用先进思想促进高中生数学解题能力的发展 — 以数形结合为例论文

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关键词 : 高中数学；数形结合；解题；策略

数形结合可以说一方面属于一种数学思想，而 又是一种比较典型的、有突出实用价值的解题方法， 它可以让学生在解题期间，比较自然地拥有抽象与 形象思维，并使二者有机结合. 在针对高中生的解决 数学问题指导期间，教师需要有意识地使用数形结 合思想，则可使之依附于具体的问题，实现学生解题 效率提升的目标.


1 数形结合思想的解题能力发展重要性

1 . 1 保持学生的解题热情

高中数学问题有时本身过于枯燥，其抽象性与逻辑性特征，让相当一部分学生出现手足无措之感.  然而正所谓万变不离其宗，只要使学生了解数 、 形这两种数学基本概念，并使其对立与统 一 的关 系被灵活应用，则不但解题时的瓶颈被突破，而且还可以让学生更加轻松与高效地应对问题处 理任务，从而让学生体会到问题中的数学知识呈现之灵活 性，并以生动有趣的视角，将这种灵活性在解题过程中还原出来.

1 . 2 发展学生的解题能力

高中代数问题之中，“形”的建立有越来越广阔 的应用空间，而几何问题之中，“数”的运算也有越 来越深入的应用机会，二者的有机结合，实际上给学 生的数学应用能力提出了更为严格的要求. 教师借 此机会，进行数和形快速 、合理转化思想的尝试， 以及构建更为直观数量关系的思考，可对发展学 生解题能力提供平台支持. 学生将在转化数量关 系期间，同步感 受 到“ 数”的 运 算 功 能 与“ 形”的 直观功能，让二者的完美结合更好地服务于自我 解题时的推理 、演算 、总结及归纳工作，从而保证 数学问题的完美解决.

1 . 3 拓展学生的思维能力

高中数学课程改革所提要求中，涉及到教师教 学时需持续进行学生发散思维能力开发的努力，关 注学生创造思维能力等方面的内容，以及对学生数 学核心素养加以培养的内容. 若教师忽略数学思维方面的训练，只注意问题解决及考试技巧，那么解题 指导过程难免会陷入于不利的境地，使学生的创造 性与创新性思维被局限. 为此，教师需要意识到引入 数形结合观念的价值，使之在解题期间，因生动和灵 活等特点，为学生带来全新的思维体验，受此影响， 学生会掌握数与形的构建，还有融抽象数学问题于 形象化处理情境的有效策略，从而激发自身数学学 习的大量潜在能力.

2 数形结合思想促进解题能力发展的原则

在面对比较具体的数学问题时，若学生达到对于问题题干的合理分析要求后，便可以以直接或者 间接的方式，将数学知识朝图形角度转化与调整，并使这种转化过程变为问题解决的途径，而教师在此期间则应将数形结合观念渗入工作做好，以确保学生得以更顺利地整合形和数的关系，实现高效解题的目标. 在此过程中，师生应当 共同遵守如下几个原则.

2. 1 等价原则

所谓等价原则，即运用数形结合思想时，需要保 证题目之中的条件和关系，在利用外形呈现时，不会 出现背离和偏差，始终以精细化的态度加以处理. 如 果违背这一原则，学生将有可能在赋形时，变化题目 条件内容，如扩大或者缩小定义域、值域等，从而导 致结果的失之毫厘，谬以千里.

2. 2 双向原则

双向原则即在应用数形结合思想时，应当始 终保持以形助学，用数解形的基本态度. 一般来讲，即需要学生从两个角度关注问题，而并不是仅于单一方面展开努力，从而防止在解题时误入错误渠道. 对于相当一部分高中数学题目来讲， 它们通常都有复杂化和综合化的倾向，这便要求 学生要利用图形和运算的同步认知来带动题目的处理.

2. 3 简化原则

数形结合思想的应用，从本质上讲，其宗旨在于 让数学问题变得更加简单. 若以数形结合思想为指导，并对具体操作模式进行调整后，未能让数学题变 得更简单，甚至出现了趋于复杂化的倾向，那定然是 解题出现了问题. 例如在方程求解时有漏洞，或者图 形展示时有不足，这种非但不能解决问题反而制造 了新问题的做法是不可取的.

2. 4 实用原则

数形结合思想在解题时的使用，目的在于解题， 所以无论教师还是学生，在启用本思想时，需要保证 实用性原则的自始至终贯彻，也就是只有在满足实 践需求的指引下，才能使数和形相结合，所以，在难 度不是特别大，或者内容不适宜的情况下，应当避免 该思想及对应方法的使用.

3 数形结合思想促进解题能力发展的方向

3 . 1 集合问题

当面对集合问题时，借鉴数形结合思想，具有内容和方法上的便利性. 例如下题 : 已知集合 A ＝ {x  x2  －5x ＋6 > 0 }，B ＝ {x  (x ＋1) (x－5) ≤0 }，试 求 A ∩B. 针对这个问题，学生可先化简集合，再于数 轴内把集合 A 、B 所表示的区域绘制出来，接下来找 到公共区域值，得出 A ∩B ＝ {x   －1 ≤x < 2 或 3 < x ≤5 }. 本例实际上已经能够非常生动地展示出数形 结合先进思想的解题促进作用.

3 . 2 统计问题

在进行统计相关知识教学时，高中数学教师时 常需要让学生依据实际给出的数据，判断各变量间 的实际联系，而学生若面对计算量极大的数据时，采 用逐个展开计算的办法，很显然会影响到解题效果， 同时使其畏难、抵触心理升温. 这时教师如果借助数 形结合的思想，则能够助力学生产生对于本类问题 的高效、优质处理意识.

3 . 3  向量问题

在进行高中数学教学时，向量是不可忽略的关 键性内容，它的自身本来已经显现出较为显著的几 何意义，也就是可以依靠向量展开对于几何对象的 描述，像 :a .b ＝0 的几何意义为向量 a 、b 拥有彼此 垂直的关系，此外，a . a 可以表达为向量 | a | 的平方. 在解决问题时，教师利用数形结合思想应用的策 略，会在具体的向量教学活动期间，有效引导学生完 成向量数量积的认识，以及向量几何意义的把握任 务，以此突破向量代数性质的难点.

3 . 4 函数问题

函数在高中数学课程体系中的作用可谓举足轻 重，既属于考试必选题目，又会在学生数学思维能力 检测方面发挥出独特价值. 而在相当多的函数解题 中，也均会应用函数图像，使之成为复杂问题简单化 的载体形式. 但同时，函数知识并非常见生活体验范 畴，学生学习并理解函数问题出现困难是一种比较 常见的现象，此时高中数学教师可以把数轴、坐标轴 等看作学习者深刻感受函数方程式的必要工具，用 构建图形的做法，形象化地展现出数字意义，防止学 生理解困难问题的不易化解.


4 数形结合思想促进解题能力发展的策略

4. 1 数与形的直接结合

高中数学学习期间，部分数学问题在数量关系上是比较抽象的，这一 点人所共知，这在实际操作中，确实给学生的求解实际问题增加了难度，此时便 应当做好针对问题条件的充分分析与有效理解. 例如教师提示学生 :是否能够探索到其中的明显 几何意义，若是可以利用数形结合的策略来解决最好. 在教师的提示下，学生便可以直接利用画图的形式，从已知条件出发，完成对于数量关系的重新审视，并依题目所给数量关系、限制条件突破解决障碍，这种策略在前述集合问题中，有 比较生动的体现.

4. 2 数与形的转化结合

高中数学学习时，将面对很多的数学问题，此类 数学问题无法直接看到其中所具有的几何意义，因 此可采取先变形再数形结合的方式，将题目之中的 数量关系向与图形相结合的角度转化，确保抽象问 题变得具象化，使题目拥有顺利求解的可能性. 关于 这一点，直线斜率模式比较具有代表性，对于此类型 数学问题的解决，如果可以把所求问题转化成( a ＋d )/ ( b ＋c ) 的形式，便能够更加接近于直线斜率公式，依斜率几何解释完成规律变化的探索，从而突破 解题的瓶颈.

4. 3 数与形的联想结合

这里所说的联想，是在对题目信息中的数形结 合可能性进行挖掘过程中，增加类比环节，通过类比 的形式，找到隐含的数形结合关键点，在此之后通过 转化数学图形模型的形式，对数学问题加以解决. 此 种类比联想形式能够让原本复杂的解题步骤被简 化，同时也将便利于高中生的问题思考过程. 例如问 题 :已如 0 < a < 1，a | x |   ＝ |lgx |，试问方程实根个数是 多少? 这种综合化程度较高的问题，可以做适当变 化，在联想后基于有关函数图象，绘出对数函数、指 数函数等的图象，再从已学习过的知识出发，使根的 数目转化为图象交点数目.

数与形是数学学科内的两项比较古老和基本的研究对象，它们能够于 一 定情况下做到相互 转化. 在高中数学教学期间，利用它们的这种转化可能性，以及由此体现出来的数学思想，将让学生在课堂上拥有更大的收获. 正是由于数形结合思想意义突出，因此需要教师在未来工作中投 入更多关注目光.

参考文献 :

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[5 ] 张文涛. 试谈数形结合思想在高中数学教学中 的运用[ J ] . 数学学习与研究( 教研版)，2020 (4 ) :25 .

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