BD，在计算惯性力系向简化点的主矩时，一定要注意简化中心的区别，AB 杆的简 化中心应该取在转轴位置的 A 点，BD 杆的简化中心应取在质心，在计算两杆的转动惯量时会体 现出区别.
惯性力的引入，对我们处理非惯性条件下动 力学问题是很方便的，根据达朗贝尔原理，选择与质点无相对运动的坐标系，只要加上惯性力系，任何动力学问题都可以用静力学的方法来解决. 刚体的惯性力系一般比较复杂,但对刚体做平移 、定轴转动或平面运动，且垂直于转轴有质量对称面的情况，选择合适的简化中心，可以使惯性力系简化，一般建立主矢和主矩的三个平衡 方程就可以解决问题.
参考文献 :
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