摘 要 : 中学数学的学习，不仅是让学生掌握相关的数学知识，更是培养学生对数学知识的应 用，使其具备一定的解题能力. 而在中学生解题过程中，需要其具备一定的逻辑思维，促进其对相关 知识的应用以及对问题的解析. 函数思维是学生在完善数学知识及掌握数学规律过程中所形成的 思维方式，可有效提升学生数学解题能力及解题灵活性. 本文针对函数思维的特性，探讨在中学数 学解题方面函数思维的有效应用，并作为依据提出一定教学策略，以期促进中学数学教学成效的提升.
关键词 : 函数思维;中学;数学解题
中学生在进行数学解题时离不开解题思维的建 立 ,而解题思维是学生在进行数学知识学习及内化 时所形成的解题思路. 一般来说 , 中学生在进行数学 解题时所具备的解题思维包含抽象思维及函数思维 等 ,但函数思维是中学生解题过程的核心 ,也是中学 生学习时的重点及难点 ,其不仅可以加强各数学对 象的联系 ,还可实现数学对象之间的转化 ,促进学生 对数学本质变化的了解 ,提升学生数学解题能力 ,使 其具备更加灵活及丰富的解题思路 ,促进其数学知 识运用能力的提升.
1 关于函数思想
1 . 1 国内外的研究现状
解决数学问题的方法大家各显神通 ,但函数思 想在国内外数学专家的眼中仍占据不可小觑的重要 地位. 数学家王太青曾说 , 中学教学过程中函数思想 的运用十分重要. 无独有偶 , 据国外学者们研究表 明 ,函数作为一个备受数学家欢迎的概念 ,在教学实 践中 ,对学生困惑的“变量”与“常量”的问题 , 引起 大家学习的热潮. 综上所述 ,在中学的数学教材中 ,函数的思维占据很大的比重 ,构建学生的函数思维 体系 ,搭 建 数 学 整 体 的 知 识 网 络 , 是 学 生 学 习的 重点.
1 . 2 国内教学大纲的要求
函数思想是数学思想中一种重要的思维方式 , 在教学中 ,也是一种重要的解题方式. 在中学生学习 函数的过程中 ,掌握函数相关的知识 ,可以帮助学生 利用量变思维及函数思维分析问题 ,将数学问题进 行巧妙的转化、归纳 ,利用逻辑 ,实现快速解题的目 的. 掌握函数的相关知识 ,可以指导学生将函数作为 一种思维工具 ,更加多元、全面的应对数学难题 ,从 函数性质作为切入点 ,构建函数的模型 ,分析是否能 从函数的角度突破壁垒 ,顺利解决问题.
2 函数思维的特性
2. 1 辩证性较强
函数思维隶属于辩证思维 ,具有较强的辩证性. 在探讨各数学对象之间具备的联系以及其是否存在 一定转化关系的过程中 ,加强对其辩证关系的了解 , 促进解题方法多样性建设 ,提升学生对数学的动态感知能力 ,培养学生的钻研精神 ,促进其解题能力的 提高.
2. 2 逻辑性较高
函数思维具有较高的逻辑性. 相较于抽象思维 而言 ,函数思维的逻辑性不仅强调其具有统一性及 可调整性 ,还强调其应具有变化性 ,加强数与形的结 合 ,推动二者关系的互相转化 ,促进代数与几何的联 系性的提高 ,助推解题思路的拓宽.
2. 3 变化性较多
函数思维具备的最基本特征就是变化性. 函数 思维具有一定的灵活性 ,可实现对各数学对象之间 关系的反映 ,以函数的形式进行数学本质内涵的表 达 ,提升其与数学发展的适应性 ,促进解题方法丰富 性的研发.
3 函数思维在中学数学解题中的有效应用
3 . 1 函数思维在解方程题方面的应用
在解方程问题时 ,应以函数思维为指导促进已 知关系与未知关系的转化 ,将函数性质作为解题的 工具 ,加强函数的构造 ,将该方程问题转化为函数问 题 ,促进解题方式的简化.
例 1 已知 a =3 + 3 ,b =3 - 3 ,求(2a2 - 12a +1 )(3 b2 -18b +1 )的值.
解析 由已知条件可知 a + b =6 ,ab =6 ,所以 a、b 为方程 x2 -6x +6 =0 的根.
当 x =a 时 ,a2 -6a +6 =0 ,2a2 - 12a + 1 =2 (a2 -6a +6 ) -11 = -11
当 x =b 时 ,b2 -6 b +6 =0 ,3 b2 - 18b + 1 =3 (b2 -6 b +6 ) -17 = -17
由上可知(2a2 -12a +1 )(3 b2 -18b +1 ) = -11 ∗ ( -17 ) =187 .
3 . 2 函数思维在不等式解题方面的应用
在进行不等式解题时 ,通过对函数思维的利用 , 可加深学生对不等式意义及性质的了解 ,促进学生 对不等式解题思路的掌握 ,提升其数学逻辑思维 ,加 强图形与数学的结合 ,促进学生对问题深刻含义的 理解 ,提高学生的函数构造能力.
例 2 x 属 于 一 些 实 数 , 而 不 等 式 x +1 + x -2 > m 恒成立 ,求 m 的取值范围.
解析 根 据 该 题 目 可 设 f ( x ) = x +1 + x -2 ,若f(x ) =1 -2x ,则 x ≤ - 1 ,若f(x ) =3 ,则-1 < x < 2 ,若 f(x ) = 2x - 1 ,则 x ≥ 2 , 由此可知 f (x )min =3 ,所以 m <3 .
在进行不等式问题解答时 ,可有效借助函数思 维 ,将图形与数学进行有机结合 ,促进对不等式问题 的有效解答 ,实现数学思维的架构.
3 . 3 函数思维在二元函数解题方面的应用
在进行二元一次函数解题时 ,可通过对函数性 质的充分掌握 ,有效结合函数思维 ,促进解题技巧的 提升.
例 3 已知 y 与 2x + 1 成正比例 ,当 x =3 时 ,y =10 ,求 y 与 x 的函数表达式.
解析 因为 y 与 2x +1 成正比例 ,所以可设 y =k(2x +1 ) ,将 x =3 ,y = 10 代入所设公式 ,可得 k = ,所以 y = x + . 在此过程中 ,因为正比例函数的特殊性 ,将函数思维带入其中 ,促进求解目标的快 速实现 ,加强学生对相关函数性质的了解及内化 ,提 升学生对相关知识灵活运用能力的提升.
3 . 4 函数思维在数列解题方面的应用
很多数列问题的解题思路与函数思维息息相 关 ,通过运用函数思维的分析思路 ,能帮助问题更加 简化 ,提高做题的效率.
例 4 已知的等差数列一共有 10 项 ,其中偶数 项之和为 40 ,奇数项之和为 25 ,求公差.
解析 此题可以将公差这个变量进行赋值 ,通过等差数列的定义 ,列方程组进行求解. 设等差数列的首相为 a1 ,公差为 d ,根据题目 ,可以得到两个 方程式 ,分别是 a1 +a3 + … +a9 =25 和 a2 +a4 + … +a10 =40 ,简化后的方程组为 a1 +4d =5 和 a1 +5d =8 ,从而学生可以得出结果 a1 = -7 ,d =3 .
4 在不同解题方面培养函数思维的教学策略
4. 1 加强方程与函数之间的联系
在进行方程问题的解答时 ,将函数思维应用到 其中 ,可有效促进问题解决程序的简化 ,降低学生对 数学知识掌握的难度 ,加强函数与方程的联系 ,促进学生对相应问题思维导图的构建 ,提升学生知识的 运用程度 ,使其主动投身入问题的解答中 ,促进自身 数学思维的拓展. 因此 ,教师应充分掌握每节课的教 学内容 ,促进课程的合理化安排 ,提升函数与方程的 联系 ,帮助学生架构合理的函数思维 ,引导其掌握构 造函数的技巧 ,提高学生的想象力.
4. 2 促进不等式中函数关系的明确
在进行数学不等式解题时 ,应加强对函数思维 的利用 ,在掌握函数的定义域及值域等基础上 ,进行 零点及极值的探索 ,促进不等式问题的解决. 一方 面 ,教师应加强对函数关系的明确 ,促进学生对未知 关系的掌握. 另一方面 ,教师在进行不等式解题时 , 可加强其与函数图像的联合 ,使学生对其具有一定 的直观性 ,促进学生对解题条件的明确 ,使其充分了 解题目的核心思想 ,提升将其转化为函数的效率 ,实 现以函数思维进行问题解答的目标 ,促进解题步骤 的减少 ,避免对学生解题思维的限制 ,提升学生图形 与数学结合的能力 ,促进其学习水平的提高 ,从而充 分展现相应的教学成果及成效.
4. 3 加强对二元函数性质的掌握
二元函数具有较为复杂的性质及解题条件. 为 提升学生的解题效率 ,学生应提高自身的认知结构 及认知水平 ,促进函数思维的升级. 首先 ,教师应引 导学生对二元函数表达形式的明确 ,加强对相应基础 知识的掌握 ,如对称轴基本知识 ,图像基本知识以及交 点式等 ,对繁多的知识点予以梳理 ,对学生进行逐步的 灌输. 其次 ,教师应促进二元函数复杂内容的简化. 教 师应具备丰富的专业知识 ,明确如何对学生加以引导 , 建立一定的切入点进行教导 ,如函数性质等 ,促进学生 对知识结构的合理建设 ,使学生逐渐明晰教学内容.
4. 4 与数形联系的解题思路
传统的数学研究对象 ,一般分成两个部分 ,分别 是数与形 ,虽然两者之间直观感受并无相通之处 ,其 实不尽然. 数与形的结合或者形与数的链接 ,是寻找 问题解决方式的最佳切入点 ,提供给学生解决数学 思路的双向路径 ,所以教师需要教导学生在应对数 学题目以及解决函数问题的时候 ,最好的方法是数 形并用 ,在了解题干的同时 ,简要画出图形 ,方便自 己正确理解题目内容 ,高效绘制答案.初中生的函数思维亦是如此 , 函数的定义概念 勾勒出框架 ,而函数的性质展示函数的图像 ,两者之 间缺一不可 ,教学过程中 , 培养学生数形的思维模 式 ,借图修文 ,不仅可以提高学生学习的积极性 ,还 能培养学生的逻辑思考能力.
4. 5 函数思维在生活中的应用
很多学生或家长认为 , 函数思维只应用于当前 阶段学生复杂的学习压力上 ,对解决生活中的实际 问题毫无帮助 ,其实不然 ,学科的题目也偏生活化 , 将考试问题与函数思想联系起来 ,帮助学生建立场 景 ,提高解题的效率.总而言之 ,在进行数学教学时 ,不仅应注重学生 对理论知识的掌握 ,更应注重学生对知识的应用 ,提 高其知识应用的灵活性. 教师应加强对函数思维的 重视 ,并将其作为教学中的重点 ,促进教学方式的创 新 ,加强学生函数思维的优化建设 ,促进教学质量的 提升 ,还应加强对学生函数思维的训练 ,强化教学手 段 ,在教学过程中加强函数思维的渗透 ,引导学生架 构科学性的数学思维 ,促进其解题效率的提升 ,加强 对学生探究式学习的培养 ,提升其解题水平.
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