基于新课程标准的高中数学新旧教材比较分析论文

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关键词 圆锥曲线的方程   高中数学   教材对比

2019 年版普通高中数学教材已在多个省份试行，教材是新课程实施的 载体，教师必须掌握、用好新教材， 才能有效地落实新课程目标。

为探讨该问题，本文以 2007 年  版的人教版普通高中课程标准实验教科书数学 A 版(以下简称“旧教材”)  和 2019 年版的人教版普通高中教科书  A 版(以下简称“新教材”)为研究对象，从开章引言、正文内容、例习题、 章小结四方面对“圆锥曲线的方程” 内容进行比较分析，为教师理解教材和进行教学提供参考。


一、结构编排比较

通过表 1，对新、旧教材的结构 内容进行比较。

变化 1 ：删去“曲线与方程”这 一小节，将这部分内容融入椭圆、双 曲线、抛物线的学习内容中。新教材 在建立圆锥曲线的标准方程后，就方 程建立过程讨论“曲线上的点的坐标 都满足方程”“以方程的解为坐标的点 都在曲线上”。这样处理，既不失科学 性，又不会让学生感到过于抽象， 可 以使学生在潜移默化中体验曲线与方 程之间的一一对应关系，进一步理解 通过方程研究曲线性质的合理性，使理性思维得到培养。

变化 2 ：删去“探究与发现为什 么截口曲线是椭圆”“阅读与思考二、 圆锥曲线的离心率与统一方程”，增加 “文献阅读与数学写作、解析几何的形 成与发展”。增加内容为加深学生对相 关内容的认识、扩大学生的知识面、 运用信息技术学习等提供资源和机会。

表 1  新、旧教材的结构对比 

旧教材(选修 2-1)	新教材(选择性必修 第一册)
2.1 曲线与方程	3.1 椭圆 信息技术应用  用信息技术探究点的轨迹：椭圆
2.2 椭圆 探究与发现  为什么截口曲线是椭圆 信息技术应用  用“几何画板”探究点的轨迹：椭圆	3.2 双曲线 探究与发现为什么 y=±  ba  x 是双曲线 - ＝ 1
2.3 双曲线 探究与发现为什么 y=±  ba  x 是双曲线 -  =1 的渐	3.3 抛物线 探究与发现为什么二次函数 y=ax2+bx+c 的图像是 抛物线 阅读与思考  圆锥曲线的光学性质及应用
2.4 抛物线 探究与发现为什么二次函数 y=ax2+bx+c 的图像是抛物线 阅读与思考一、圆锥曲线的光学性质及应用 二、圆锥曲线的离心率与统一方程	文献阅读与数学写作  解析几何的形成与发展
小结	小结
复习与参考	复习参考题

 
二、章节导入比较

旧教材的章节导入用两页的篇幅， 内容包括引言、章节标题、目录、背 景图(拱桥)，圆锥被三种不同位置的平面所截图。新教材的开章仅用了一 页篇幅，保留引言部分，背景图变为 太阳系各行星运行图，将圆锥被三种 不同位置的平面所截图融合成一张， 删去了章节目录。

在引言部分，新教材继承了旧教 材的做法，从用一个平面截圆锥面谈 起，引导学生思考三种圆锥曲线名称 的由来，介绍了人类研究圆锥曲线的 历史，告知本章主要研究的对象和研 究的方法、研究的过程以及研究过程 中渗透的数学思想，介绍圆锥曲线在 科研、生产生活中的广泛应用，这增强了教材的可读性和指导性。

新教材删去了目录，因为主要内 容在书本目录中已体现，就不需要赘 述了。删除目录、缩减篇幅、整合图 形，在体现数学简洁美的同时降低学 生的阅读量，展现圆锥曲线的动态变 化过程，引发探索圆锥曲线的统一方程的思考。

三、正文内容的比较

(一)主体内容比较

1. 节引言的差异

旧教材小节内容从探究、思考、 信息技术操作等方面进入教学内容， 而新教材每小节都有节引言部分，例 如，“椭圆”一节，配有节引言：“椭 圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几 何性质，在科研、生产和人类生活中 具有广泛的应用。那么，椭圆到底有 怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究 椭圆的几何性质奠定基础？ ”

可以看到新教材从节引言开始， 从宏观上提出问题，给出研究目标，而 旧教材中没有这样的介绍(见表 2)。

表 2  新、旧教材的引言对比
 

旧教材	新教材
我们知道…… 进一步感受数形结合的基本思想。	我们知道…… 进一步感受数形结合的基本思想， 体会坐标法的魅力与威力。

2. “观察”“思考”“探究”栏目 的差异

在每一种圆锥曲线的研究中， 新、旧教科书都通过“观察”“思考” “探究”等栏目，根据知识的发生发展  需要，提出层层递进的问题，从而形  成环环相扣的系列化教学活动。这些  问题是学生在学习具体内容时普遍都  会遇到的，教科书通过它们来引导学  生的思考方向，为学生独立思考、自  主探究构建平台。但新旧教材在设问  的方式上还是有较大差异，例如，“椭  圆的简单几何性质”这一节中，通过对比，可以看到新教材加大 用坐标法思想分析问题的力度。从简洁性考虑，旧教材直接呈现逻辑过程， 这是一种思考的“结果”，而对“为什 么这样思考”则需要学生自己去体会， 但这对学生而言是比较困难的。新教 材比旧教材特别强调了用坐标法分析 问题的环节，以“先用几何眼光观察， 再用坐标法解决”为指导，完善学习 过程(见表 3)。

表 3  新、旧教材“观察”“探究”“思考”设问对比
 

新教材	旧教材
观察椭圆  +  =1(a ＞ b ＞ 0) 的形状，你能从 图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆 上哪些点比较特殊？	观察椭圆  +  =1(a ＞ b ＞ 0) 的形状，你 能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称 性？椭圆上哪些点比较特殊？
1. 范围 思考：观察 3.1-7，容易看出椭圆上的点都在一个 特定的矩形内，你能利用方程(代数方法)确定出 它的具体边界吗？	1. 范围
2. 对称性 探究：观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称 图形，又是中心对称图形，如何利用方程说明椭圆 的对称性？	2. 对称性
3. 顶点 思考：你认为椭圆  +  =1(a ＞ b ＞ 0) 上哪些 点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？	3. 顶点 探究：你能由椭圆的方程  +  =1(a ＞ b ＞ 0) 得出椭圆与 x 轴、 y 轴的交点坐标吗？
4. 离心率 思考：观察图 3.1-9，我们发现，不同形状的椭圆 的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同， 扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量 定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 你能运用三角函数的知识解释， 为什么 e= a 越大， 椭圆越扁平； e= a 越小，椭圆越接近于圆吗？	4. 离心率 思考：观察不同的椭圆(图 2.2-9) ，我们发现， 椭圆的扁平程度不一，那么，用什么量可以刻 画椭圆的扁平程度呢？ 探究：1.  ba或  b  的大小能刻画椭圆的扁平程度 吗？为什么？ 2. 你能运用三角函数的知识解释， 为什么 e= a 越大，椭圆越扁平； e= a 越小，椭圆越圆吗？

(二)信息技术应用、整合比较

《普通高中数学课程标准(2017 年版)》要求重视信息技术的运用，实现信息技术与数学课程的深度融合。在旧教材中，双曲线的形成采用“拉 链法”，学生对双曲线的形状感受不深，新教材则借助几何画板，通过对参数的控制使学生发现双曲线形成的条件，直观感受双曲线的形状，进而达到新课标的要求。

在“信息技术的应用”中，旧教材使用的工具是几何画板、图形计算器或其他数学软件，而新教材中则添 加了 Geogebra，并且在操作步骤上，新教材以 Geogebra 为例，动态地展示了每一个操作步骤并配有截图。所以，相较于旧教材，新教材在对信息 技术操作步骤的描述程度上显得更为细致。解析几何是数形结合的学科， “通过几何建立直观，通过代数予以表 达”是其基本理念，新教材比旧教材更充分发挥信息技术的作用，为几何 直观提供方便。

(三)数学文化融入比较

新课程标准强调将数学文化融入  学习内容中。新旧教材的共性是通过  例题、习题渗透圆锥曲线的数学文化、 应用。例如，新教材“椭圆”一节的  例 5 通过电影放映机的原理介绍渗透  圆锥曲线在实际生活中的应用；习题  3.1 中的第 7 题通过彗星“紫金山一  号”的发现介绍，渗透圆锥曲线在天  文研究中的应用等。同时，新教材沿  用了旧教材通过设置“阅读与思考” 栏目来展示数学文化材料的方式。如  “圆锥曲线的光学性质及应用”详细  介绍抛物线、椭圆、双曲线具有的光  学性质以及光学性质在生活中的广泛应用。

另外，新教材增加了“文献阅读 与数学写作”栏目。《普通高中数学课 程标准(2017 年版)》特别指出：数学 文化是指数学的思想、精神、语言、方 法、观点，以及它们的形成和发展；还 包括数学在人类生活、科学技术、社 会发展中的贡献和意义，以及与数学 相关的人文活动。解析几何是数学发 展过程中的标志性成果，是微积分创 立的基础。通过增加此栏目，将让学 生系统了解解析几何产生和发展的过 程、重要成果、主要人物，关键事件及 其对人类文明的贡献，渗透数学文化。

(四)例、习题比较分析

通过表 4 对新、旧教材的例、习 题数量进行对比。

由表 4 可知，总体数量上新、旧教材的例题数量相同，但练习题数量增加明显。认真研读新教材发现，新 教材把每一种圆锥曲线的简单几何性质按照两课时进行，旧教材中习题分 A 组和 B 组两部分内容，但新教材分复习巩固、综合应用、拓广探索三个层次内容，拓广探索习题难度是最大的，这样的划分使习题层次性更加鲜明，更适合学有余力的学生。

表 4  新、旧教材的例、习题数量对比

各小节名称    (新教材 / 旧教材)	例题		练习		习题
	新教材	旧教材	新教材	旧教材	新教材	旧教材
椭圆及其标准方程	3	3	4	4	14	14
椭圆的简单几何性质	1	4	5	7
	3		2
双曲线及其标准方程	2	2	4	3	14	10
双曲线的简单几何性质	1	4	4	5
	3		3
抛物线及其标准方程	2	2	3	3	13	11
抛物线的简单几何性质	1	4	4	4
	3		5
章末复习参考题	0	0	0	0	16	19
总计	19	19	34	26	57	54

新教材中练习题、习题总数量增加 明显。《普通高中数学课程标准(2017 年版)》中指出：“通过高中数学课程 的学习，学生能进一步发展数学运算能力，有效借助运算方法解决实际问 题。”解析几何的学习对运算能力的要 求颇高，对学生而言，代数运算是高 中数学学习的主要“拦路虎”，解题过 程中，许多学生都是因为不能顺利完 成代数运算而导致解答失败。练习、习 题数量的增多，不仅能使学生更好地 把握坐标法的基本思想，还能增加训 练的机会，提升数学运算的核心素养。


四、小结比较分析

新、旧教材在小节上结构是一致 的，主要包括“ 本章知识结构 ”和 “回顾与思考”。

(一)知识结构比较

新教材的知识结构主要以知识框 图的形式呈现，用流程图的形式串联 本章知识要点、发展脉络和相互联系，从而形成思维导图。新教材的知识结 构有机整合了各部分内容，并且在原 有的基础上进行了扩展。总体而言， 新教材的思维导图更加完整，知识点 的呈现更加立体化。

(二)“回顾与思考”比较

新教材在回顾部分做了大的调 整。新教材先对本章学习内容全面概 述，接着用学习了的三种圆锥曲线， 由特殊到一般总结曲线与方程的关系， 将新教材删去的内容捡回。又结合本 章的学习过程，总结用坐标法研究几 何问题的具体方法， 同时指出用坐标法研究几何图形时，代数式的化简、 方程的变形与等价转化的重要作用， 提出同学需关注逻辑推理、数学运算 能力的提升，并强调研究圆锥曲线时， 信息技术在发现问题、形成思想方法、 获得结论等方面的重要作用。

可以看出旧教材的“回顾与思 考”重视学习内容、学习过程的总结， 新教材则更关心通过学习内容、学习 过程对所反映的数学方法、数学思想、 核心素养进行提炼与概括。

相较于旧教材用填表的方式对本 章内容全面覆盖式的复习整理，新教 材则以问题串的形式对本章学习内容 进行整理。连续提出 7 个问题，这 7 个问题系统、全面地驱动学生回忆和 复习全章核心知识，通过在重点、难 点和关键点上提出有思考力度的具体 问题，深化学生对本章核心内容及其 反映的数学思想和方法的理解，使学 生在有所思的基础上还能有所悟。

总之，新教材更加充分地体现新 课程标准的基本理念和目标要求，深入贯彻“立德树人”的教育理念，相 较于旧教材，在结构、内容、习题、 小结等方面均有较大改进。我们应关 注到其中的变化，在继承旧教材的基 础上把握好新教材， 自然地完成从旧 教材到新教材的过渡。

参考文献：

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[2] 章建跃 , 李增沪 , 张劲松 , 申 铁 . 普通高中教科书 · 数学 选择性必 修 第一册 A 版 [M]. 北京 : 人民教育 出版社 ,2020.
[3] 中华人民共和国教育部 . 普通 高中课程标准 (2017 年版 )[S]. 北京 : 人民教育出版社 ,2018.
[4] 蔡汉书 . 基于新课程标准的高 中数学新旧教材比较分析—— 以北师 大版“三角函数”章节为例 [J]. 中学 数学教学参考 ,2021(9):17— 19.

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