“指对互化”妙解函数导数综合问题论文

　　

　　关键词 :指对互化；导数综合；函数综合

　　

　　由于指数关系 aN ＝b 和对数关系loga b ＝N 是同一关系的不同表达形式，指数结构和对数结构相互 转化不会改变题目中各个量之间关系的本质属性. 笔者在实践中发现，如果能够利用这一特性，在解决 很多函数导数综合题目时可以起到“茅塞顿开”“豁 然明朗”的神奇效果，现将它在几种题型中的应用 举例如下 :

 

　　

　　例 1    (2020 年高考数学课标Ⅲ卷理科) 已知 5⁵  <8⁴，13⁴  < 8⁵ . 设 a ＝log₅ 3，b ＝log₈ 5，c ＝log₁₃ 8，则　(      ).

　　

　　A. a < b < c 
 
       C. b < c < a

 
       B. b < a < c

　　

　　D. c < a < b

　　

　　分析  因为log₅ 3，log₈ 5，log₁₃ 8 ∈ (  1  1 )，可以先比较它们与中间值的大小，要比较log5 3 与 的大小，只需比较 3 与 5 4  的大小，只需比较 34  与 53  的 大小.

　　　
 

　　

　　解法评述  这种解法抓住了指数关系 aN ＝b 和 对数关系loga b＝N 是同一关系的不同表达形式这一 本质属性，充分利用loga b＝N⇔aN  ＝b ⇔a ＝b ，利用 中间值搭台阶，将不好估值的对数式化为方便计算的指数式，思维简单巧妙触及对数概念本质，让人茅塞顿开.

　　

　　　　

  

　　

　　令 φ(x ) ＝lnx －x ＋1，由于 φ′(x ) ＝，所以　φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋ ∞ )单调递减， φmax (x ) ＝φ(1) ＝0，所以 lna ≥0，所以 a ≥1 .

　　

　　解法评述  由于不等式结构 aex －1  －lnx ＋lna ≥ 1 的复杂性，不太好分离参数，可以考虑将不等式进 行简化，变不可分参为容易分参. 这里利用“指对互 化”，将不等式两边变形为同构函数 φ [ r ( x ) ] ≥ φ[m (x ) ]，再利用函数 φ(x )的单调性，转化为r (x ) ≥m (x )问题，达到巧妙简化问题的目的.

 

　　

　　例 3   (2021 年高考浙江卷 22 题第(2)问)设 a，b 为实数，且 a > 1，函数f(x ) ＝ax  －bx ＋e2 . 若对 任意 b >2e2，函数f(x )有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围.

　

 

 

　　所以 a 的取值范围是 0 < a ≤e2 .

　　

　　解法评述  本题的难点在于分离参数难度非常 困难，利用“指对互化”，构造同构函数 t＝xlna，整体 换元后实现参数分离，达到简化问题的目的.

　　

　　　
　

　　令 r (x ) ＝ex (x －1) ＋1，有 r ′(x ) ＝xex .

　　

　　因为 x >0，所以 r ′(x ) ＝xex  >0.

　　

　　所以 r (x )在(0，＋ ∞ )上单调递增.

　　

　　所以 r (x ) > r (0) ＝0.

　　

　　所以 φ′(x ) >0.

　　

　　所以 φ(x )在(0，＋ ∞ )上单调递增.

　　

　　故只需证明 x > ln (x ＋1).

　　

　　即证 x－ln (x ＋1) >0.

　　

　　令 m (x ) ＝x－ln (x ＋1)，有 m ′(x ) ＝ >0.

　　

　　所以 m (x )在(0，＋ ∞ )上单调递增.

　　

　　所以 m (x ) > m (0) ＝0.

　　

　　所以 x－ln (x ＋1) >0.

　　

　　综上所述，(ex  －1)ln (x ＋1) > x2  成立.

　　　　
       

　　

　　因为 0 < x < 1 时，r ′(x ) <0，所以 r (x )在(0，1) 上单调递减.

　　

　　所以 r (x ) ≥r (1) ＝0.

　　

　　所以 φ′(x ) ≥0.

　　

　　所以 φ(x )在(0，＋ ∞ )上单调递增.   故只需证明 x > ln (x ＋1)，后同证法 1 .

　　

　　解法评述  由于要证明的不等式结构(ex  －1 ) ·ln (x ＋1) > x2  过于复杂，直接构造函数证明较为 困难，需要对它进行简化，为了平衡不等式两边，这里做了适当变形得到，然后利用 “指对互 化 ” 构 造 同 构 函 数或 者并利用其单调性成功转化为容易证明的问题.

　　

　　知名作家豆豆在《遥远的救世主》 一 书中是这 样解读“神”和“神话”的 : “神就是道，道就是规律， 规律如来，容不得你思议，规律办事的人就是神” “这个世上原本就没有神话，所谓的神话，不过是常 人的思维所不易理解的平常事”，类似地，我们可以 这样理解数学解题中的 “巧妙”与“神奇”，它不过 是按照数学知识规律办事的平常思维罢了，之所以 给我们“巧妙”与“神奇”的感觉，是因为我们对知识 本质的理解不够深刻的缘故罢了，这就要求我们深 度专研，尽可能理解知识的本质属性，并在实际解题 中不断尝试去运用它，解题就变得“巧妙”而“神奇” 起来了.

　　

　　[ 1 ] 刘海涛. 例谈同源法构造函数在解题中的应用 [J ] . 中学数学研究(华南师范大学版)，2020 (09 ) :28－29 .

　　

　　[2 ] 王淼生. 实施同构变换 构建同构函数 实现变 量分离[J ] . 中学数学杂志，2021 (07 ) :30－32 .

 
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