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摘 要 :本文从矩阵的初等行变换出发，分别提出在矩阵、向量组、线性方程组、矩阵的特征向 量、二次型中的一些应用，并呈现对应例题，加强学生对矩阵的初等行变换的理解与应用.
关键词 :初等行变换；矩阵；向量组；线性方程组
目前，《线性代数》这门课程是理工科和经管类 必开设的一 门课程，主要内容包括行列式、矩阵、线 性方程组、向量组、相似矩阵、二次型等. 矩阵的初等 行变换贯穿在整个线性代数的内容中，为了方便学 生学习，下面归纳总结了关于矩阵初等行变换在线 性代数中的应用.
1 矩阵中的应用
1. 1 求矩阵的逆
若矩阵 A 可逆，则 A - 1 也可逆，A - 1 可以表示成 若干个初等矩阵的乘积，因此可由矩阵的初等行变 换求 A - 1，即(A，E) 初等行变(E，A - 1 )，我们将矩 阵 A 和单位矩阵 E 都做初等行变换，当矩阵 A 化为 单位矩阵 E 时，单位矩阵 E 就变成了 A - 1 .
1. 2 求矩阵的秩
矩阵秩的定义是非零子式的最高阶数，我们知 道初等变换不改变矩阵的秩，对矩阵 A 做初等行变 换化为行阶梯形矩阵 B，由行列式的性质可知，矩阵 A 和矩阵 B 的非零子式最高阶数相同，所以矩阵 A 与矩阵 B 的秩相等.
因为矩阵 B 中有三个非零行，即 R ( B ) ＝3，所 以 R (A ) ＝3.
2 在向量组中应用
2. 1 求向量组的秩
由于任何矩阵 A，它的行秩 ＝列秩 ＝R (A )，因 此我们只需将向量组中的向量均按列构成一个矩阵 A，向量组的秩就等于矩阵 A 的秩.
例 3 求向量组 α 1 ＝ ( 1，- 2，2 )，α2 ＝ ( 1，- 4， 0 )，α3 ＝ ( 1，- 2，2)的秩.
解 以
为列向量构成矩阵 A，并对矩 阵 A 进行初等行变换，把 A 化为阶梯形矩阵 B.
R (A ) ＝R ( B ) ＝2，又因为向量组 α 1，α2，α3 的秩等 于矩阵 A 的秩，即向量组 α 1，α2，α3 的秩为 2.
2. 2 求向量组的极大无关组
由于初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系， 因此可由初等行变换求解向量组的极大无关组.
例 4 求向量组 α 1 ＝ ( 1，2，3，0 )，α2 ＝ ( - 1，- 2，0，3 )，α3 ＝ (2，4，6，0 )，α4 ＝ ( 1，- 2，- 1，0 ) 的 一个极大线性无关组.
解 以
为 列 向 量 构 成 矩 阵 A， 并对矩阵 A 进行初等行变换，把 A 化为行最简形 矩阵 B.
非零行首非零元 1 所在的列作极大线性无关 组，因此向量组 α 1，α2，α3，α4 的一个极大线性无关 组为 α 1，α2，α4 .
3 在线性方程组中的应用
通过一系列的初等行变换，将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形矩阵，判断方程组是否有解，有解 的情况下，求出通解.
3. 1 解齐次线性方程组
例 5 求解齐次线性方程组
3. 2 解非齐次线性方程组
例 6 求 非 齐 次 线 性 方 程 组
解 对增广矩阵 B 进行初等行变换，化为行最 简形矩阵.
可以得出系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并 且小于未知量的个数，因此方程组有无数个解. 即它
的同解方程组为
其中 x3 为自由未知量，令自由未知量 x3 ＝0，得特解 
导出组的同解方程组为
，其中 x3 为自由未知量，令 x3 ＝ 1，得对应齐次线性方程组的基础解系
所以线性方程组的通解为 α0 ＋ cη
，其中 c 为任意常数.
4 在矩阵特征向量中的应用
上面我们介绍了用初等行变换求解线性方程 组，计算矩阵的特征向量就会涉及到解齐次线性方程组.
( 1 - λ )2 ( λ - 10 ) ＝0，得矩阵的特征值 λ 1 ＝ 10，λ2 ＝λ3 ＝1.
矩阵的初等行变换贯穿于整个线性代数章节 中，熟练应用初等行变换是学好线性代数的基础，学 生要在平时学习中，学会归纳总结，使每个知识点建 立联系.
参考文献 :
[ 1 ] 同济大学数学系. 工程数学线性代数[ M ] . 北京 : 高等教育出版社，2014 .
[2 ] 郝秀梅，姜庆华. 线性代数[ M ] . 北京 :经济科学 出版社，2017 .
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得基础解系
故 A 的对应于特征值 λ 1 ＝10 的全部特征向量为 c1
其中 c1 为任意非零常数.
故A的对应于 特 征 值 λ2 ＝ λ3 ＝1 的全部特征向量为
其 中 c2 ， c3 是 不 全 为 零 的 任 意常数.
