从“ 充分与必要”视角辨析一题解法的是与非论文

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关键词 :充分与必要；解题反思；正误辨析

“问题是数学的心脏”，找到答案只是数学解题 的前一半，更重要的是解题后的反思.“不思故无 惑，不惑故无问，不问故无得. ”为什么是正确的，为 什么是错误的，错在哪里呢? 对这些“为什么”的追 问一定可以大大提升学生的分析问题、解决问题的 能力. 反思才能悟出其中的方法、思想；反思才能悟 出问题的真本质、真规律、真道理.


以下从充分与必要视角对一道题目的多种解法 进行正误辨析，以示解题中要对充分与必要条件加 以高度重视，理清思路，认识到位，理解深刻，要发现 规律、揭示本质，才能真正掌握知识，提高解题能力， 提升数学素养.
题目  在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边为a，b，c，若 b2  ＝ac，求 cosB 的取值范围.

解法 1    cosB ＝≥＝＝ 1   当且仅当 a ＝c 时取“ ＝”.
                                                                                    2  ，
又在锐角△ABC 中，0 < B <  π  所以 cosB < 1 .所以 cosB 的取值范围为[ 1   1) .2 ，辨析  以上解法对吗? 为什么? 锐角△ABC 与0 < B < 等价吗? 显然不等价，解题中条件的相互转化一定要等价! 锐角△ABC 等价于角 A，B，C 都是锐 角，以上解法只考虑到锐角△ABC 的一个必要条件 0 就得答案，这样一般会扩大所求的范围.

解法 2    由 b2   ＝ac，得 b 不是最长边也不是最 小边，不妨设 a≤b ≤c，则 A≤B≤C.又由△ABC 为锐角三角形，A ＋ B ＋ C ＝ π，得2B ＋C≥π.所以 2B≥π －C.由 C 为锐角，得 2B >  .所以 B >  .

解得 cosB <  .又 cosB ＝a2  ＋c2  －b2  ≥2ac －b2  ＝2ac －ac ＝ 12ac              2ac           2ac         2 ，当且仅当 a＝c 时取“ ＝”，所以 cosB 的取值范围为[ 1   2  ).

辨析  很多人认为以上解法是正确的，但事实 上是错误的. 这又是为什么? 细想 b2  ＝ac 这个条件 用到位了吗? 没有用到位，没有用充分! 由 b2  ＝ac 可知 b 不是最长边也不是最小边，不妨设 a≤b ≤ c， 则 A≤B≤C. 但 A≤B≤C 推不出 b2  ＝ac 啊，b2  ＝ac 内在的本质关系未充分利用，原来也是条件不等价变形造成的错误! 利用已知条件的必要条件 A ≤B ≤C 来解答就得出问题的解，这与解法 1 类似，往往会扩大所求的取值范围.

解法 3    由 b2   ＝ac，得 b 不是最长边也不是最 小边，不妨设 a≤b ≤c，则 A≤B≤C.由△ABC 为锐角三角形且 b2  ＝ac⇔C 为锐角且 b2  ＝ac⇔0 < cosC < 1 且 b2  ＝ac⇔0 b2a 1 且 b2  ＝acb2  ＝ac⇔ a2  ＋b2  －c2  >0a2  ＋b2  －c2  <2abb2  ＝ac⇔ a2  ＋ac－c2  >0(a －b )2  < c2b2  ＝ac⇔ a2  ＋ac－c2  >0b －a < c⇔  >01 ＋ －( )2  >0⇔1 ＋ －  >0⇔0 <  <  .

设 m＝ c ，则 0 < m < 1 ＋ 5  m＋ 1  ∈ [2，＋∞).

所以 cosB＝a  ＋c  －ac＝2ac＝( ＋) －＝ 1 (m＋ 1 ) － 1  ∈ [ 1   ＋∞) .辨析  cosB 的最大范围为[ －1，1 ]，所以 cosB范围不可能在[  1    ＋∞ )，不是都利用了 b2   ＝ac 的准确数量关系了吗? 不是也关注了条件的转化要等 价吗? 又错在哪里? 不断追问，问个水落石出! 原 来 a≤b ≤c 这个条件还没用到位，由 a≤b ≤ c 应有c  ≥1，所以解法 3 中应得 1 ≤ m < 1 ＋  5  故有以下解法 4.

解法 4    由 b2   ＝ac，得 b 不是最长边也不是最 小边，不妨设 a≤b ≤c，则 A≤B≤C.由△ABC 为锐角三角形且 b2  ＝ac 且 a≤b ≤c ⇔C 为锐角且 b2  ＝ac 且 a≤b ≤c0 < cosB < 1⇔ a≤b ≤c2  ＝ac≥1⇔0 <  < ⇔1 ≤ <  .


设 m＝ c ，则 1 ≤m < 1 ＋  5  m＋ 1  ∈ [2， 5 ).

所以 cosB＝a  ＋c  －ac＝2ac＝( ＋) －1          1       1       1   5 －1
2         m       2       2 ，   2

辨析  以上解法 4 正确吗? “水本无华，相荡 乃成涟漪；石本无火，相击而发灵光. ” 经过广泛讨 论，积极思考后又有人认为不对，理由是因为首先要构成三角形，从而应在解法 4 的条件基础上还应满 足条件 a ＋b > c，故有以下解法 5 .

解法 5    在解法 4 的基础上还应满足 a ＋b > c， 即  > c －a⇔ac > (c －a )2⇔1 －3 ·＋( )2  <03 －  5     c    3 ＋  5
⇔             <        <                .2        a        2再由解法 4 得1 ≤ < 3 －  5     c    3 ＋  5<        <2        a        2⇔1 ≤ <  .

这样往后可解得与解法 4 一样的最后答案.辨析  解 法 4 与解法 5 的最后答案是一样的，这是偶然? 这是必然? 要想找出内在本质规律，要想打破砂锅问到底，此问题还应从以下命题说起.

命题  已知三个正实数 a，b，c，且 a≤b ≤c，角 C∈ (0，π )，若满足 cosC＝a2  ＋b2  －c2    则 a ＋b > c.
证明  因为 0 < C < π，所以 －1 < cosC b2a 1 .因为 a >0，b >0，c >0，所以a ＋b > c.所以不难有结论 :若三边满足余弦定理，则这三 边一定能构成一个三角形.本题中，因为 C 为锐角，所以 0 < cosC b2a 1 .所以 a2  ＋b2  －c2  >0.所以(a ＋b )2  > c2  ＋2ab > c2 .所以 a ＋b > c.

故解法 5 中考虑 a ＋b > c 是多余的，从而解法 4的解答为最佳.

经常这样进行数学问题辨析，错中求正，败中求 胜，数学问题将越辨越清，认识将越来越深刻. 数学 学习若不能揭示问题的本质，则对知识方法的认识 依然“云里雾里”，不能从错误的阴影中真正走出 来，不能从正确中掌握规律，这是数学学习的大忌. 以上辨析说明，对充要条件是否准确应用直接关系 到解题的成败，许多时候解题都是因为充要关系没 用对而致错，对充要条件的应用要特别注意，已知条 件的相互转化要注意充要性，一定要利用已知条件 或与已知等价的条件来解题，这是本质，也是关键.

参考文献 :

[ 1 ] 花奎. 不同教学观的两则教学案例及思考[J ] . 数学通报，2013，52 (06 ) :27 －29  ＋36 .
[2 ] 兰诗全. 求解“范围”问题中的充分与必要[J ] . 数学通讯(教师)，2013 ( 18 ) :28 －29 .

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