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摘 要 :为更好的将数学学科核心素养落地，提高课堂学习效率，本文以“构造创新数列为 例”，尝试探究学生在合作探究中实现知识的自主生成，以便促进学生的学习，切实提高课堂效率.
关键词 :合作探究；自主生成；构造新数列；数列求和
教学中，与学生交流，学生的感受是数学课能听懂，课后作业不会做，考试不理想. 与同行交流，老师也很无奈，同一个问题反复讲解多遍，学生仍然一知 半解. 究其原因，这个问题的解决不是学生自身构建 和生成以后完成的，没有实现自我思考、领悟和生成 的“被告知”“被模仿”的知识，时间久了就会被遗 忘，再次碰到还是不会. 认知心理学认为，学习是一种主体参与情景的持续构建的过程，学习是作为主 体的学生亲历亲为的事情，教师讲课不能取代学生的学习，教师的作用在于引导学习，维持学习与促进 学习. 下面是笔者在市教研活动的一节公开课中的 实录与反思，恳请各位同仁批评指正.
1 教学过程
1 . 1 抛出问题，回顾旧知，课堂热身
探究 :数列{an }，{bn }满 an ＝2n，bn ＝n，尝试用 数列 an，bn 构造新数列{cn }，并求{cn }的前 n 项和.
学生 1 :cn ＝2n ＋ n，cn ＝2n －n，用分组求和法 求和.学生 2 :cn ＝n .2n，，用错位相减法求和.
学生 3 :cn ＝ n 用错位相减法求和.
学生 4 :cn ＝ ，用分组法求和.
教师 :很好，上述四个同学用已知的两个数列构 造了不同的数列，把我们数列中常见的数列求和方 法都派上了用场，还有其它的构造方法吗?
学生 5 :可以把两个数列中的部分项放在一起 构成新的数列.
老师 :很好，那你们打算取两个数列中的哪些项 放在一起?
学生 6 :两个数列中相同的项或者不同的项放在一起构成新的数列.
比如数列{bn }和{an }中相同的项构造新数列 { cn }，求数列{cn }的前 n 项和.再比如数列{bn }中去掉{an }中的项构造新数列 {dn }，求数列{dn }的前 n 项和.教师在黑板上列出{bn }，{ an }，{ cn }{dn }，让同学们直观感受.学生 7 :还可以继续构造，数列{an }{bn }中所有 项分别构成集合 A，B，将集合 A ∪ B 中的所有元素 从小到大依次排列，构成一个新数列{cn }，求数列 { cn }的前 n 项和.
教师 :很好，这两位同学构造了不一样的数列， 今天我们一起来挑战一下，看能否求出它们的和.
设计意图 通过已有的数列，让学生自己构造 新的数列，自己提出问题，解决问题，前几个问题正 好是我们平常经常研究的数列求和问题，学生容易 想到，也容易求解，对已有的数列求和方法起到了复 习作用. 后两个数列不容易想到，在老师和同学的互 相启发，思维碰撞下，“一 时激起千层浪”，同学们的 思维顿时活跃起来，同学们跃跃欲试，都想构造出不 同的数列，同学们学习的热情被激发出来. 同时为本 节课后续学习做好铺垫.
1 . 2 例题构建，捕捉自主生成的关键点
例 1 数列 an ＝2n，bn ＝n，{bn }中去掉{an }中的 项构造新数列{cn }，求数列{cn }的前 100 项和 T100 .
学生当堂求解，老师巡视，部分学生已经求解出 来，部分学生还有困惑，提问求解遇到困难的同学.
教师 :生 8，你如何思考，还有什么困惑?
生 8，，我分别列出了{an }，{bn }中的前 n 项，找 到{cn }中的项.我的困难是我不知道{cn }的第 100 项是什么?
教师 :按照我们研究数列的常用方法，遇到不熟 悉的数列，列一列，看一看，找找规律，思路不错. 这 位同学暂时遇到了一些困难，哪位同学能帮帮他?
生 9 :T100 ＝ ( 1 ＋2 ＋3 ＋4 ＋ …) －(2 ＋4 ＋8 ＋16＋ …)，
假设等差数列{bn }中正好是 100 项，最后一项 是 100，则{bn }中的前 100 项中包含{an }中 6 项，即 减去 6 项，则数列{bn }在前 100 项的基础上再加上 6 项，增加的六项依次是 101，102，103，104，105，106， 它们都不是{bn }中的项，则T100 ＝ ( 1 ＋2 ＋3 ＋4 ＋ …100 ＋101 ＋102 ＋103 ＋104 ＋105 ＋106) －(2 ＋4 ＋8 ＋16 ＋32 ＋64) ＝5545教师 :很好! 思路非常清晰!
设计意图:让学生暴漏自己解题的盲点和误区， 以此为探究点让学生进行合作探究，学生展示问题， 同伴互助，思维碰撞，激起同学们进一步的思考，效果良好.
变式 1 数 列 an ＝ 2n，bn ＝ 2n，{bn } 中 去 掉 { an }中的项构造新数列{cn }，求数列{cn }的前 100 项和 T100 .
设计意图 :变化一个数列，增加难度，让学生再次体验，增加思考的深度，方法进一步在脑海中固化.
例 2 数列 an ＝2n，bn ＝3n＋1，{ an }{bn }中所有 项分别构成集合 A，B，将集合 A ∪ B 中的所有元素 从小到大依次排列，构成一个新数列{cn }，求数列 { cn }的前 70 项和 T70 .学生独立思考，自主完成，5 分钟后交流.
生 9 :直接对数列{an }，{bn }分别求和，两个数 列的和就是{cn }的和.
生 10 :生 9 说的不对，这两个数列中有相同的 项，应该把重复的项去掉.
教师 :很好，生 10 分析的很到位，她发现{an }， {bn }两个数列中有重复的项，重复的项是哪些? 我
们来列列看.
生 10 :因为{an }和{bn }中相同的项 :4，16，64，256，…， 所以 cn :2，4，7，8，10，13，16 …
教师 : { cn }这个数列有没有规律? 如何求和?
生 10 : { cn }没有特殊的规律，既不是等差数列， 也不是等比数列，我在这里遇到了困难，不知道如何 求和.
同学们思考片刻，小组讨论，继续交流.
生 11 : { cn }没有特殊的规律，但是数列{cn }是由 数列{an }，{bn }生成的，可以把{an }，{bn }分别求和，
再减去重复的项的和.
若 70 项全是{bn }中的项，最后一项是 211，故 70 项中{an }最多有 7 项，最后一项是 128，两个数列重复的项有 3 项，因此{bn } 中恰有 66 项.
T70 ＝ (2 ＋4 ＋8 ＋1 6 ＋32 ＋64 ＋128 ) ＋ (4 ＋7 ＋ 10 ＋1 3 ＋1 6 ＋ … ＋199 ) －(4 ＋1 6 ＋64 ) ＝6869
师 :很好，分析的很到位，找数列的项数找的很 准确.
例 3 数列 an ＝3 n ＋1，在任意相邻两项 ak 与 ak ＋1 (k ＝1，2，3 … )之间插入 2k 个 2，使它们和原数 列构成一个新数列{bn }，记 Sn 为数列{bn }的前 n 项 和，求满足 Sn < 500 的 n 的最大值.
生 12 :列出新的数列的项 :4，2，2，7，2，2，2，2，
不易求出 Sn，但是可以求出 Sn＋2 n－2Sn＋2 n－2 ＝ (4 ＋7 ＋10 ＋1 3 ＋ … ＋3 n ＋1 ) ＋2 (2 1 ＋22 ＋ …＋2n －1 )＝＋2 ＝＋2n ＋1－4＝＋＋2n ＋1 －4分别估算 n＝7 和 n ＝8 时上式的值 S1 33 ＝343，S262 ＝624.
要使得 Sn <500，则 n 介于 1 33 和 262 之间，S1 33 ＋2k＝343 ＋2k <500，kmax ＝78，S21 1 ＝S1 33＋78 ＝343 ＋78 × 2 ＝499，故满足条件的 n 的最大值为 21 1 . 1 . 3 课堂小结，方法总结与提炼
课堂小结 :本节课我们研究了创新数列，请同学 们从知识层面，方法层面分别总结一下.
生 13 :本节课我们研究了用已知数列研究新数 列的问题，研究未知的数列最常用的方法是列一列， 看一看，把未知数列逐步转化为已知数列来求解，分 组求和是常用的方法.
师 :用已知构造新数列需要注意什么?
生 14 :一定要分析清楚新数列中的项，并弄清 首项，尾项和项数.
本节课设计意图:创新数列是近两年全国高考 试卷的热点问题，我想通过本节课的学习，给学生提 供一些研究此类问题的常用方法，让同学们见到此类问题不再害怕.
2 课后反思
2. 1 学生探究—让知识生成更加流畅
基于核心素养的数学课堂应该是立足于学生思 维品质的培养而成为“思维之树长青”的课堂，就是 要让学生发现问题，提出问题，解决问题. 本节课，学 生通过思考，讨论，交流，思维上经历了“直觉— 矛盾—思考—论证”的过程，学生不断的主动 思考，交流碰撞，优化思路，一层一层剥开题目隐藏 的面纱，在讨论交流过程中，不断的揭示题目的本质 问题，在质疑中逐步解决问题. 这个过程很好的锻炼 了学生的“四能”，培养了学生直观想象，逻辑推理， 数学运算等核心素养. 同学们经过思考，辨析，交流 领悟到的方法印象深刻. 他们体验到了成功的快乐， 很大程度上激发了他们学习数学的热情.
2. 2 教师预设—让课堂生成更精彩
老师在备课中要弄清本节课要让学生通过探究 透彻掌握什么? 怎样探究? 探究这个难点问题需要 哪些预备知识? 如何分台阶的设置问题? 探究过程中 学生会遇到什么困难? 在课堂探究的关键节点，老师 要凭借提问和追问，把控探究方向，逐步深入，让学生 从“云山雾罩”到“豁然开朗”，让课堂自然生成，水到渠 成，知识和方法自然地进行提炼和升华. 学会了思考， 同学们碰到类似的问题，便敢于去尝试，敢于去探索.
参考文献 :
[ 1 ] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标 准 [ M ] . 北京 :人民教育出版社，2017 .
[2 ] 李云飞. 合作探究中实现知识的自主生成— 以习题课“构造函数解不等式”为例[ J ] . 中学 数学教学参考，2015 ( 10) :37 －39 .
[3 ] 孙红娟. 隐身与探究齐飞，生成共素养一 色 －圆 的习题课课堂实录与反思 [J ] . 数学教学通讯， 2019 ( 1 1 下旬) :25 －27 .
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